2020-2021学年山西省朔州市怀仁县云东校区高二上学期第二次月考数学（文）试题（解析版）

第 1 页 共 16 页 2020-2021 学年山西省朔州市怀仁县云东校区高二 上学期第二次月考数学（文）试题 一、单选题 1．已知集合 1 2 03      xA x x ，则 R A ð （ ） A．  1, 3 ,2       B．  1, 3 ,2        C． 13, 2     D． 13, 2     【答案】C 【解析】将分式不等式化为整式不等式得到 (2 1)( 3) 0x x   求解集，即为 A 的集合， 进而求 A 在 R 上的补集 【详解】 由1 2 03 x x   ，有 (2 1)( 3) 0x x   ∴可得： 3x   或 1 2x  故，  | 3  A x x 或 1 2   x ∴ R A ð 1| 3 2       x x 故选：C 【点睛】 本题考查了补集，将分式不等式转化为整式不等式求解集，结合补集运算得到解集的补 集 2．直线 1 0x y   的倾斜角为（ ） A． 4  B． 3  C． 2  D． 3 4  【答案】A 【解析】由直线方程为 1 0x y   ，可得斜率 1k  ，设倾斜角 ，再根据 tan θk = 即 可得解. 第 2 页 共 16 页 【详解】 由直线方程为 1 0x y   ， 可得斜率 1k  ， 设倾斜角 ，由 tan θk = 可得： tan 1  ，又因为 0    ， 可得： = 4  ， 故选：A. 【点睛】 本题考查了斜率和倾斜角的关系，考查了利用斜率求倾斜角，计算量不大，属于基础题. 3．若 0 2 3x  ，则 (3 2 )x x 的最大值为（ ） A． 9 16 B． 9 4 C．2 D． 9 8 【答案】D 【解析】利用均值不等式即可得到结果． 【详解】 解：∵0＜2x＜3，∴3﹣2x＞0，x＞0， ∴（3﹣2x）x 1 2  （3﹣2x）•2x 21 3 2 2 9( )2 2 8 x x   ， 当且仅当 3﹣2x＝2x，即 x 3 4  时取等号， ∴ (3 2 )x x 的最大值为 9 8 ． 故选 D． 【点睛】 本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想，属基础题． 4．三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如下 图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（ ）. A．如果 a b ，b c ，那么 a c B．如果 0a b  ，那么 2 2a b 第 3 页 共 16 页 C．对任意实数 a 和b ，有 2 2 2a b ab  ，当且仅当 a b 时等号成立 D．如果 a b ， 0c  那么 ac bc 【答案】C 【解析】将赵爽弦图中的直角三角形的两直角边长度取作 ,a b ，分别求出正方形的面积， 以及四个直角三角形的面积，即可得出结果. 【详解】 将赵爽弦图中的直角三角形的两直角边长度取作 ,a b ，斜边为 2 2 2( )c c a b  ， 则外围的正方形的面积为 2c ，即 2 2a b ； 四个阴影部分面积之和刚好为 2ab ， 对任意的正实数 a 和b ，有 2 2 2a b ab  ，当且仅当 a b 时等号成立. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查基本不等式的推导，熟记基本不等式即可，属于常考题型. 5．已知圆的方程为 2 2 2 4 0x y x y    ，则圆的半径为（ ） A．3 B． 5 C． 3 D．4 【答案】B 【解析】把圆的一般方程化为标准方程，即可得出圆的半径. 【详解】 将一般方程 2 2 2 4 0x y x y    化为标准方程得   2 21 2 5x y    ， ∴ 圆的半径为： 5r  . 故选：B. 【点睛】 本题考查了圆的方程，通过配方把一般式化为标准式即可得出圆的圆心和半径. 6．已知直线 2 0ax y a   与直线 1 0x ay a    平行，则实数 a 的值是（ ） A．0 B． 1 C．1 D．  【答案】C 【解析】进行 0a  和 0a  讨论，若 0a  ，则 1 1 a a  ，解得： 1a  或 1a   ，再进 行检验即可得解. 第 4 页 共 16 页 【详解】 若 0a  ，显然两直线不平行， 若 0a  ，则 1 1 a a  解得： 1a  或 1a   ， 经检验 1a   时，两直线重合， 故 1a  . 故选：C. 【点睛】 本题考查了两直线的平行，考查了直线平行公式，其中关键点是检验两直线是否重合， 本题计算量不大，属于基础题. 7．若图中的直线 iL 、 2L 、 3L 的斜率分别为 1K 、 2K 、 3K 则（ ） A． 1 2 3K K K  B． 2 1 3K K K  C． 3 2 1K K K  D． 