2020-2021学年山东省济宁市兖州区高二上学期期中考试数学试题 PDF版

1 2020—2021 学年第一学期期中检测 高二数学试题参考答案 一、单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D C A C A D D 二、多项选择题 题号 9 10 11 12 答案 AB ABD AC ABD 三、填空题 13． 3 2 14．2x+y﹣12＝0 15． ， 16． ． 四．解答题 17.【解】若选①，则 ，所以 ， ； 若选②，则 ，所以 ， ； 若选③，则 ，所以 ， ； （1）设直线上的点的坐标为 ， ， ， 则有 ，化简得 ．…………………………………………5分 （2）由 ， 所以圆的半径 ，圆心坐标为 ， 所以圆的方程为 ． …………………………………………10分 18.【解】 空间中三点 ， ， ， 所以 ， ， ， （1） ，且 ，设 ， 30 30 ( ) 2 4 4 , 1,5 2 2 a− + +  =    ( )4,6A ( )2,4B − ( ) 2 6 , 1,5 2 2 b b− + +  =    ( )4,6A ( )2,4B − ( ) 4 4 6 , 1,5 2 2 c + +  =    ( )4,6A ( )2,4B − ( ),x y ( )4,6A ( )2,4B − 4 6 6 ( 4) 2 4 y x − − = − − − 3 14 0x y− + = ( ) ( ) 2 2 2 4 4 6 2 10AB = − − + − = 10r = ( )1,5 ( ) ( ) 2 2 1 5 10x y− + − = ( )2,0, 2A − ( )1, 1, 2B − − ( )3,0, 4C − ( ) ( ) ( )1, 1, 2 2,0, 2 1, 1,0AB = − − − −= = − −a ( ) ( ) ( )3,0, 4 2,0, 2 1,0, 2AC= = − − − = −b (3,0, 4) (1, 1, 2) (2,1, 2)BC = − − − − = − 3=c //BCc mBC=c 2 ， ， ， 或 ． …………………………………………6分 （2） ， ， 且向量 与 互相垂直， ，解得 ， 的值是 ． …………………………………………12分 19．【解】（1）设圆心的坐标为 ，则有 ， 整理求得 ，故圆心为 ， ， 则圆的方程为 ． …………………………………………6分 （2）设线段 PD 中点 ，P(x1,y1)，由题意知 ， ， ∵点 p 在圆 C: 上运动，∴ ， ∴ 的轨迹方程为 ． …………………………………………12分 20．解：（1）由题意可得抛物线的焦点 F（2，0），且直线 AB 的斜率不为 0，设直线 AB 的方程为：x＝my+2， 联立直线与抛物线的方程： ，整理可得：y2﹣8my﹣16＝0，y1y2＝﹣16． 所以可证得 y1y2＝﹣16 为定值； …………………………………………6分 （2）设 A 点在 x 轴上方，由题意若|AF|＝10，准线方程 x＝﹣2，则可得 x1+2＝10，所以 x1＝8， 代入抛物线方程可得 y1＝8，由（1）得 y2＝﹣2， 所以 ＝ ＝ ＝4， 所以△AOF 的面积与△BOF 的面积的比值为 4． …………………………………………12分 ( ) ( )2,1, 2 2 , , 2mBC m m m m = = − = −c 2 2 2( 2 ) ( ) (2 ) 3 3m m m m = − + − + = =c 1m =  ( )2,1, 2= −c ( )2, 1,2= − −c ( ) ( ) ( )1,1 0, , 2 1 , , 21,0k k k k− = − −+ = − − + −a b ( )1,0, 2= −b k +a b b ( ) 1 4 0k k  =+ − + =a b b 5k = k 5 ( , 1)t t + 2 2 2 2( 1) ( 1) ( 1) ( 3)t t t t− + + = + + + 1t = − ( 1,0)− 2 2 2( 1) ( 1) 4r t t= − + + = 2 2( 1) 4x y+ + = ( , )M x y 1 2 4x x= − 1 2 3y y= − 2 2( 1) 4x y+ + = 2 2(2 4 1) (2 3) 4x y− + + − = M 2 23 3 ( ) ( ) 1 2 2 x y− + − = 3 21.解： 四边形 是菱形， ， 又 ， ， 是等边三角形． 点 M 为线段 AC 的中点， ． 又 ， ． 在等边 中， ， 又 ， ， ， 平面 ，而 平面 ， 平面 平面 ． …………………………………………6分 ，平面 平面 ，且交线为 AC， 平面 ， 直线 MB，MC， 两两垂直． 