2020-2021学年山东省泰安肥城市高二上学期期中考试数学试题 Word版

1 泰安肥城市2020-2021学年高二上学期期中考试 数 学 试 题 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无 效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1．若直线l 的倾斜角 045  ，则其斜率 k  A． 1 2 B． 2 2 C． 1 D． 3 2．如图，已知平行六面体 ABCD A B C D    ，点 E 是CC 的中点，下列结论中错误．．的是 A． =AB AD AC   B． AB AA BA     C． AB AD AA AC       D． 1 2AB BC CC AE      3．圆   2 22 3 5x y    的圆心和半径分别是 A． 2,3 , 5 B． 2, 3 , 5 C． 2,3 ,5 D． 2, 3 ,5 4．已知直线l ： 3 2y x  ，则直线l 经过哪几个象限 A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．二、三、四象限 D．一、三、四象限 A B CD A B CD E· 2 5．若两异面直线 1l 与 2l 的方向向量分别是    1 21,0, 1 , 0, 1,1   n n ,则直线 1l 与 2l 的 夹角为 A． 030 B． 060 C． 0120 D． 0150 6．已知    2,5 , 4,1A B ,若点  ,P x y 在线段 AB 上，则 2x y 的最小值为 A． 1 B．3 C． 7 D．8 7．如图，梯形 ABCD 中， //AB CD ， 2AB CD ，点O 为空间内任意一点， , ,OA OB OC     a b c ，向量OD x y z   a b c ， 则 , ,x y z 分别是 A．1, 1,2 B． 1 1, ,12 2  C． 1 1, ,12 2  D． 1 1, , 12 2   8．圆 2 2 6 0x y x   和圆 2 2 4 6 0x y x y    交于 ,A B 两点，则两圆公共弦的 弦长 AB 为 A． 9 10 5 B． 9 10 10 C． 7 10 5 D． 7 10 10 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。 9．下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是 A．两条不重合直线 1 2,l l 的方向向量分别是    2,3, 1 , 2, 3,1    a b ，则 1 2//l l ； B．直线l 的方向向量  1, 1,2 a ，平面 的法向量是  6,4, 1 u ，则l  ； C．两个不同的平面 ,  的法向量分别是    2,2, 1 , 3,4,2   u v ，则  ； D．直线 l 的方向向量  0,3,0a ，平面 的法向量是  0, 5,0 u ，则 //l  . 10．直线 2 0x y   分别与 x 轴， y 轴交于 ,A B 两点，点 P 在圆 2 22 2x y   上， 则 PAB 面积的可能取值是 A B CD O 3 A． 2 B． 2 C． 4 D． 6 11．在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中,点 , ,E F G 分别为棱 1 1 1 1 1, ,A D D D A B 的中点. 则下列结 论正确的是 A． 1AC EG B． //GC ED C． 1 1B F BGC 平面 D． EF 和 1BB 所成角为 4  12．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 ,A B 的距离之比为定值  1   的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”. 在平面直角坐标系 xoy 中， 已知    4,2 , 2,2A B , 点 P 满足 2PA PB  , 设点 P 的轨迹为圆C , 下列结论正确的是 A．圆 C 的方程是   2 24 2 16x y    . B．过点 A 向圆C 引切线，两条切线的夹角为 3  . C．过点 A 作直线l ，若圆C 上恰有三个点到直线l 距离为 2，该直线斜率为 15 5  . D．在直线 2y  上存在异于 ,A B 的两点 ,D E , 使得 2PD PE  . 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 平面 的一个法向量是  2, 2,1  n ， 点  1,3,0A  在平面 内， 则点  2,1,4P  到平面 的距离为 ▲ . 14. 已知两条平行直线 1 2:3 4 6 0 :3 4 =0l x y l x y C    与 间的距离为3，则C 的值 为 ▲ ． 15. 如图，已知 ,PA ABC 平面 6,PA AB BC   0120 ,ABC  则线段 PC 长为 ▲ ． 16．已知点 M 是直线 : 2 2l y x   上的动点，过点 M 作圆    2 2: 1 1 4C x y    的 P A B C 4 切线 ,MA MB ，切点为 ,A B ，则当四边形 MACB 的面积最小时，直线 AB 的方程 为 ▲ . 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10 分） 求经过直线 1 23 4 5 0 2 3 8 0l x y l x y     : ， : 的交点 M ,且满足下列条件的直线的方程. （1）经过点  1,3P ； （2）与直线 2 +5 0x y  平行. 18．