1 3 2K K K  【答案】A 【解析】由直线的倾斜角与斜率的变化关系可得选项. 【详解】 由于直线 iL 的倾斜角为钝角，所以 1 0K  ； 由于直线 2 3,L L 的倾斜角为锐角，且 2L 的倾斜角小于 3L 的倾斜角，所以 3 2 0K K  ， 所以 1 2 3K K K  . 故选：A. 【点睛】 本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题. 8．已知：点 ( )1,0A ，  3,4B ，则线段 AB 的中垂线方程是（ ） A． 2 6 0x y   B． 2 2 0x y- + = 第 5 页 共 16 页 C． 2 6 0x y   D． 2 2 0x y   【答案】A 【解析】求出 AB 的中点坐标，及直线 AB 的斜率可得中垂线的斜率，然后可得中垂线 方程． 【详解】 由已知 AB 中点坐标为 1 3 0 4,2 2M       ，即 (2,2)M ， 4 0 23 1ABk   ， ∴ 线段 AB 中垂线方程为 12 ( 2)2y x    ，化简得 2 6 0x y   ． 故选：A． 【点睛】 本题考查求直线方程，考查两直线垂直的条件，掌握两直线垂直的条件是解题关键． 9．若 a ，b 为正实数，直线  2 2 3 2 0x a y    与直线 2 1 0bx y   互相垂直， 则 1 1 a b  的最小值为（ ） A． 2 3 B． 9 2 28  C． 2 9 D．  1 3 2 23  【答案】D 【解析】根据题意，求得 2 3a b  ，化简 1 1 1 1 1 1 2(2 )( ) (3 )3 3 b aa ba b a b a b         ，结合基本不等式，即可求解. 【详解】 由题意，正实数 ,a b ，直线  2 2 3 2 0x a y    与直线 2 1 0bx y   互相垂直， 可得 2 (2 3) 2 0b a    ，即 2 3a b  ， 所以  1 1 1 1 1 1 2 1 2(2 )( ) (3 ) (2 3)3 3 3 1 3 2 23 b a b aa ba b a b a b a b              ， 当且仅当 2b a a b  时，即 2b a 时，等号成立， 所以 1 1 a b  的最小值为  1 3 2 23  . 故选：D 【点睛】 本题主要考查了两直线的位置关系，以及利用基本不等式求最小值，其中解答中结合 第 6 页 共 16 页 “1”的代换，熟练利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 10．已知直线 x＋my＋1＋m＝0 在两坐标轴上的截距相等，则实数 m＝（ ） A．1 B．－1 C．±1 D．1 或 0 【答案】C 【解析】根据题意，可分直线过原点和不过原点，两种情况讨论，即可求解. 【详解】 由题意，直线 1 0x my m    在两坐标轴上的截距相等， 当直线 1 0x my m    过原点时，此时在坐标轴上的截距都为零， 则1 0m  ，解得 1m   ； 当直线 1 0x my m    不过原点时，要使得在坐标轴上的截距相等， 此时直线的斜率为 1 ，即 1 1m    ，解得 1m  ， 综上可得，实数 1m   . 故选：C. 【点睛】 本题主要考查了直线方程，以及直线的截距的概念及应用，其中解答中熟记直线在坐标 轴上的截距的概念，列出相应的方程是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 11．已知直线 1l ： 1 0ax y   ， 2l ： 1 0x ay   ，a R ，以下结论不正确的是（ ） A．不论 a 为何值时， 1l 与 2l 都互相垂直 B．当 a 变化时， 1l 与 2l 分别经过定点  0,1A 和  1,0B  C．不论 a 为何值时， 1l 与 2l 都关于直线 0x y  对称 D．如果 1l 与 2l 交于点 M，则 MO 的最大值是 2 【答案】C 【解析】利用直线垂直，系数满足  1 1 0a a     即可判断 A；根据直线过定点与 系数无关即可判断 B； 在 1l 上任取点 , 1x ax  ，关于直线 0x y  对称的点的坐标 为 1,ax x   ，代入 2 : 1 0l x ay   ，左边可得不恒为 0 ，从而可判断 C；将两直 线联立求出交点，在利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】 对于 A，  1 1 0a a     恒成立， 第 7 页 共 16 页 1l 与 2l 都互相垂直恒成立，故 A 正确； 对于 B，直线 1 : 1 0l ax y   ， 当 a 变化时， 0x  ， 1y  恒成立， 所以 1l 恒过定点 (0,1)A ； 2 : 1 0l x ay   ， 当 a 变化时， 1x   ， 0y  恒成立， 所以 2l 恒过定点 ( 1,0)B  ，故 B 正确. 