2020-2021学年山东省潍坊市青州一中高二上学期期中考前模拟试题（一）数学试题 word版

1 青州一中 2020-2021 学年第一学期期中考前模拟试题（一） 高二 数学 2020.11 注意事项： 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷指定位置上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将本试卷留存，答题卡与答题纸交回。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 1.已知 ,m n 是两条不同的直线， , ,   是三个不同的平面，则下列命题正确的是 A. 若 / / , / /m n  ，则 //m n B. 若 ,     ，则 / /  C. 若 / / , / /m n  ，且 ,m n   ，则 / /  D. 若 ,m n   ，且  ，则 m n 2.已知直线 1 ( 3) (3 ) 1 0l k x k y    ： 与 2 2( 3) 2 3 0l k x y：     垂直，则 k 的值是 A． 2 或 3 B．3 C． 2 D． 2 或 3 3.圆 2 22 1x y   与直线 3 4 2 0x y   的位置关系是 A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 4.直线 π π2 cos 3 0 ,6 3x y           的倾斜角的取值范围是 A. π π,6 3     B. π π,4 3      C. π π,4 2      D. π 2π,4 3      5.已知 a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)．若 a，b，c 三向量共面，则实数λ等于 A．62 7 B．63 7 C．60 7 D．65 7 6.17 世纪日本数学家们对于数学关于体积方法的问题还不了解，他们将体积公式 3V KD“ ”中的常数 K 称为“立 圆术”或“玉积率”。创用了求“玉积率”的独特方法“会玉术”。其中，D 为直径,类似地，对于等边圆柱（轴截面 是正方形的圆柱叫做等边圆柱）、正方体也有类似的体积公式 3V KD“ ”，其中，在等边圆柱中，D 表示底面圆的 直径；在正方体中，D 表示棱长，假设运用此“会玉术”求得的球、等边圆柱、正方体的“玉积率”分别为 1 2 3, ,k k k 。 那么 1 2 3k k k： ： 等于 2第 2 页 共 4 页 A． : 24  ：6 B． : 26  ：4 C． 1213:  ： D． 16 4  ： ： 7.若圆 C： 2 2 1x y  与圆 D： 2 2 4 4 4 0x y x y     的公共弦长为( ) A．1 B． 2 2 C． 2 D． 14 4 8.如图，平面四边形 ABCD 中， 1AB AD CD   ， 2BD  ， BD CD ，将其沿对角线 BD 折成四面体 A BCD ，使平面 A BD  平面 BCD，若四面体 A BCD 的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为 A．3 B． 3 2  C． 4 D． 3 4  二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．全部选对的得分 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分． 9.下列说法中，正确的有 A.过点 (1,2)P 且在 ,x y 轴截距相等的直线方程为 3 0x y   B.直线 3 2y x  在 y 轴上的截距为 2 C.直线 3 1 0x y   的倾斜角为 60 D.过点 (5,4) 并且倾斜角为 90 的直线方程为 5 0x   10.设几何体 1 1 1 1ABCD A B C D 是棱长为 a 的正方体， 1AC 与 1B D 相交于点 O，则 A． 2 1 1A B AC a   B． 2 1 2AB AC a   C． 2 1CD AB a    D． 1 1 2AB AO a   11.12.如图,在四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, π , 2 2 ,3DAB AB AD PD PD     底面 ABCD ,则( ) A. PA BD B. AC PBD 平面 C. PB 与平面 ABCD 所成角为 π 6 D.异面直线 AB 与 PC 所成角的正弦值为 2 5 5 12.设有一组圆      2 2: 4,kC x k y k k R     ，下列命题正确的是 20.（12 分）如图，在以 P 为顶点，母线长为 2 的圆锥中，底面圆O 的直径 AB 长为 2，C 是圆O 所在平面内一 的方程 面积取最小值时,直线 㜶 两点,求 ‴㜶 轴分别交于 ͳ‴ሻ 与 ,直线 ܽ 㘠 ൅ (2)若 的方程 在两坐标轴上的截距相等,求直线 ܽ ൅ͳ ሻ ݔ ܽ ݕܽ (1)若直线 的方程为 19.