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2020-2021 学年老校区（新泰中学）高
二上学期第一次月考数学试题
一、单选题
1．已知向量 1,1,0 1,0,2a b ， 且 2ka b a b 与 互相垂直，则 k 的值是
( )
A． 7
5 B．2 C． 5
3 D．1
【答案】A
【解析】由向量垂直，可得对应向量数量积为 0，从而可求出结果.
【详解】
因为 1,1,0 1,0,2a b ， ，所以 1a b
， 2 5a b ， ，
又 2ka b a b 与 互相垂直，所以 2 0ka b a b ，
即 222 2 0k a ka b a b b ，即 4 2 5 0k k ，所以 7 5k ;
故选 A
【点睛】
本题主要考查向量的数量积的坐标运算，属于基础题型.
2． , ,a b c
为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向
量是（ ）
A． , ,a a b a b
B． , ,b a b a b
C． , ,c a b a b
D． , , 2a b a b a b
【答案】C
【解析】直接利用基底的定义和共线向量的应用求出结果．
【详解】
解：对于{a 、 b 、 }c 为空间的一组基底，
所以对于 ( ) ( ) 2a b a b a 与 a 共线，故选项 A 错误．
对于 ( ) ( ) 2a b a b b 与b 共线，故选项 B 错误．
对于 c 和 a b a b 与 不共线向量，所以可以作为基底，故选项C 正确．
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对于 3 12 ( ) ( )2 2a b a b a b ，所以不可以作为向量的基底，故选项 D 错误．
故选：C．
【点睛】
本题考查的知识要点：基底的定义，共线向量，主要考查学生的运算能力和转换能力及
思维能力，属于基础题．
3．在空间直角坐标系O xyz 中，记点 1,2,3A 在 xOz 平面内的正投影为点 B，则
OB （ ）
A． 5 B． 10 C． 13 D． 14
【答案】B
【解析】求出 B 点坐标，然后计算 OB ．
【详解】
点 1,2,3A 在 xOz 平面内的正投影为点 (1,0,3)B ，则 2 21 0 3 10OB ．
故选：B.
【点睛】
本题考查空间点在坐标平面上的投影，考查空间两点间距离．属于基础题．
4．已知 m 是实常数，若方程 2 2 2 4 0x y x y m 表示的曲线是圆，则 m 的取值
范围为（ ）
A． ,20 B． ,5 C． 5, D． 20,
【答案】B
【解析】由方程表示的曲线为圆，可得出关于实数 m 的不等式，解出即可.
【详解】
由于方程 2 2 2 4 0x y x y m 表示的曲线为圆，则 2 22 4 4 0m ，解得 5m .
因此，实数 m 的取值范围是 ,5 .
故选：B.
【点睛】
本题考查利用圆的一般方程求参数，考查计算能力，属于基础题.
5．已知点 P(－1,1)与点 Q(3,5)关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x－y＝0
C．x＋y－4＝0 D．x＋y＝0
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【答案】C
【解析】 PQ 中点 1,3 ，直线斜率 1 1
PQ
k k
，所以直线为 3 1y x ，
即 4 0x y ，故选 C．
6．已知直线 1 : 2 1 2 3 0l x a y a ， 2
2 : 3 4 0l ax y a ，则“ 3
2a ”是
“ 1 2l l// ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不
必要条件
【答案】C
【解析】先根据直线 1 2l l// 求出 a 的值,再判断充要关系即可.
【详解】
若 1 2l l// ,则 2 1 3a a ,解得 3
2a 或 1a .当 1a 时,直线 1l 的方程为
3 5 0x y ,直线 2l 的方程为 3 5 0x y ,两直线重合,所以 3
2a ,所以
“ 3
2a ”是“ 1 2l l// ”的充要条件.
易错警示:很多考生根据 1 2l l// 求出 3
2a 或 1a 后,直接得出结论,而忽略排除两直
线重合的情况,从而错选 A.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查充要关系的判断、两直线平行,考查的数学核心素养是数学运算、逻辑推
理.
7．直线 2 cos 3 0 ,6 3x y
的倾斜角的取值范围是（ ）
A． ,6 3
B． ,4 3
C． ,4 2
D． 2,4 3
【答案】B
【解析】根据直线方程求出直线的斜率 2cosk ，再由 的范围即可求解.