对于 C，在 1l 上任取点 , 1x ax  ， 关于直线 0x y  对称的点的坐标为 1,ax x   ， 代入 2 : 1 0l x ay   ， 得 2 0ax  ， 不满足不论 a 为何值时， 2 0ax  成立， 故 C 不正确； 对于 D，联立 1 0 1 0 ax y x ay        ，解得 2 2 1 1 1 1 ax a ay a         ， 即 2 2 1 1,1 1 a aM a a          ， 所以 2 2 2 2 2 1 1 2 21 1 1 a aMO a a a                   ， 所以 MO 的最大值是 2 ，故 D 正确. 故选：C. 【点睛】 本题考查了直线垂直时系数之间的关系、直线过定点问题、直线关于直线对称问题、两 直线的交点、两点间的距离公式，考查了考生的计算求解能力，综合性比较强，属于中 档题. 12．已知两点  1,2A ，  3,6B ，动点 M 在直线 y x 上运动，则 MA MB 的最小 值为（ ） 第 8 页 共 16 页 A． 2 5 B． 26 C．4 D．5 【答案】B 【解析】根据题意画出图形，结合图形求出点 A 关于直线 y x 的对称点 A ，则 A B 即为 MA MB 的最小值. 【详解】 根据题意画出图形，如图所示： 设点 A 关于直线 y x 的对称点  2,1A ， 连接 A B ，则 A B 即为 MA MB 的最小值，且    2 2= 3 2 + 6 1 = 26A B   . 故选： B . 【点睛】 本题考查了动点到定点距离之和最小值问题，解题方法是求出定点关于直线对称的点坐 标，然后运用两点之间的距离公式求出最值. 二、填空题 13．已知实数 x，y 满足不等式组 3 5 0 2 4 0 2 0 x y x y y           ，则 z＝x+y 的最小值为_____． 【答案】 13 【解析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的 ABC 及其内部，再将目标函 数 z x y  对应的直线进行平移，可得当 1x y  时， z x y  取得最小值． 【详解】 解：作出不等式组 3 5 0 2 4 0 2 0 x y x y y        … „ … 表示的平面区域： 第 9 页 共 16 页 得到如图的阴影部分，由 2 3 5 0 y x y       解得 ( 11, 2)B   设 ( , )z F x y x y   ，将直线 :l z x y  进行平移， 当 l 经过点 B 时，目标函数 z 达到最小值，  11, 2 13z F     最小值 ． 故答案为： 13 【点睛】 本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示 的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题． 14．已知直线 l 过点 (1,0)P 且与以 (2,1)A ， (4, 3)B  为端点的线段 AB 有公共点，则 直线l 倾斜角的取值范围为_______． 【答案】 30, ,4 4             【解析】结合函数的图像，求出端点处的斜率，从而求出斜率的范围，进而求出倾斜角 的范围即可. 【详解】 解：如图所示： 第 10 页 共 16 页 设直线 l 过 A 点时直线 l 的斜率为 1k ，直线l 过 B 点时直线 l 的斜率为 2k ， 则， 1 1 0 12 1k   ， 2 3 0 14 1k     ， 所以要使直线 l 与线段 AB 有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围为： 1,1 , 所以 l 倾斜角的取值范围 30, ,4 4             . 故答案为： 30, ,4 4             . 【点睛】 本题考查了求直线的斜率问题，斜率与倾斜角的关系，考查数形结合的思想，是一道基 础题. 15．已知直线 1l 的方程为3 4 2 0x y   ，直线 2l 的方程为 6 8 1 0x y   ，则直线 1l 与 2l 的距离为______. 【答案】 1 2 【解析】化简直线 1l 的方程为 6 8 4 0x y   ，结合两平行线间的距离公式，即可求解. 【详解】 由题意，直线 1l 的方程3 4 2 0x y   ，可化为 6 8 4 0x y   ， 根据两平行线间的距离公式，可得直线 1l 与 2l 的距离为 2 2 4 1 1 26 8 d     . 故答案为： 1 2 . 【点睛】 本题主要考查了两平行线间的距离公式及其应用，其中解答中合理化简直线方程，熟记 两平行线间的距离公式是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 16．经过二次函数 2 3 2y x x   与坐标轴的三个交点的圆的方程为__________. 