以点 M 为坐标原点，分别以 MB，MC， 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系， 则 ， ， ， 1， ， ， ， ． 设平面 的一个法向量为 ， 令 ，得 ， 点 C 到平面 的距离 ． …………………………………………12分 22．解：（1）由题设得 2 2 4 1 1 a b + = ， 2 2 2 1 2 a b a − = ， ………………………………2分 解得 2 6a = ， 2 3b = ． …………………………………………………………3分 所以C 的方程为 2 2 1 6 3 x y + = ． ………………………………………………4 分 （2）法一：（国标）常规联立法：（设直线MN 的斜截式方程） 设 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y ． 4 若直线MN 与 x 轴不垂直，设直线MN 的方程为 y kx m= + ， 代入 2 2 1 6 3 x y + = 得 2 2 2(1 2 ) 4 2 6 0k x kmx m+ + + − = ． 于是 2 1 2 1 22 2 4 2 6 , 1 2 1 2 km m x x x x k k − + = − = + + ．① …………………………………………6分 由 AM AN⊥ 知 0AM AN = ，故 1 2 1 2( 2)( 2) ( 1)( 1) 0x x y y− − + − − = ， ………………7分 可得 2 2 1 2 1 2( 1) ( 2)( ) ( 1) 4 0k x x km k x x m+ + − − + + − + = ． 将①代入上式可得 2 2 2 2 2 2 6 4 ( 1) ( 2) ( 1) 4 0 1 2 1 2 m km k km k m k k − + − − − + − + = + + ． 整理得 (2 3 1)(2 1) 0k m k m+ + + − = ． 因为 (2,1)A 不在直线MN 上，所以 2 1 0k m+ −  ， 故 2 3 1 0k m+ + = ， 1k  ． ………………………………………………………………8分 于是MN 的方程为 2 1 ( ) ( 1) 3 3 y k x k= − −  . 所以直线MN 过点 2 1 ( , ) 3 3 P − . …………………………………………………………9分 若直线MN 与 x 轴垂直，可得 1 1( , )N x y− . 由 0AM AN = 得 1 1 1 1( 2)( 2) ( 1)( 1) 0x x y y− − + − − − = . 又 2 2 1 1 1 6 3 x y + = ，可得 2 1 13 8 4 0x x− + = .解得 1 2x = （舍去）， 1 2 3 x = . 此时直线MN 过点 2 1 ( , ) 3 3 P − . …………………………………………………………10分 令Q 为 AP 的中点，即 4 1 ( , ) 3 3 Q . 若 D与 P 不重合，则由题设知 AP 是Rt ADP△ 的斜边， 故 1 2 2 | | | | 2 3 DQ AP= = . ………………………………………………………………11分 若 D与 P 重合，则 1 | | | | 2 DQ AP= . 综上，存在点 4 1 ( , ) 3 3 Q ，使得 | |DQ 为定值. …………………………………………12分 法二：常规联立法：（设直线 MN 反斜截式方程） 设 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y ．当直线MN 的斜率不为 0 时，设直线MN 方程为 nmyx += ，联立      =+ += 1 36 22 yx nmyx 得 ( ) 0622 222 =−+++ nmnyym 则 2 2 21221 2 6 , 2 2 m n yy m mn yy + − = + −=+ . ① 5 由 AM AN⊥ 知 0AM AN = ，故 1 2 1 2( 2)( 2) ( 1)( 1) 0x x y y− − + − − = ，(或 1 2 1 2 1 2 2 1 1 −= − −  − − = x y x y kk ANAM 得 )2)(2()1)(1( 2121 −−−=−− xxyy , 01)2())(12()1( 2 2121 2 =+−−++−−−++ nyymmnyym 将①代入上 式得： 01)2( 2 2 )12( 2 6 )1( 2 22 2 2 =+−−+ + +++ + − + n m mn mmn m n m ，整理得 0)2)(23( =−++− nmnm 因为点 )1,2(A 不在直线 MN 上，所以 02 −+ nm 故 023 =+− nm . 