（12 分） 已知空间中的三点      2,0,2 , 1,1,2 , 3,0,4P M N   ,设 ,PM PN   a b . （1）若 ka + b 与 2k a b 互相垂直，求 k 的值； （2）求点 N 到直线 PM 的距离. 19．（12 分） 条件①：图（1）中 tan 2B  . 条件②：图（1）中3 2AD AB AC    . 条件③：图（2）在三棱锥 A BCD 的底面 BCD 中， , 1BCDCD BD S  . 从以上三个条件中任选一个，补充在问题中的横线上，并加以解答. 如图（1）所示，在 ABC 中, 045ACB  ， 3BC  ，过点 A 作 AD BC ，垂足 D 在线段 BC 上，沿 AD 将 ABD 折起，使 090BDC  (如图（2）)，点 M 为棱 AC 的中点．已知_____________, 在棱CD 上取一点 N ，使得 3CN DN ，求锐二面角 M BN C  的余弦值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 图（1） B D A C C D N 图（2） M A B 5 20．（12 分） 已知在平面直角坐标系 xoy 中，点  0,3A ，直线 : 2 4l y x  . 圆C 的半径为1， 圆心C 在直线l 上. （1）若直线 3 4 12 0x y   与圆C 相切，求圆C 的标准方程； （2）已知动点  ,M x y ，满足 2MA MO ，说明 M 的轨迹是什么? 若点 M 同时 在圆C 上，求圆心C 的横坐标 a 的取值范围. 21．（12 分） 如图所示多面体中， AD  平面 PDC ，四边形 ABCD 为平行四边形， E AD为 的中点， F 为 线段 BP 上一点， 0=120 , 3, 5, 2.CDP AD AP CD    （1）若 F BP为 的中点，证明： EF ∥平面 PDC ； （2）若 1 3BF BP ,求直线 AF 与平面 PBC 所成角的正弦值. 22．（12 分） 已知点 ,A B 关于原点 O 对称，点 A 在直线 0x y  上， 2AB  ，圆 M 过点 ,A B 且与直线 1 0x   相切，设圆心 M 的横坐标为 a . （1） 求圆 M 的半径； （2） 已知点 (0,1)P ,当 2a  时,作直线l 与圆 M 相交于不同的两点 ,M N ,已知直线 F D C B A P E 6 l 不经过点 P ,且直线 ,PM PN 斜率之和为 1 ,求证：直线l 恒过定点. 7 高二数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A D B A C A 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分。 题号 9 10 11 12 答案 AC BCD AD ABD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 10 3 14. 9 21 或 15. 12 16. 2 1 0x y   四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10 分） 解：由 3 4 5 0 2 3 8 0 x y x y        ， ，解得 1 2 x y     ， ，故点  1,2M  .设所求直线为l .…………4 分 （1）当直线l 经过点  1,3P 时，可得直线l 的方程为     12 3 2 1 1 xy      ， 化简得 2 5 0x y   . ……………………………………………………………………7 分 （2）若直线l 平行直线 2 +5 0x y  ，则直线l 的斜率为 2 , 所以直线l 的方程为  2 2 1y x    ，即 2 0x y  . ……………………………10 分 18.（12 分） 解：由题意可求得  1,1,0PM  a ,  1,0,2PN   b . …………………………2 分 （1）可得    1, ,2 , 2 2, , 4 .k k k k k k     a + b a b ………………………………4 分 因为    2k k a + b a b ,所以有   21 2 8 0k k k     , …………………………7 分 8 整理得 22 10 0k k   ,解得 52 .2k k  或 所以 k 的值为 52 .2k k  或 …………………………………………………………8 分 （2）设直线 PM 的单位方向向量为 u , 则  2 2 21,1,0 , ,02 2 2        au = a . ………………………………………………9 分 由于  1,0,2PN    b ，所以 2 2   b u ， 52b . ……………………………11 分 所以点 N 到直线 PM 的距离   2 2 2 3 25 .2 2d            2b b u ………………12 分 19.（12 分） 解：方案一：选① 在图(1)所示的 ABC 中，设 AD CD x  ，在 Rt ABD 中， tan 23 AD xB BD x    ,解得 2x  ， 1BD  . …………………………………2 分 以点 D 为原点，建立如图所示 的空间直角坐标系 D xyz ,则 (0,0,0), (1,0,0), (0,2,0),D B C (0,0,2), (0,1,1)A M ∴ ( 1,1,1)BM   . ……………4 分 由 3CN DN ,可得 1(0, ,0)2N ， 1( 1, ,0)2BN   . ……………………………………6 分 取平面 BNM 的一个法向量 ( , , )x y zn , 由 0, 0 BN BM        n n ,得 1 0,2 0 x y x y z         ，令 1x  ，则 (1,2, 1) n .