【详解】
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直线 2xcos α－y－3＝0 的斜率 k＝2cos α，
因为α∈ ,6 3
，所以 1
2 ≤ cos ≤ 3
2
，
因此 k＝2cos α∈ 1, 3 ．
设直线的倾斜角为θ，则有 tan θ∈ 1, 3 ．
又θ∈[0，π)，且正切函数在 0, 2
上单调递增，在 ,2
π π
上为单调递增函数，
结合正切函数的图像可知
所以θ∈ ,4 3
，即倾斜角的取值范围是 ,4 3
.
故选：B
【点睛】
本题考查了直线的斜率与倾斜角，需熟记直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题.
8．在如图的正方体 ABCD﹣A'B'C'D'中，AB＝3，点 M 是侧面 BCC'B'内的动点，满足
AM⊥BD'，设 AM 与平面 BCC'B'所成角为θ，则 tanθ的最大值为（ ）
A． 2
2
B． 2
C． 4
3 D． 3
4
【答案】B
【解析】构建以 B 为原点， , ,CB AB BB 分别为 , ,x y z 轴的正方向构建空间直角坐标系，
根据正方体棱长标识 , , ,A B B D ，令 ( ,0, )M x z 结合 AM⊥BD'有 3z x 且
3 0x ，而 AM 与平面 BCC'B'所成角的平面角为 AMB ，即有
2
| | 3tan | | 2 6 9
AB
MB x x
，即可求 tanθ的最大值.
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【详解】
如下图，以 B 为原点， , ,CB AB BB 分别为 , ,x y z 轴的正方向构建空间直角坐标系，
则有 (0, 3,0), (0,0,0), (0,0,3), ( 3, 3,3)A B B D ，令 ( ,0, )M x z ，
∴ ( ,3, )AM x z ， ( 3, 3,3)BD ，又 AM⊥BD'，有 3z x 且 3 0x ，
AM 与平面 BCC'B'所成角为θ，即 AMB ，而 ( ,0, 3)BM x x ，
∴ 2
2
3 3tan
3 92 6 9 2( )2 2
x x x
， 3 0x ，
∴当 3
2x 时， max(tan ) 2 ，
故选：B.
【点睛】
本题考查了利用空间向量求线面角的最值，综合应用了向量垂直的坐标公式，线面角，
以及利用二次函数求最值.
9．下列说法的正确的是 （ ）
A．经过定点 的直线都可以用方程 0 0y y k x x 表示．
B．经过定点 的直线都可以用方程 y kx b 表示．
C．不经过原点的直线都可以用方程 表示．
D．经过任意两个不同的点 的直线都可以用方程
1 2 1 1 2 1y y x x x x y y 表示．
【答案】D
【解析】【详解】
解：因为选项 A 中缺少了斜率不存在的直线，因此错误
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选项 B 中，也是同上
选项 C 中，表示的缺少与 x 轴平行和与 y 轴平行的直线，因此错误，选 D
二、多选题
10．下面四个结论正确的是（ ）
A．向量 , 0, 0a b a b
，若 a b ，则 0a b ．
B．若空间四个点 P ， A ， B ，C ， 1 3
4 4PC PA PB ，则 A ， B ，C 三点共线．
C．已知向量 1,1,a x ， 3, ,9b x ，若 3
10x ，则 ,a b
为钝角．
D．任意向量 a
，b
， c
满足 a b c a b c
r r r r r r
．
【答案】AB
【解析】由向量垂直的充要条件可判断 A；由题意 1 1 3 3
4 4 4 4PC PA PB PC ，即可
判断 B；举出反例可判断 C；由向量的数量积运算不满足结合律可判断 D.即可得解.
【详解】
由向量垂直的充要条件可得 A 正确；
1 3
4 4PC PA PB ， 1 1 3 3
4 4 4 4PC PA PB PC 即 3AC CB ，
A ， B ，C 三点共线，故 B 正确；
当 3x 时，两个向量共线，夹角为 ，故 C 错误；
由于向量的数量积运算不满足结合律，故 D 错误．
故选：A、B
【点睛】
本题考查了向量垂直的判定、利用向量证明点共线和向量数量积的应用，属于基础题.
11．已知直线 l： 2( 1) 1 0a a x y ，其中 a R ，下列说法正确的是（ ）
A．当 a＝－1 时，直线 l 与直线 x＋y＝0 垂直
B．若直线 l 与直线 x－y＝0 平行，则 a＝0
C．直线 l 过定点(0，1)
D．当 a＝0 时，直线 l 在两坐标轴上的截距相等
【答案】AC
【解析】利用两直线平行、垂直以及过定点和在两轴上的截距分析直线方程的特征，逐
项分析，得到结果.