第 11 页 共 16 页 【答案】 2 23 3 5 2 2 2x y             【解析】求出二次函数 2 3 2y x x   与坐标轴的三个交点，设圆的方程为 2 2 2( ) ( )x a y b r    ，由三个交点在圆上列出方程组求解 a、b、r，即可写出圆的方程. 【详解】 令 0x  ，则 2y  ；令 0y  ，则 1x  或 2x  ， 所以二次函数 2 3 2y x x   与坐标轴的三个交点为 (0,2) 、 (1,0) 、 (2,0) ， 设圆的方程为 2 2 2( ) ( )x a y b r    ， 则 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2 ) (1 ) (2 ) a b r a b r a b r             ① ② ③ ，①减②得 2 4 3 0a b   ④， ②减③得 3 2a  ，代入④得 3 2b  ， 3 2a b  代入①可得 2 5 2r  ， 所以 2 3 2 3 2 5 2 a b r        ，则圆的方程为 2 23 3 5 2 2 2x y             . 故答案为： 2 23 3 5 2 2 2x y             【点睛】 本题考查圆的方程，根据圆过的点求解圆的方程，属于基础题. 三、解答题 17．已知  3,2A 和 : 2 1 0l x y   . （1）求过点 A 且与直线 l 平行的直线方程； （2）求点 A 关于直线l 的对称点 B 的坐标. 【答案】（1） 2 4 0x y   ；（2） 1,4 . 【解析】（1）设所求直线的方程为  2 0, 1x y C C    ，再把  3,2A 代入即可. （2）由 AB l 及线段 AB 的中点在直线 l 上可得方程组，解方程组即可. 【详解】 第 12 页 共 16 页 解：（1），将点 3,2 代入，得 4C   ， 故所求直线的方程为 2 4 0x y   . （2）设  ,B m n ，直线 l 的斜率为 2，线段 AB 的中点 3 2,2 2 m n+ + ，则由 AB l 及 线段 AB 的中点在直线 l 上可得， 2 1 3 2 3 22 1 02 2 n m m n           解得 1m   ， 4n  ， 所以点 B 的坐标为 1,4 . 【点睛】 考查与已知直线平行的直线的求法以及求已知点的轴对称点的坐标的方法，中档题. 18．已知圆 2 2: 2 6 6 0C x y x y     ，直线 : 1 0l kx y   ． （1）求圆C 的圆心坐标和半径； （2）若直线 l 与圆C 相切，求实数 k 的值． 【答案】（1）圆心坐标为 1, 3 ，半径为 2 ；（2） 4 2 13 3  或 4 2 13 3  . 【解析】（1）将圆C 的方程化为标准方程，可得出圆C 的圆心坐标和半径； （2）利用圆心到直线l 的距离等于半径，可得出关于 k 的等式，进而可解得实数 k 的值. 【详解】 （1）圆C 的方程化为标准方程为：   2 21 3 4x y    ， 故圆C 的圆心坐标为 1, 3 ，半径为 2 ; （2）圆心C 到直线l 的距离为 2 4 2 1 k k    ，整理得 23 8 12 0k k   ，解得 4 2 13 3k  ， 故实数 k 的值为 4 2 13 3  或 4 2 13 3  ． 【点睛】 本题考查圆心坐标与半径的求解，同时也考查了利用直线与圆相切求参数，考查计算能 力，属于基础题. 第 13 页 共 16 页 19．已知点    1, 2 , 1,4A B  ，求 （1）过点 A,B 且周长最小的圆的方程； （2）过点 A,B 且圆心在直线 2 4 0x y   上的圆的方程． 【答案】（1）  22 1 10x y   ；（2）   2 23 2 20x y    【解析】(1)当 AB 为直径时，过 ,A B 的圆的半径最小，从而周长最小，进而求得圆心 的坐标和圆的半径，即可得到圆的方程． (2) 解法 1： AB 的斜率为 3k   时，则 AB 的垂直平分线的方程 3 3 0x y   ，进 而求得圆心坐标和圆的半径，得到圆的标准方程； 解法 2：设圆的方程为： 2 2 2( ) ( )x a y b r    ，列方程组，求得 , ,a b r 的值，即可得到 圆的方程． 【详解】 (1)当 AB 为直径时，过 A、B 的圆的半径最小，从而周长最小．即 AB 中点(0,1)为圆心， 半径 r＝ 1 2 |AB|＝ 10 .则圆的方程为：x2＋(y－1)2＝10. (2) 解法 1：AB 的斜率为 k＝－3，则 AB 的垂直平分线的方程是 y－1＝ 1 3 x.即 x－3y＋ 3＝0 由圆心在直线 2 4 0x y   上得两直线交点为圆心即圆心坐标是 C(3,2)． r＝|AC|＝    2 21 3 2 2    ＝2.∴圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20. 