（12 分）设直线 （2）若二面角 P AB C  为 45°，求 PA 与平面 PBD 所成角的正弦值. （1）证明： AB PB ； 腰三角形. 18.（12 分）在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， 60DCB   ，且平面 PDC  平面 ABCD ， PDC△ 为等 17.（10 分）已知圆 C 和 y 轴相切，圆心 C 在直线 x－3y＝0 上，且被直线 y＝x 截得的弦长为 2 7，求圆 C 的方程． 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 在正实数 r  ___________，使得动圆 C 中满足与圆 2 2 2:O x y r  相外切的圆有且仅有一个. 16.已知半径为 5 的动圆 C 的圆心在直线 : 10 0l x y   上.若动圆 C 过点  5,0 ，求圆 C 的方程___________，存  的夹角为钝角，则 x 的取值范围是__________.  与b 15.已知 (3, 2, 3)a    ， ( 1, 1,1)b x   ，且 a 14.已知 ABC 顶点的坐标为      4,3 5,, ,2 , ,1 0A B C 则其外接圆的一般方程为__________. 13.设平面 与向量 ( 1,2, 4)a    垂直，平面  与向量 ( 2,4, 8)b    垂直，则平面 与  位置关系是______． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． ，则圆Ck 上总存在两点到原点的距离为1      C.存在一条直线始终与圆 Ck 相切 D.若 2 3 2,2 2k A.不论 k 如何变化，圆心Ck 始终在一条直线上 B.所有圆Ck 均经过点 3,0 3 4第 4 页 共 4 页 点，且 AC 是圆 O 的切线，连接 BC 交圆 O 于点 D ，连接 PD ， PC . （1）求证：平面 PAC  平面 PBC ； （2）若 E 是 PC 的中点，连接 OE ，ED ，当二面角 B PO D  的大小为120 时， 求平面 PAC 与平面 DOE 所成角的余弦值. 21.（12 分）已知圆 2 2: 4 2 0C x y x y m     与直线 :3 4 7 0l x y   相交于 ,M N 两点，且| | 2 3MN  . （1）求 m 的值； （2）过点 P 作圆C 的切线，切点为Q ；再过 P 作圆 2 21 5:( ) ( 1)2 4C x y     的切线，切点为 R ，若| | | |PQ PR ， 求| |OP 得最小值（其中O 为坐标原点）. 22（12 分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三 角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马 P ABCD 中，侧棱 PD  底面 ABCD ，且 PD CD ，过棱 PC 的中点 E ， 作 EF PB 交 PB 于点 F ，连接 DE ， DF ， BD ， BE ． （1）证明： PB  平面 DEF ．试判断四面体 DBEF 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若 不是，说明理由； （2）若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 3  ，求 DC BC 的值． 期中模拟一答案 5 1.D2.C 由题意得 ( 3) 2( 3) 2(3 ) 0, 3 2k k k k k         ，选 C. 3.C 圆 2 22 1x y   的圆心为（2,0），半径为 1，圆心到直线 3 4 2 0x y   的距离 3 2 4 0 2 8 15 5d       ， 所以直线与圆的位置关系为相离. 4.B 5.D 6.D 7.D 8.A 设 BC 的中点是 E，连接 DE，A′E，因为 AB＝AD＝1，BD＝ 2 由勾股定理得：BA⊥AD 又因为 BD⊥CD，即三角形 BCD 为直角三角形 所以 DE 为球体的半径 3 2DE  234 ( ) 32S    9.BD 10.AC 如图，建立空间直角坐标系，则 ( ,0,0)A a ， ( , ,0)B a a ， (0, ,0)C a ， (0,0,0)D ， 1( ,0, )A a a ， 1( , , )B a a a ， , ,2 2 2 a a aO     ，∴ 1 1 (0, ,0)A B a   ， ( , ,0)AC a a    ， (0, ,0)AB a   ， 1 ( , , )AC a a a     ， (0, ,0)CD a    ， 1 (0, , )AB a a   ， 1 , ,2 2 2 a a aAO        ．