所以直线 MN 方程为 nynx +−= )23( ，所以直线 MN 过点 2 1 ( , ) 3 3 P − . 当直线 MN 斜率为 0 时，设为 0yy = ，则由 )2)(2()1)(1( 2100 −−−=−− xxyy ， 1 36 2 0 2 1 =+ yx ， 21 xx −= 得 3 1 0 −=y 此时直线MN 过点 2 1 ( , ) 3 3 P − . 令 Q 为 AP 的中点，即 4 1 ( , ) 3 3 Q .若 D与 P 不重合，则由题设知 AP 是Rt ADP△ 的斜边，故 1 2 2 | | | | 2 3 DQ AP= = . 若 D与 P 重合，则 1 | | | | 2 DQ AP= .综上，存在点 4 1 ( , ) 3 3 Q ，使得 | |DQ 为定值. 法三：常规联立法：（设直线 MN 反斜截式方程）设 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y ．当直线MN 的斜率不为 0 时，设直线 MN 方 程 为 nxmy += ， 联 立      =+ += 1 36 22 yx nxmy 得 ( ) 0622 222 =−+−+ nmnyym , 则 2 2 21221 2 6 , 2 2 m n yy m mn yy + − = + =+ ① 由 AM AN⊥ 知 0AM AN = ，故 1 2 1 2( 2)( 2) ( 1)( 1) 0x x y y− − + − − = ， (或 1 2 1 2 1 2 2 1 1 −= − −  − − = x y x y kk ANAM 得 )2)(2()1)(1( 2121 −−−=−− xxyy , 01)2())(12()1( 2 2121 2 =+−−++−−−++ nyymmnyym , 将 ① 代 入 上 式 得 ： 01)2( 2 2 )12( 2 6 )1( 2 22 2 2 =+−−+ + ++− + − + n m mn mmn m n m , 整理得 0)2)(23( =−+++ nmnm , 因为点 )1,2(A 不 在直线 MN 上，所以 02 −+ nm ,故 023 =++ nm .所以直线 MN 方程为 nxyn +=−− )23( ， 所以直线MN 过点 2 1 ( , ) 3 3 P − .当直线MN 斜率为 0时，设为 0yy = ，则由 )2)(2()1)(1( 2100 −−−=−− xxyy ， 1 36 2 0 2 1 =+ yx ， 21 xx −= 得 3 1 0 −=y , 此时直线MN 过点 2 1 ( , ) 3 3 P − . 令Q 为 AP 的中点，即 4 1 ( , ) 3 3 Q .若 D 与 P 不重合，则由题设知 AP 是Rt ADP△ 的斜边，故 1 2 2 | | | | 2 3 DQ AP= = . 若 D 与 P 重合，则 1 | | | | 2 DQ AP= . 6 综上，存在点 4 1 ( , ) 3 3 Q ，使得 | |DQ 为定值. 法四：常规联立法（设直线 ANAM , 的方程,但不易计算，再通过特殊化思想易求出） 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y ，当直线 ANAM , 的斜率存在，且不为 0时,设直线 AM 的方程为 )2(1 −=− xky . 联 立      =+ −=− 1 36 )2(1 22 yx xky 得 0688)84()21( 2222 =−−+−++ kkxkkxk , 2 2 1 21 48 2 k kk x + − =+ ， 或 2 2 1 21 488 2 k kk x + −− = ，或 2 2 1 21 244 k kk x + −− = , 同理 2 48 1 21 1 4 1 8 2 2 2 2 2 + + = + − =+ k k k kkx ，或 2 2 1 21 488 2 k kk x + −− = ， 或 4 244 2 2 2 + −− = k kk x . 法五：坐标平移法 平移变化后已知条件简化为 '''' NAMA ⊥ ，所以 0 ' 2 ' 1 ' 2 ' 1 =+ yyxx ，设     −= −= 1 2 ' ' yy xx ，可得     += += 1 2 ' ' yy xx 所以平移 后的椭圆方程为 1 3 )1( 6 )2( 2'2' = + + + yx .