解法 2：待定系数法 设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 则 2 2 2 2 2 2 2 (1 ) ( 2 ) 3 ( 1 ) (4 ) 2 2 4 0 20 a b r a a b r b a b r                      ∴圆的方程为：(x－3)2＋(y－2)2＝20. 【点睛】 本题主要考查了圆的标准方程的求解，其中熟记圆的标准方程和根据题设条件，求解圆 的圆心坐标和圆的半径是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推 理与运算能力． 20．已知直线 l ： (1 2 ) ( 1) 7 2 0     m x m y m 第 14 页 共 16 页 （1）求证：不论 m 为何实数，直线 l 恒过一定点 M； （2）过定点 M 作一条直线 1l ，使夹在两坐标轴之间的线段被 M 点平分，求直线 1l 的方 程． 【答案】（1）证明见解析；（2） 3 6 0x y   【解析】（1）将直线 l 整理得： ( 2) (2 7) 0x y m x y      ，由题意得出 2 0 2 7 0 x y x y        ，得出定点的坐标； （2）设出直线 1l 的方程，求出其与坐标轴的交点坐标，结合题意，列出方程，即可得 出直线 1l 的方程. 【详解】 （1）证明：直线 l 整理得： ( 2) (2 7) 0x y m x y      令 2 0 2 7 0 x y x y        解得： 3 1 x y      则无论 m 为何实数，直线 l 恒过定点 ( 3, 1)  （2）由题意可知，当直线 1l 的斜率不存在或等于零时，显然不合题意 设直线 1l 的方程为 ( 3) 1y k x   令 0x  ，则 3 1y k  ；令 0y  ，则 1 3x k   即直线 1l 与坐标轴的交点为 1(0,3 1), ( 3,0)A k B k   由于过定点 M ( 3, 1)  作一条直线 l1，使夹在两坐标轴之间的线段被 M 点平分 则点 M 为线段 AB 中点，即 3 1 12 1 1 3 32 k k            ，解得 1 3k   则直线 l1 的方程为 1 23y x   ，即 3 6 0x y   ． 【点睛】 本题主要考查了求直线过定点以及求直线方程，属于中档题. 第 15 页 共 16 页 21．已知圆C 的圆心C 在 x 轴的正半轴上，半径为 2 ，且被直线3 4 4 0x y   截得的 弦长为 2 3 . （1）求圆C 的方程； （2）过点 (1,3) 作圆C 的切线，求切线方程. 【答案】（1）  2 23 4x y   ；（2） 1x  或5 12 41 0x y   【解析】（1）设圆心坐标，表示出圆心到直线距离，根据弦长公式，列方程求解； （2）分类讨论当斜率不存在和斜率存在两种情况结合圆心到直线距离等于半径，分别 求切线方程. 【详解】 解：（1）设圆心   ,0 0C a a  ， 则圆心C 到直线3 4 4 0x y   的距离 3 4 5 ad  . 因为圆被直线3 4 4 0x y   截得的弦长为 2 3 22 3 1d R    . 解得 3a  或 1 3a   （舍）， 圆  2 2: 3 4.C x y   . （2）当切线斜率不存在时，直线方程为： 1x  ，与圆相切，满足题意； 当切线斜率存在时，设直线方程为： 3 ( 1)y k x   ，即： 3 0kx y k    则： 2 | 3 3| 2 1 k k k     解得： 5 12k   此时，切线方程为： 53 ( 1)12y x    ，即：5 12 41 0x y   所以，所求切线方程为： 1x  或5 12 41 0x y   【点睛】 此题考查根据圆的几何特征，根据弦长关系求解圆的方程，过圆外一点圆的切线方程， 易错点在于漏掉考虑斜率不存在的情况. 22．记关于 x 的不等式 3 0ax x a   的解集为 P. (1)若 1a  ，求 P； 第 16 页 共 16 页 (2)若1 P ，求实数 a 的取值范围. 【答案】(1) { | 1 3}P x x    ；(2) ( , 1] (3, )    . 【解析】(1)解分式不等式可得,注意分母不为 0; (2) 1 P 转化为 3 01 a a   或1 0a  后可解得. 【详解】 (1)当 1a  时, 3 0ax x a   化为 3 01 x x   ,即 ( 3)( 1) 0x x   且 1 0x   , 所以 1 3x   , 故 { | 1 3}P x x    . (2)因为1 P ,所以 3 01 a a   或1 0a  , 解得 1a   或 3a  或 1a   , 故实数 a 的取值范围是 ( , 1] (3, )    . 【点睛】 本题考查了一元二次不等式以及分式不等式的解法,注意分母不为 0,属于基础题.