………………………9 分 取平面 BNC 的一个法向量 (0,0,1)m , …………………………………10 分 D A B C M x y z N 9 ∴ 2 2 2 (0,0,1) (1,2, 1) 6cos | || 61 2 ( 1)           , | m nm n m n , …………………………………11 分 ∴锐二面角 M BN C  的余弦值为 6 6 . …………………………………12 分 方案二：选② 在图(1)所示的 ABC 中，由3 2AD AB AC    得  2 , 2 .AD AB AC AD DC BD        即 因为 3, 2BC DC BD  ,所以 2, 1.CD BD  ………………………………………2 分 以点 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz , 则 (0,0,0), (1,0,0), (0,2,0),D B C (0,0,2), (0,1,1)A M ∴ ( 1,1,1)BM   . ……………………………4 分 由 3CN DN , 可得 1(0, ,0)2N ， 1( 1, ,0)2BN   . ………6 分 取平面 BNM 的一个法向量 ( , , )x y zn , 由 0, 0 BN BM        n n ,得 1 0,2 0 x y x y z         ，令 1x  ，则 (1,2, 1) n .………………………9 分 取平面 BNC 的一个法向量 (0,0,1)m , …………………………………10 分 ∴ 2 2 2 (0,0,1) (1,2, 1) 6cos | || 61 2 ( 1)           , | m nm n m n , …………………………………11 分 ∴锐二面角 M BN C  的余弦值为 6 6 . …………………………………12 分 方案三：选③ 图（2）在三棱锥 A BCD 的底面 BCD 中,设 (0 3)BD x x   ，则 3CD x  , 所以 1 (3 ) 12BCDS x x    ,解得 1 2x x 或 . D A B C M x y z N 10 又因为CD BD ,所以 2, 1.CD BD  ………………………………………2 分 以点 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 D xyz , 则 (0,0,0), (1,0,0), (0,2,0), (0,0,2), (0,1,1)D B C A M ， ∴ ( 1,1,1)BM   . …………………………4 分 由 3CN DN , 可得 1(0, ,0)2N ， 1( 1, ,0)2BN   . ………6 分 取平面 BNM 的一个法向量 ( , , )x y zn , 由 0, 0 BN BM        n n ,得 1 0,2 0 x y x y z         ， 令 1x  ，则 (1,2, 1) n .…………………………………………………………………9 分 取平面 BNC 的一个法向量 (0,0,1)m , …………………………………10 分 ∴ 2 2 2 (0,0,1) (1,2, 1) 6cos | || 61 2 ( 1)           , | m nm n m n , …………………………………11 分 ∴锐二面角 M BN C  的余弦值为 6 6 . …………………………………12 分 20.（12 分） 解：（1）因为圆心C 在直线l 上, 所以圆心C 可设为 ,2 4a a  . 由题意可得   2 2 3 4 2 4 12 11 28 153 4 a a a      ,即 11 28 5a   . …………………2 分 由11 28 5a    , 解得 233 11a a 或 . ………………………………………………4 分 圆心C 的坐标为  23 23,2 ,11 11      或 . 所以圆C 的标准方程为    2 2 2 2 23 23 2 1 1.11 11x y x y                 或 …………6 分 （2）由 2MA MO ,得  22 2 23 2x y x y    , D A B C M x y z N 11 化简得: 2 2 2 3 0x y y    ,即  22 1 4x y   . 所以动点 M 的轨迹是以  0, 1D  为圆心,半径是 2 的圆. ……………………………8 分 若点 M 同时在圆C 上, 则圆C 与圆 D 有公共点, 则 2 1 2 1CD    ,即  221 2 3 3a a    . ……………………………………10 分 整理得 2 2 5 12 8 0, 5 12 0 a a a a       , 解得 120 5a  . 所以圆心C 的横坐标 a 的取值范围为 120, 5      . …………………………………………12 分 21.（12 分） （解法一）证明：（1）取 PC 的中点为O ，连 ,FO DO , 因为 ,F O 分别为 ,BP PC 的中点，所以 //FO BC且 1 2FO BC . ……………………1 分 又 ABCD 为平行四边形, //ED BC 且 1 2ED BC , 所以 //FO ED 且 FO ED , 即四边形 EFOD 是平行四边形. 