当直线 ''NM 斜率存在时，设直线 ''NM 的方程为 mkxy += '' ， ),(),,( ' 2 ' 2 ' 1 ' 1 ' yxNyxM ， 由 1 3 )1( 6 )2( 2'2' = + + + yx 和 mkxy += '' 联 立 方 程 组 得 ， 02)1(2)14()21( 2'2'2 =−++++++ mxkkmxk , 所以 2 ' 2 ' 1 21 )14( k kkm xx + ++− =+ ， 2 2 ' 2 ' 1 21 42 k mm xx + + = ，① 2 2 ' 2 ' 1 21 4 k kmm yy + − = . ②,由 '''' NAMA ⊥ ，得 0 ' 2 ' 1 ' 2 ' 1 =+ yyxx ， 将①②代入上式得： 1 4 3 += mk ， 所 以直线 ''NM 方程为： mxmy ++= '' )1 4 3 ( , 所以直线 ''NM 恒过 ) 3 4 , 3 4 ( −− , 所以直线MN 过点 2 1 ( , ) 3 3 P − . 当直 线 ''NM 斜率不存在时，设直线为 mx =' ，得 ),(),,( ' 2 ' 1 ' ymNymM ,由 1 3 )1( 6 )2( 2'2 = + + + ym 和 0 ' 2 ' 1 2 =+ yym 解得 3 4 −=m ，此时 3 2 =x , 所以直线MN 过点 2 1 ( , ) 3 3 P − . 令Q 为 AP 的中点，即 4 1 ( , ) 3 3 Q .若 D 与 P 不重合，则 由题设知 AP 是Rt ADP△ 的斜边，故 1 2 2 | | | | 2 3 DQ AP= = . 若 D 与 P 重合，则 1 | | | | 2 DQ AP= .综上，存在点 4 1 ( , ) 3 3 Q ，使得 | |DQ 为定值. 7 法六：点乘双根法（由 1 2 1 2( 2)( 2) ( 1)( 1) 0x x y y− − + − − = 想到）,若直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为 mkxy += ， 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y , 则 ( ) ))((216)(2 21 222 xxmkxx −−+=−++ ， 令 2=x ， 则 221 21 )12)(12(2 )2)(2( k mkmk xx + ++−+ =−− , 又 ))(( 1 262)( 212 22 yyyy k y k my −−      +=−+ − , 令 1=y 则 221 21 )12)(12( )1)(1( k mkmk yy + −++− =−− . 由 AM AN⊥ 知 0AM AN = ，故 1 2 1 2( 2)( 2) ( 1)( 1) 0x x y y− − + − − = , 所以 0 21 )12)(132( 2 = + −+++ k mkmk . 当 12 +−= km ，直线MN 恒过 )1,2(A ，不合题意；当 3 1 3 2 −−= km ， 直线MN 恒过 ) 3 1 , 3 2 ( − ，若直线MN 的斜率不存在，则直线MN 为 3 2 =x ，使得 AM AN⊥ .综上直线MN 恒过点 ) 3 1 , 3 2 ( − ，设该点为 P ， 令Q 为 AP 的中点，即 4 1 ( , ) 3 3 Q .若 D与P 不重合，则由题设知 AP 是Rt ADP△ 的斜边， 故 1 2 2 | | | | 2 3 DQ AP= = . 若 D 与 P 重合，则 1 | | | | 2 DQ AP= .综上，存在点 4 1 ( , ) 3 3 Q ，使得 | |DQ 为定值. 法七：齐次化法 椭 圆 方 程 1 36 22 =+ yx 可 化 为  )1()2(4)1(2)2( 22 −+−−=−+− yxyx , 设 直 线 MN 的 方 程 为 1)1()2( =−+− ynxm ， 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y ,则   )1()2()1()2(4)1(2)2( 22 −+−−+−−=−+− ynxmyxyx 整理得：( ) ( ) 041 2 1 4) 2 1 (42 2 =++ − − ++ − − + m x y nm x y n .因为 ANAM ⊥ ,所以 1 2 1 2 1 2 2 1 1 −= − −  − − = x y x y kk ANAM ， 所以 1 42 41 −= + + n m ，所以 4 3 −−= mn , 1)1)( 4 3 ()2( =−+−− ymxm ，即 0 4 1 4 3 )1( =−−−− yyxm , 所以直线MN 恒过点 ) 3 1 , 3 2 ( − ，设该点为 P . 令Q 为 AP 的中点，即 4 1 ( , ) 3 3 Q .若 D 与 P 不重合，则由题设知 AP 是Rt ADP△ 的 斜边，故 1 2 2 | | | | 2 3 DQ AP= = . 若 D 与 P 重合，则 1 | | | | 2 DQ AP= . 综上，存在点 4 1 ( , ) 3 3 Q ，使得 | |DQ 为定值.