【详解】
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对于 A 项，当 a＝－1 时，直线 l 的方程为 1 0x y ，显然与 x＋y＝0 垂直，所以正
确；
对于 B 项，若直线 l 与直线 x－y＝0 平行，可知 2( 1) ( 1) 1 ( 1)a a ，
解得 0a 或 1a ，所以不正确；
对于 C 项，当 0x 时，有 1y ，所以直线过定点 (0,1) ，所以正确；
对于 D 项，当 a＝0 时，直线 l 的方程为 1 0x y ，
在两轴上的截距分别是 1,1 ，所以不正确；
故选：AC.
【点睛】
该题考查的是有关直线的问题，涉及到的知识点有两直线平行，两直线垂直，直线过定
点问题，直线在两轴上的截距的求解，属于简单题目.
12．如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 1， E 是 1DD 的中点，则（ ）
A．直线 1 //B C 平面 1A BD B． 1 1B C BD
C．三棱锥 1 1C B CE 的体积为 1
3 D．异面直线 1B C 与 BD 所成的角为 60
【答案】ABD
【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一验证即可；
【详解】
解：如图建立空间直角坐标系， 0,0,0A ， 1,0,0B ， 1,1,0C ， 0,1,0D ，
1 0,0,1A ， 1 1,0,1B ， 1 1,1,1C ， 1 0,1,1D ， 10,1, 2
E ，
1B C 0,1, 1 ， 1 1,1,1BD ， 1,1,0BD ， 1 1,0,1BA
所以 1 1 1 0 1 1 1 1 0B C BD
，即 1 1BC BD ，所以 1 1B C BD ，故 B 正
确；
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1 1 0 1 1 1 0 1B C BD
， 1 2B C
， 2BD ，
设异面直线 1B C 与 BD 所成的角为 ，则 1
1
1cos 2
B C BD
B C BD
，又 0, 2
，所
以
3
，故 D 正确；
设平面 1A BD 的法向量为 , ,n x y z ，则 1· 0
· 0
n BA
n BD
，即 0
0
x y
x z
，取 1,1,1n ，
则 1 0 1 1 1 1 1 0n B C
，即 1Cn B ，又直线 1B C 平面 1A BD ，所以直
线 1 //B C 平面 1A BD ，故 A 正确；
1 1 1 1 11 1
1 1 1 11 1 13 3 2 6C B CE B C CE C CEV B C SV ，故 C 错误；
故选：ABD
【点睛】
本题考查空间向量法在立体几何中的应用，属于中档题.
三、填空题
13．已知 A（1，－2，11）、B（4，2，3）、C（x，y，15）三点共线，则 xy=___________.
【答案】2．
【解析】试题分析：由三点共线得向量 AB
与 AC
共线，即 AB
k AC ，
(3,4, 8) ( 1, 2,4)k x y ， 1 2 4
3 4 8
x y
，解得 1
2x ， 4y ，∴ 2xy ．
【考点】空间三点共线．
14．已知圆C 的圆心在直线 2 3 0x y 上，且过点 3(2, )A ， ( 2, 5)B ，则圆C 的
标准方程为_________
【答案】 2 2( 1) ( 2) 10x y
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【解析】由圆心在直线 2 3 0x y 上有 (2 3, )C m m ，设半径为 r 结合所过点 ,A B
即可求圆C 的标准方程.
【详解】
圆C 的圆心在直线 2 3 0x y 上，令 (2 3, )C m m ，半径为 r ，
∴圆C 的方程为： 2 2 2( 2 3) ( )x m y m r ，又 3(2, )A ， ( 2, 5)B ，
有
2 2 2
2 2 2
2 1 3
{
2 5 5
m m r
m m r
，解得 2
2
10
m
r
，有 ( 1, 2)C ，
故答案为： 2 2( 1) ( 2) 10x y ；
【点睛】
本题考查了求圆的标准方程，根据圆心位置、所过的点求圆的方程，属于简单题.
15．已知一个等腰三角形 ABC 的一个顶点是 A(4,2)，底边的一个端点 B(3,5)，底边另
一个端点 C 的轨迹方程是___________.