即 //EF OD . ………………………………………3 分 又 EF  平面 PDC , DO  平面 PDC , 所以 //EF 平面 PDC . …………………5 分 （2）以 DC 所在直线为 x 轴， 过 D 点且与平面 ABCD 垂直的直 线为 y 轴， DA 所在直线为 z 轴建 立如图所示空间直角坐标系，则  0,0,0D ，  2,0,0C ,  2,0,3B ，  2,2 3,0P  ，  0,0,3A ， ∴    0,0,3 , 4, 2 3,0CB PC    . …………………………………………7 分 设 ( , , )F x y z ， 1 4 2( 2, , 3) ( , 3, 1)3 3 3BF x y z BP        , ∴ 2 2( , 3,2),3 3F 则 2 2( , 3, 1)3 3AF   . ………………………………………………8 分 O F x D C P y B E A z 12 设平面 PBC 的法向量为 1 ( , , )x y zn 则 1 1 0, 0 CB PC        n n ,即 3 0, 4 2 3 0 z x y    ，取 1y  得 1 3( ,1,0)2 n . ……………… 10 分 ∴ 1 1 1 2 3 2 3 3 6 213 2 3cos , 354 4 3 5 71 19 3 4 3 2 AFAF AF              nn n ， ∴ AF 与平面 PBC 所成角的正弦值为 6 2135 . ……………………………… 12 分 （解法二）证明：（1） 以 DC 所在直线为 x 轴，过 D 点且与平面 ABCD 垂直的直线为 y 轴， DA 所在直线为 z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则  0,0,0D ，  2,0,0C ,  2,0,3B ，  2,2 3,0P  ，  0,0,3A .……………………………………2 分 因为 E AD为 的中点， F BP为 的中点，所以 3 30,0, , 0, 3,2 2E F           . 直线 EF 的方向向量  0, 3,0EF  . ………………………………………………3 分 取平面 PDC 的一个法向量 (0,0,1)n ， …………………………………………4 分 因为 0EF  n ，即 EF  n . 所以 EF ∥平面 PDC . ………………………………………………………………5 分 （2）    0,0,3 , 4, 2 3,0 ,CB PC    设 ( , , )F x y z ， 1 4 2( 2, , 3) ( , 3, 1)3 3 3BF x y z BP        , F x D C P y B E A z 13 ∴ 2 2( , 3,2),3 3F 则 2 2( , 3, 1)3 3AF   . ……………………………… 8 分 设平面 PBC 的法向量为 1 ( , , )x y zn 则 1 1 0 0 CB PC        n n ,即 3 0 4 2 3 0 z x y    ，取 1y  得 1 3( ,1,0)2 n . ……………… 10 分 1 1 1 2 3 2 3 3 6 213 2 3cos , 354 4 3 5 71 19 3 4 3 2 AFAF AF              nn n ∴ AF 与平面 PBC 所成角的正弦值为 6 2135 . ……………………………… 12 分 22.（12 分） 解：（1）因为圆 M 过点 ,A B ,所以圆心 M 在 AB 的垂直平分线上， 由已知点 A 在直线 0x y  上，且点关于原点O 对称， 所以点 M 在直线 y x 上，则点 M 的坐标为 ,a a . …………………………………1 分 因为圆 M 与直线 1 0x   相切，所以圆 M 的半径为 1a  , 连接 MA ,由已知得 1AO  , 又 MO AO ,故可得  221 2 1a a   , ……………………………………………3 分 整理得： 2 2 0a a  ，解得 0 2a a 或 , 故圆 M 的半径为 1 3.r r 或 ………5 分 （2）因为 2a  ,所以 0a  ,圆 M 的方程为 2 2 1x y  . 设点    1 1 2 2, , ,M x y N x y , 当直线l 的斜率存在时,设直线  : 1l y kx m m    , 联立方程组 2 2 1 y kx m x y      ,消去 y 得 2 2 21 2 1 0.k x kmx m     则   2 2 2 1 2 1 22 2 2 14 1 0, , .1 1 km mk m x x x xk k           ………………………7 分 因为    1 2 2 11 2 1 2 1 2 1 11 1 PM PN y x y xy yk k x x x x        14       1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1kx m x kx m x kx x m x x x x x x              1 2 2 1 2 1 1 2 22 2 2 .1 1 m x x m km kmk k kx x m m           …………………9 分 又因为直线 ,PM PN 斜率之和为 1 ,所以 22 11 kmk m    , 得 2 1m k   . 代入 y kx m  ,得  2 1 2 1y kx k k x      , 所以直线l 恒过定点  2, 1 . …………………………………………………………10 分 当直线l 的斜率不存在时, 2 1 2 1, ,x x y y   1 1 1 2 1 1 1 2 .PM PN y yk k x x x        因为直线 ,PM PN 斜率之和为 1 ,所以 1 1 2 1, 2xx     , 但 1 11 1, 0,x x   且 故不合题意,舍去. 综上, 直线l 恒过定点 2, 1 . …………………………………………………………12 分 15 更 正 附加题的答题卡图：原图少个字母 A 改为：