∴ 2 1 1A B AC a     ，A 对； 2 1AB AC a     ， B 错； 1 2C aABD      ，C 对； 2 1 1 2AB AO a     ，D 错． 11.ACD 12.ACD 13.平行 14. 2 2 6 2 5 0x y x y     15. 52 3x x  且 16.依题意，可设动圆 C 的方程为：   2 2 25x a y b    其中圆心 ,a b 满足 10 0a b   . 又动圆过点 5,0 ，    2 25 0 25a b      ，解方程组    2 2 10 0 5 0 25 a b a b         ， 可得 10 0 a b     或 5 5 a b     ，故所求圆 C 的方程为： 2 210 25x y   或   2 25 5 25x y    . 由圆 O 的圆心 0,0 到直线 l 的距离 10 5 2 1 1 d    ，当满足 5r d  时，即 5 2 5r   时， 动圆 C 中有且仅有 1 个圆与圆 2 2 2:O x y r  相外切. 17.设圆心坐标为(3m，m)．∵圆 C 和 y 轴相切，得圆的半径为 3|m|， ， ∴ 120BOD  ∠ ，如图建立空间直角坐标系，易知 1OB  （2）∵ OB PO ，OD PO ，∴ BOD 为二面角 B PO D  的平面角， ∵ PA AC A ，∴ PB  平面 PAC ，从而平面 PAC  平面 PBC . 2PA PB AB  ，∴ PA PB PO AB O  ， AC  平面 PAB ，∴ AC PB .又∵在 PAB 中， 2 20.解：（1） AB 是圆O 的直径， AC 与圆O 切于点 A ， AC AB PO  底面圆O ，∴ PO AC . ͳ ሻ ݔ ݕ 的方程为 的面积取得最小值时,直线 㜶 时,等号成立), ܽ ݕ (当且仅当 ܽ൅ ൅ ൅ ݔ ൅ ݔ ܽ ൅ ൅ ܽ൅ ൅ ൅ ݔ ܽ ൅ ൅ ൅ ൅ ݔ ܽ ൅ ൅ ൅ ܽ൅ ൅ ݔ ൅ ൅ ܽ ݔ × ܽ൅ ܽݔ × ݔ ൅ 的 面 积 为 㜶 , ܽ൅ ‴ݕ‴㜶ݕ‴ܽ ݔ ܽݔ ͳ ሻ ݔ ݕ(2)由题意知 的方程为 时,直线 ܽ ݕ ,当 ͳ ሻ ݕ 的方程为 时,直线 ܽ ݔ 当 . ܽ ݕ 或 ܽ ݔ , ܽ൅ ܽ ݔ ܽݔ 在两坐标轴上的截距相等, ∵直线 , ܽ ݔ ,在纵轴上的截距为 ܽ൅ ܽݔ 在横轴上的截距为 ܽ ൅ͳ ሻ ݔ ܽ ݕͳ 19.(1)直线 . 5      故 PA 与平面 PBD 所成的角的正弦值为 6  3 2 3 1 3 1 5 2 3 2 6=   m mm     PA PAPA | | | | 设 PA 与平面 PBD 所成的角为  ，则 sin | cos( , ) | 令 1x  ，则 (1, 3,1) m ，  ，  m m               BD x y BP x z 0 3 0 设平面 PBD 的法向量为 ( , , )x y zm ，则 0, 3 3 0 ( 3, 2, 3), ( 3,0, 3)PA BP      ， ( 3, 1,0)BD    . 空间直角坐标系，则 (0,0, 3), ( 3, 2,0), ( 3,0,0), (0, 1,0)P A B D  ， 设 2DC  ，以点 E 为坐标原点，分别以 , ,EB EC EP 所在直线为 , ,x y z 轴建立如图所示的 PE BE  ，则 PDC△ 为等边三角形， （2）由（1）可知 PBE 为平面 PAB 与底面 ABCD 所成的角，二面角 P AB C  为 45°， PE BE E DC    ， 平面 PEB ， // ,AB DC AB  平面 PEB ， AB PB  . 平面 ABCD 为菱形， 60DCB   ， BCD△ 为等边三角形， BE DC  ， 18.（1）证明：如图，取 DC 的中点 E，连接 ,PE BE . PDC△ 为等腰三角形， DC PE  . ∴所求圆 C 的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9 或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9． ＝ 2|m|．由半径、弦心距、半弦长的关系得 9m2＝7＋2m2，∴m＝±1， 2 ∴圆心到直线 y＝x 的距离为|2m| 6第 6 页 共 4 页 7 则  0, 1,0A  ，  0,1,0B ， 3 1, ,02 2D      2 3 , 1,03C      ，  0,0,1P ， 3 1 1, ,3 2 2E      ， 由（1）知  0, 1,1m BP   为平面 PAC 的一个法向量， 设平面ODE 的法向量为  , ,n x y z ， 3 1 1, ,3 2 2OE        ， 3 1, ,02 2OD        ， ∵ n OE  ， n OD  ，∴ 0n OE  ， 0n OD  ， ∴ 3 1 1 03 2 2 3 1 02 2 x y z x y        ，即 2 3 3 0 3 0 x y z x y       故平面ODE 的一个法向量为  3,3,1n  ，∴ 26cos , 13 m nm n m n            . ∴ 平面 PAC 与平面 DOE 所成角的余弦值为 26 13 . 