【答案】 2 2( 4) ( 2) 10x y （去掉（3,5），（5,-1）两点）
【解析】根据等腰三角形和已知顶点 A(4,2)，一个端点 B(3,5)，利用腰相等且能构成三
角形即可求端点 C 的轨迹方程；
【详解】
由题意知：设另一个端点 ( , )C x y ，腰长为 2 2(3 4) (5 2) 10r ，
∴C 的轨迹方程： 2 2( 4) ( 2) 10x y ，又由 A、B、C 构成三角形，即三点不可共
线，
∴需要去掉重合点（3,5），反向共线点（5,-1），
故答案为： 2 2( 4) ( 2) 10x y （去掉（3,5），（5,-1）两点）
【点睛】
本题考查了轨迹方程，利用等要三角形的性质及三角形三点不共线求轨迹方程，属于基
础题.
四、双空题
16．已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2，点 M ，N 分别是棱 BC ， 1CC 的中点，
则二面角C AM N 的余弦值为__．若动点 P 在正方形 1 1BCC B （包括边界）内运
动，且 1 / /PA 平面 AMN ，则线段 1PA 的长度范围是__．
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【答案】 2
3
3 2 52
，
【解析】易知 NQC 为二面角C AM N 的平面角，利用相似的性质可求得CQ ，
进而求得 NQ ，由此得解二面角C AM N 的余弦值；建立空间直角坐标系，可求
得点 P 的轨迹为经过 1BB ， 1 1B C 中点的线段，再根据对称性即可求得线段 1PA 长度的
最值，进而得到取值范围．
【详解】
解：延长 AM 至Q ，使得CQ AQ ，连接 NQ ，如图，
由于 1 1 1 1ABCD A B C D 为正方体，由三垂线定理易知 NQC 为二面角C AM N
的平面角，
而 2
2 2sin sin
52 1
CQ ABCMQ AMB CM AM
，故 2 2
5 5
CQ CM ，
22 3( ) 1
5 5
NQ ，
2cos 3
CQNQC NQ
；
以点 D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设 (P m ，2， )(0n m ， 2)n ，
(2A ，0， 0) ， (1M ，2， 0) ， (0N ，2，1) ， 1(2A ，0， 2) ，
则 ( 1,2,0), ( 2,2,1)AM AN ， 1 ( 2,2, 2)A P m n ，设平面 AMN 的一个法向
量为 ( , , )v x y z ，则 · 2 0
· 2 2 0
v AM x y
v AN x y z
，
故可取 (2,1,2)v ，
又 1 / /PA 平面 AMN ，
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1 2( 2) 2 2( 2) 3 0A P v m n m n ，
点 P 的轨迹为经过 1BB ， 1 1B C 中点的线段，
根据对称性可知，当点 P 在两个中点时， 2
1| | 2 1 5maxPA ，当点 P 在两个中点
的中点时， 2 2
1
2 3 2| | ( 5) ( )2 2minPA ，
故选段 1PA 的长度范围是 3 2[ , 5]2
．
故答案为： 2
3
， 3 2[ , 5]2
．
五、解答题
17．已知空间中三点 ( 2,0,2)A ， ( 1,1,2)B ， ( 3,0,4)C ，设 a AB ，b AC .
（1）求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值；
（2）若 ka b 与 2ka b 互相垂直，求实数 k 的值.
【答案】（1） 10
10
；（2） 5
2k 或 2k .
【解析】（1）先写出 a ，b ，再根据空间向量的夹角公式直接求解即可；
（2）根据空间向量垂直的坐标表示直接求解即可得答案.
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【详解】
（1）∵ 1,1,0a AB ， 1,0,2b AC ，
设 a 与b 的夹角为 ，∴
1 10cos 1010|
a b
a b
∣ ；
（2）∵ 1, ,2ka b k k ， 2 2, , 4ka b k k 且 2ka b ka b ，
∴ 2( 1)( 2) 8 0k k k ，即： 5
2k 或 2k .
【点睛】
本题考查空间向量的夹角的计算，空间向量的垂直求参数，考查运算能力，是基础题.
