2020-2021学年高二10月月考数学试题 Word版

1 2020-2021 学年高二 10 月月考数学 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页,满分为 150 分,考试用时 120 分钟. 注意事项： 1．答卷前,考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、考试科目填写在规定的位 置上. 2．第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其他答案标号. 3．第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置； 如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案,不得使用涂改液、胶带纸、修正带和其它笔. 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的） 1.已知向量 ),,4(),7,6,3( nmba  分别是直线 21,ll 的方向向量,若 21//ll ,则( ) A. 28,8  nm B. 28,4  mm C. 3 28,8  nm D. 3 28,4  nm 2.已知 ),5,7(),2,1,1(),4,1,2( mcba  ,若 cba ，， 共面,则实数 m 的值为( ) A. 7 60 B. 14 C.12 D. 7 62 3.在四棱锥 ABCDP  中,底面 ABCD 是正方形, E 是 PD 的中点,若 cPCbPBaPA  ,, ,则 BE ( ) A. cba 2 1 2 1 2 1  B. cba 2 1 2 3 2 1  2 C. cba 2 1 2 3 2 1  D. cba 2 3 2 1 2 1  4.若向量 )2,2,1(),5,4,(  bxa ,且 a 与b 的夹角的余弦值为 6 2 ,则实数 x 的值为( ) A. 3 B.11 C.3 D. 113或 5.在长方体 1111 DCBAABCD 中, 1,1,2 1  AABCAB ,则 1BC 与平面 DDBB 11 所成角的正弦值 为( ) A. 10 5 B. 10 10 C. 5 5 D. 5 10 6.四棱锥 ABCDP  中, )4,1,3(),0,1,2(),3,1,2(  APADAB ,则这个四棱锥的高为( ) A. 5 5 B. 5 1 C. 5 2 D. 5 52 7.已知向量 )11,2()22,1( ，，，  ba ,则向量b 在向量 a 上的投影向量为( ) A. )9 4,9 4,9 2(  B. )9 4,9 4,9 2( C. )3 1,3 1,3 2( D. )3 1,3 1,3 2(  8.在直三棱柱 111 CBAABC  中, 11  ACABAA , ACAB  , N 是 BC 的中点,点 P 在 11BA 上,且满足 111 BAPA  ,则直线 PN 与平面 ABC 所成角 取最大值时,实数  的值为( ) A. 5 52 B. 2 3 C. 2 2 D. 2 1 二、多项选择题（本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目 要求的,全部选对的得 5 分,有选错的得 0 分,部分选对的得 3 分） 9.下列命题中不正确的是( ) A. baba  是 ba, 共线的充要条件 B.若 CDAB, 共线,则 CDAB// 3 C. CBA ,, 三点不共线,对空间任意一点O ,若 OCOBOAOP 8 1 8 1 4 3  ,则 CBAP ,,, 四点共面 D.若 CBAP ,,, 为空间四点,且有 PCPBPA   ),( 不共线PCPB ,则 1  是 CBA ,, 三 点共线的充分不必要条件 10.已知空间三点 )4,0,3(),2,2,1(),1,0,1(  CBA ,则下列说法正确的是（ ) A. 3 ACAB B. ACAB // C. 32BC D. 56 3,cos ACAB 11.在四棱锥 ABCDS  中,底面 ABCD是边长为1的正方形, 2 SDSCSBSA ,则以下 结论正确的有（ ) A. 0 SDSCSBSA B. 0 SDSCSBSA C. 0 SDSCSBSA D. SDSCSBSA  12.如图,在正方体 1111 DCBAABCD 中,点 P 在线段 CB1 （包括端点）上运动,则（ ) A.直线 1BD 平面 DCA 11 B.三棱锥 DCAP 11 的体积为定值 C.异面直线 AP 与 DA1 所成角的取值范围是 ]2,4[  D.直线 PC1 与平面 DCA 11 所成角的正弦值的最大值为 3 6 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.） 13.若 )2,3,6(),2,1,2(  ba ,且 aba  )(  ,则实数  . 