21.（1） 2 2:( 2) ( 1) 5 0C x y m      ，圆心到直线距离l 的距离 2 2 | 3 2 4 1 7 | 1 3 4 d       ， 2 2| | 2 2 5 1 2 3MN R d m      ， 解得 1m  . （2）设 ( , )P x y ，由于 2 2:( 2) ( 1) 4C x y    ， 切线 2 2 2 2| | | | ( 2) ( 1) 4PQ PC R x y       ， 同理：切线 2 2 2 21 5| | | | ( ) ( 1)2 4PR PC r x y       ， 2 2 2 21 5( 2) ( 1) 4 ( ) ( 1)2 4x y x y         ， 化简得到：3 4 1 0x y   ，| |OP 最小值即为原点到直线 3 4 1 0x y   距离 min 2 2 | 3 0 4 0 1| 1| | 53 4 OP d        . 22.【解析】解法一；（1）因为 PD  底面 ABCD ，所以 PD BC ， 由底面 ABCD 为长方形，有 BC CD ，而 PD CD D ， 所以 BC  平面 PCD ．而 DE  平面 PDC ，所以 BC DE ． 又因为 PD CD ，点 E 是 PC 的中点，所以 DE PC ． 而 PC CB C ，所以 DE  平面 PBC ．而 PB  平面 PBC ，所以 PB DE ． 8第 8 页 共 4 页 又 PB EF ， DE FE E ，所以 PB  平面 DEF ． 由 DE  平面 PBC ， PB  平面 DEF ，可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形， 即四面体 BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为 DEB ， DEF ， EFB ， DFB ． （2）如图 1， 在面 BPC 内，延长 BC 与 FE 交于点G ，则 DG 是平面 DEF 与平面 ACBD 的交线． 由（Ⅰ）知， PB  平面 DEF ，所以 PB DG ． 又因为 PD  底面 ABCD ，所以 PD DG ．而 PD PB P ，所以 DG  平面 PBD ． 所以 DG DF ， DG DB 故 BDF 是面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的平面角， 设 1PD DC  ， BC  ，有 21BD   ， 在 Rt PDB 中，由 DF PB ，得 3DPB FDB     ， 则 2tan tan 1 33 DBDPF PD        ，解得 2  ． 所以 1 2 2 DC CB   故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 3  时， 2 2 DC BC  ． 解法二；（1）以 D 为原点，射线 DA ， DC ， DP 分别为 x ， y ， z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系． 设 1PD DC  ， BC  ，则 (0D ，0， 0) ， (0P ，0，1) ， (B  ，1， 0) ， (0C ，1， 0) ， ( 1, 1)PB   ， 点 E 是 PC 的中点，所以 (0E ， 1 2 ， 1)2 ， (0DE  ， 1 2 ， 1)2 ， 于是 0PB DE    ，即 PB DE ． 又已知 EF PB ，而 ED EF E ，所以 PB  平面 DEF ． 因 (0PC  ，1， 1) ， 0DE PC    ，则 DE PC ，所以 DE  平面 PBC ． 由 DE  平面 PBC ， PB  平面 DEF ，可知四面体 BDEF 的四个面都是直角三角形， 即四面体 BDEF 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为 DEB ， DEF ， EFB ， DFB ． （2）由 PD  底面 ABCD ，所以 (0DP  ，0，1) 是平面 ACDB 的一个法向量； 由（Ⅰ）知， PB  平面 DEF ，所以 (BP   ， 1 ，1) 是平面 DEF 的一个法向量． 若面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 3  ， 则运用向量的数量积求解得出 2 1 1cos 3 22      ， 9 解得 2  ．所以所以 1 2 2 DC CB   故当面 DEF 与面 ABCD 所成二面角的大小为 3  时， 2 2 DC BC  ．