18．如图，已知 M 、N 分别为四面体 ABCD 的面 BCD与面 ACD 的重心，且G 为 AM
上一点，且 : 1:3GM GA ，设 AB a ，AC b ，AD c ，试用 a ，b ，c 表示 BG
，
BN
．
【答案】 BG
3 1 1
4 4 4a b c ； BN
1 1
3 3b c a ．
【解析】根据向量的加减法计算即可．
【详解】
解： 1
4BG BM MG BM AM
1 3 1( )4 4 4BM AB BM BM a
3 2 1 1( )4 3 2 4BC BD a
1 1( )4 4b a c a a
3 1 1
4 4 4a b c ；
2 1 ( )3 2BN AN AB AC AD AB
1 1
3 3b c a ．
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【点睛】
本题主要考查向量的加减法和几何表示，属于基础题.
19．求过点 (2,3)P ，且满足下列条件的直线方程：
（1）倾斜角等于直线 3 4 0x y 的倾斜角的二倍的直线方程；
（2）在两坐标轴上截距相等的直线方程．
【答案】（1） 3 3 2 3 0x y ．（2）3 2 0x y 或 5 0x y ．
【解析】分析：（1）求出直线的倾斜角，利用点斜式求出直线方程；
（2）分类讨论，可得在两坐标轴上截距相等的直线方程.
详解：（1） 由题意，可知 3tan 3
，所以 30 ，
则 tan2 tan60 3k ．所以 3 3 2y x ，
所以所求直线的方程为： 3 3 2 3 0x y ．
（2） 当直线过原点时方程为： 3
2y x ，当直线不过原点时方程为： 15 5
x y ．
故所求直线的方程为 3 2 0x y 或 5 0x y ．
点睛：本题考查直线方程，考查分类讨论的数学思想.
20．已知 ABC 的顶点 (2, 8)C ，直线 AB 的方程为 2 11y x ，AC 边上的高 BH
所在直线的方程为 3 2 0x y
（1）求顶点 A 和 B 的坐标；
（2）求 ABC 外接圆的一般方程.
【答案】（1） 5,1 和 7, 3 ；（2） 2 2 4 6 12 0x y x y
【解析】（1）联立直线 AB 与直线 BH 的方程可得点 B 的坐标，由 AC BH ，进而设
出直线 AC 的方程，将C 的坐标代入得方程，再与直线 AB 方程联立即可得点 A 的坐
标；
（2）由（1）知 A ， B ，C 的坐标，设 ABC 外接圆的一般方程，代入求解即可.
【详解】
（1）由 2 11
3 2 0
y x
x y
可得顶点 (7, 3)B ,
又因为 AC BH 得， 1
3BHk
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所以设 AC 的方程为 3y x b ，
将 (2, 8)C 代入得 14b
由 2 11
3 14
y x
y x
可得顶点为 (5,1)A
所以 A 和 B 的坐标分别为 (5,1)和 (7, 3)
（2）设 ABC 的外接圆方程为 2 2 0x y Dx Ey F ，
将 (5,1)A 、 (7, 3)B 和 (2, 8)C 三点的坐标分别代入，得
5 26 0
7 3 58 0
2 8 68 0
D E F
D E F
D E F
，
解得
4
6
12
D
E
F
，
所以 ABC 的外接圆的一般方程为 2 2 4 6 12 0x y x y .
【点睛】
本题主要考查两直线交点的求法，待定系数法求圆的方程，属于基础题.
21．已知直线方程为 2 2 1 3 4 0m x m y m .
（1）证明：直线恒过定点；
（2） m 为何值时，点 3,4Q 到直线的距离最大，最大值为多少？
（3）若直线分别与 x 轴，y 轴的负半轴交于 ,A B 两点，求 AOB 面积的最小值及此时
直线的方程.
【答案】（1）证明见解析（2） 4
7
m ； 2 13 （3）最小值为 4 ；此时直线的方程
2 4 0x y
【解析】（1）证明：利用直线是直线系求出直线恒过定点，即可；
（2）点 (3,4)Q 到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出距离就是最大值．
（3）若直线分别与 x 轴， y 轴的负半轴交于 A ． B 两点，设出直线的方程，求出 A ，
B ，然后求出 AOB 面积，利用基本不等式求出的最小值及此时直线的方程．
【详解】
（1）证明：直线方程为 2 2 1 3 4 0m x m y m ，可化为
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2 4 2 3 0x y m x y ，对任意 m 都成立，所以 2 3 0
2 4 0
x y
x y
，解得
1
2
x
y
，所以直线恒过定点 1, 2 ；
（2）解：点 3,4Q 到直线的距离最大，
可知点Q 与定点 1, 2P 的连线的距离就是所求最大值，
即 2 23 1 4 2 2 13 .