14.已知正四面体 ABCD的棱长为1,点 FE, 分别是 ADBC, 的中点,  AFAE . 15.四棱锥 ABCDP  中, PD 底面 ABCD ,底面 ABCD 是正方形,且 3,1  ABPD , G 是 ABC 的重心,则直线 PG 与 DB 所成的角 的余弦值为 , PG 与底面 ABCD所成的 4 角 的正弦值为 . （第一个空 3 分,第二个空 2 分） 16.点 P 是棱长为 4 的正四面体表面上的动点, MN 是该四面体内切球的一条直径,则 PNPM  的最 大值是 . 四、解答题（本题共 6 个小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（10 分）如图,已知 1111 DCBAABCD 是四棱柱,底面 ABCD 是正方形, 231  ABAA ， ,且  6011 CDCCBC ,设 cCCbCBaCD  1,, . (1)试用 cba ,, 表示 CA1 ； (2)已知O 为对角线 CA1 的中点,求CO 的长. 18.（12 分）已知空间三点 )5,1,1(),6,1,2(),3,2,0(  CBA ． (1)若点 D 在直线 AC 上,且 ACBD  ,求点 D 的坐标； (2)求以 BCBA, 为邻边的平行四边形的面积． 19. （ 12 分 ） 如 图 , 在 四 棱 锥 ABCDP  中 , PD 底 面 ABCD , 底 面 ABCD 为 正 方 形, 2 DCPD , FE, 分别是 PBAB, 的中点. (1)求证： CDEF  ； (2)求 PC 与平面 DEF 所成角的正弦值. 20. （ 12 分 ） 如 图 , 在 直 三 棱 柱 111 CBAABC  中 , 2 ABC , D 是 棱 AC 的 中 点 , 且 11  BBBCAB . 5 (1)求证: //1AB 平面 DBC1 ； (2)求直线 1AB 到平面 DBC1 的距离. 21.(12 分)如图,四边形 ABCD是圆柱 OQ 的轴截面,点 P 在圆柱 OQ 的底面圆周上,G 是 DP 的中 点,圆柱OQ 的底面圆的半径 2OA ,圆柱的侧面积为 38 ,  120AOP . (1)求点G 到直线 BC 的距离； (2)求平面 PAG 与平面 BAG 的夹角的余弦值. 22.(12 分)如图(1)所示,在 ABCRt 中,  90C , 6,3  ACBC , ED, 分别 是 ABAC, 上的点,且 2,// DEBCDE ,将 ADE 沿 DE 折起到 DEA1 的位置,使 CDCA 1 ,如图 （2）所示. (1)求证： CA1 平面 BCDE ； (2)若 M 是 DA1 的中点,求CM 与平面 BEA1 所成角的大小； (3)线段 BC （不包括端点）上是否存在点 P ,使平面 DPA1 与平面 BEA1 垂直？说明理由. 6 2019 级数学 2020 年 10 月学业质量检测题答案 一、单项选择题 1. C 2.B 3.C 4.A 5.D 6.A 7.B 8.D 二、 多项选择题 9. ABD 10.AC 11.CD 12.ABD 三、填空题 13. 19 9 14. 4 1 15. 3 22 3 1 16. 3 16 四、解答题 17. 解：（1） cbaabcCDCBCCCDBCAADCADAACA  1111 （2）由题意知 32 132,32 132,0,3,2,2  bacabacba . )(2 1 2 1 1 cbaCACO  )32320322(4 1)222(4 1)(4 1 2222222  cbcabacbacbaCO 2 29 4 29  . 18.解：（1） )2,3,1( AC 7 )2,3,1(   ACAD , )23,32,()2,3,1(),2,3,1(   OAODOAOD , )32,31,2()6,1,2()23,32,(  OBODBD , 071464932)32,31,2()2,3,1(  BDAC , 2 1 , )4,2 1,2 1(),4,2 1,2 1( DOD  . （2） 14)1()2(3,14)3(12),1,2,3(),3,1,2( 222222  BCBABCBA 7)1()3()2(132 BCBA , 2 1 1414 7,coscos    BCBA BCBABCBAB , 2 3sin B , 372 31414 S , 所以以 BCBA, 为邻边得平行四边形的面积为 37 . 19.（1）证明：以 D 为 原点,以 DPDCDA ,, 所在的直线分别为 zyx ,, 轴,如图建 立空间直角坐标系, )1,1,1(),0,1,2(),02,0(),0,0,0(),0,2,0(),0,2,2(),0,0,2( FEPDCBA )0,2,0(),1,0,1(  CDEF , 001)2(001 CDEF ,所以 CDEF  , 所以 CDEF  . 