4 2 3
3 1 2PQk
，
2 2 1 3 4 0m x m y m 的斜率为 2
3
，
可得 2 2
3 2 1
m
m
，解得 4
7
m .
（3）解：若直线分别与 x 轴，y 轴的负半轴交于 ,A B 两点，直线方程为 2 1y k x ，
k 0 ，
则 2 1,0A k
， 0, 2B k ，
1 2 1 2 2 21 2 1 2 2 2 2 42 2 2 2AOB
k kS k kk k k k
△ ，当
且仅当 2k 时取等号，面积的最小值为 4 .
此时直线的方程 2 4 0x y .
【点睛】
本题考查直线系过定点，零点的距离公式，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思
想，属于中档题．
22．如图所示的几何体 P ABCDE 中， ABP△ 和 AEP△ 均为以 A 为直角顶点的等
腰直角三角形，AB AE ， / /AB CE ， / /AE CD ， 2 4CD CE AB ，M 为 PD
的中点.
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（1）求证：CE PE ；
（2）求二面角 M CE D 的大小；
（3）设 N 为线段 PE 上的动点，使得平面 / /ABN 平面 MCE ，求线段 AN 的长.
【答案】（1）证明见解析；（2） 45；（3） 2
【解析】（1）根据题意，得出 PA AB ，PA AE ，根据线面垂直的判定定理得出 PA
平面 ABCDE ，则 AB AE ，建立以 A 为原点， AB ， AE ， AP 为 x ， y ， z 轴的空
间直角坐标系，利用向量法能证明CE PE ；
（2）求出平面 MEC 的法向量和平面 DEC 的一个法向量，利用向量法能求出二面角
M CE D 的大小；
（3）设 PN PE
，[ [0 ，1]) ，求出 (0N ，2 ，2 2 ) ，令 AN n
，则 0AN n
，
解得 N 为 PE 的中点，利用向量法能求出线段 AN 的长．
【详解】
解：依题意得， ABP△ 和 AEP△ 均为以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，
则 PA AB ， PA AE ，
所以 PA 面 ABCDE ，
又 AB AE ，可以建立以 A 为原点，
分别以 AB
， AE
， AP
的方向为 x 轴， y 轴， z 轴正方向的空间直角坐标系（如图），
可得 0,0,0A ， 2,0,0B ， 4,2,0C ， 4,6,0D ， 0,2,0E ， 0 0 2P , , ，
2,3,1M ，
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（1）证明：由题意， 4,0,0CE
， 0,2, 2PE
，
因为 0CE PE
，所以CE PE .
（2）解： 2, 1, 1ME
， 2, 1, 1MC
，
设 , ,n x y z
为平面 MEC 的法向量，则
0
0
n ME
n MC
，即 2 0
2 0
x y z
x y z
，
不妨令 1y ，可得 0,1, 1n
，
平面 DEC 的一个法向量 0,0,2AP
，
因此有
2cos , 2
n APn AP
n AP
，
由图可得二面角 M CE D 为锐二面角，
所以二面角 M CE D 的大小为 45.
（3）解：（方法一）设 0,1PN PE
， , ,N x y z ，
所以 , , 2 0,2, 2x y z ，因此 0,2 ,2 2N ，
令 AN n
，即 0AN n
，
解得 1
2
，即 N 为 PE 的中点，
因为 / /AB 平面 MCE ， / /AN 平面 MCE ， AB AN A ，
所以当 N 为 PE 的中点时，平面 / /ABN 平面 MCE ，
此时即 0,1,1N ，
2 2 20 1 1 2AN
，
所以线段 AN 的长为 2 .
（方法二）设 0,1PN PE
， , ,N x y z ，
所以 , , 2 0,2, 2x y z ，因此 0,2 ,2 2N ，
设 , ,m x y z
为平面 ABN 的法向量，
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则 0
0
m AB
m AN
，即
4 0
2 2 2 0
x
y z
，
不妨令 1y ，可得 0, 1,m
，
因为平面 / /ABN 平面 MCE ，所以 / /m n
，
解得： 1
2
，
此时即 0,1,1N ， 2 2 20 1 1 2AN
，
所以线段 AN 的长为 2 .
【点睛】
本题考查利用空间向量法证明线线垂直，以及利用空间向量法求出二面角和线段长，还
涉及空间中线面的判定定理和性质，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是中档题．
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