8 （2） )2,2,0(),1,1,1(),0,1,2(  PCDFDE , 设平面 DEF 的法向量为 ),,( zyxn  , 则      0 0 nDF nDE ,      0 02 zyx yx ,      xz xy 2 ,令 1x ,则 )1,2,1( n . 设 PC 与平面 DEF 所成角为 , 2 3 68 6 1)2(1)2(20 1)2()2(210,cossin 222222      nPC nPCnPC 所以 PC 与平面 DEF 所成角的正弦值为 2 3 . 20.（1）证明：以 B 为 原点,以 1,, BBBABC 所在的直线分别为 zyx ,, 轴,如图建 立空间直角坐标系, ),1,0,0(),0,1,0(),0,2 1,2 1(),1,0,1(),0,0,0( 11 BADCB )1,1,0()0,2 1,2 1(),1,0.1( 11  ABBDBC ， , 设平面 DBC1 的法向量为 ),,( zyxn  , 则      0 01 nBD nBC ,      02 1 2 1 0 yx zx ,      xy xz ,令 1x ,则 )1,1,1( n . 0)1(1)1()1(101 nAB , 所以 nAB 1 , 因为 1AB 平面 DBC1 ,所以 //1AB 平面 DBC1 . 9 （2）解,因为 //1AB 平面 DBC1 ,所以直线上任一点到平面的距离都相等, )0,1,0(BA , 设直线 1AB 到平面 DBC1 的距离为 d ,则 3 3 3 1    n nBA d , 所以直线 1AB 到平面 DBC1 的距离为 3 3 . 21.（1）解：以 P 为 原点,以 AP 的延长线为 x 轴,以 PB 所在的直线为 y 轴,如 图建立空间直角坐标系, 设圆柱的高为h,则由侧面积得  3822  h ,则 32h , 由  120AOP ,得 2,32  BPAP . )3,0,3(),32,0,32(),32,2,0(),0,2,0(),0,0,32(),0,0,0(  GDCBAP , )32,0,0(),3,2,3(  BCBG ,直线 BC 的单位方向向量为 )1,0,0(u , 设点G 到直线 BC 的距离为d ,则 3,103)2()3( 2222  uBGBG 7310)( 22  uBGBGd , 所以点G 到直线 BC 的距离为 7 . （2）平面 PAG 的法向量为 )0,1,0(1 n , )0,2,32( BA , 10 设平面 BAG 的法向量为 ),,( zyxn  , 则      0 0 nBG nBA ,      0323 0232 zyx yx ,      xz xy 3 ,令 1x ,则 )1,3,1( n . 设平面 PAG 与平面 BAG的夹角 ,则 5 15 5 3 )1()3(1010 )1(0)3(110,coscos 222222 1 1 1    nn nnnn , 所以平面 PAG 与平面 BAG的夹角的余弦值为 5 15 . 22.（1）证明： BCDECA BCDECDBC CCDBC CACD CABC DEBC CADE DCACA DCADE DCADCDA DDADC DCDE DADE 平面 平面 平面 平面 平面                              1 1 1 1 11 1 11 1 1 , // ,  （2）解：以C 为 原点,以 DC 的延长线为 x 轴,以 1,CACB 所在的直线分别为 zy, 轴,如图建立空间直角坐标系, )3,0,1(),0,2,2(),0,0,2(),0,3,0(),32,0,0(),0,0,0( 1  MEDBAC , )32,2,2(),32,3,0(),3,0,1( 11  EABACM , 设平面 BEA1 的法向量为 ),,( zyxn  , 则      0 0 1 1 nEA nBA ,     03222 0323 zyx zy ,         yx yz 2 1 2 3 ,令 2y ,则 )3,2,1(n . 11 设CM 与平面 BEA1 的夹角 ,则 2 2 82 4 32)1(30)1( 3320)1()1(,cossin 222222      nCM nCMnCM 因 为 ]2,0[   ,所以 4   , 所以CM 与平面 BEA1 所成角为 4  . （3）解：设点 P 的坐标为 )30)(0,,0(  mm , )0,,2(),32,0,2(1 mDPDA  , 设平面 DPA1 的法向量为 ),,( 1111 zyxn  , 则      0 0 1 11 nDP nDA ,      02 0322 11 11 myx zx ,         11 11 2 3 1 xmy xz ,令 mx 31  ,则 ),32,3(1 mmn  . 要使平面 DPA1 与平面 BEA1 垂直,需 0)(3)32(23)1(1  mmnn ,解得 2m ,不满足条件. 所以不存在这样的点 P .