2020-2021学年山东省东校区高二上学期10月竞赛数学试题（实验班） Word版

1 2020-2021 学年山东省东校区高二上学期 10 月竞赛数学试题 （实验班） 2020 年 10 月 31 日 一、单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，只有一项是符合题目要求的) 1．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9 上到直线 3x＋4y－11＝0 的距离等于 2 的点有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 2．长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 AB＝AA1＝2，AD＝1，E 为 CC1 的中点，则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为( ) A． 10 10 B． 30 10 C．2 15 10 D．3 10 10 3．若双曲线x2 a －y2＝1 的一条渐近线方程为 y＝3x，则正实数 a 的值为( ) A．9 B．3 C．1 3 D．1 9 4．设 P 是双曲线x2 a2 －y2 9 ＝1(a＞0)上一点，双曲线的一条渐近线方程为 3x－2y＝0，F1，F2 分 别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝3，则|PF2|＝( ) A．1 或 5 B．6 C．7 D．8 5．我们把离心率为黄金分割系数 5－1 2 的椭圆称为“黄金椭圆”．如图， “黄金椭圆”C 的中心在坐标原点，F 为左焦点，A，B 分别为长轴和短轴 上的顶点，则∠ABF＝( ) A．90° B．60° C．45° D．30° 6．如图在平行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，底面 ABCD 是边长为 1 的正方 形，侧棱 1 2AA  且 1 1 60A AD A AB     ，则 1AC  （ ） A． 2 2 B． 10 C． 2 3 D． 14 7.已知 1F ， 2F 是椭圆C ： 2 2 2 14 x y b   的左、右焦点，离心率为 1 2 ，点 A 的坐标为 3(1, )2 ，则 1 2F AF 的 平分线所在直线的斜率为（ ） A． 2 B．1 C． 3 D． 2 8.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知 1 2,F F 是一对相关曲线 的焦点， P 是椭圆和双曲线在第一象限的交点，当 1 2 60F PF   时，这一对相关曲线中椭圆的离心率为 A． 3 3 B． 3 2 C． 2 2 D． 1 2 2 二、多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分) 9．对于双曲线 C1：x2 4 －y2＝1 与双曲线 C2：y2－x2 4 ＝1 的下列说法正确的是( ) A．它们的实轴长和虚轴长相同 B．它们的焦距相同 C．它们的渐近线相同 D．若它们的离心率分别为 1 2,e e ，那么 2 2 1 2 1 1 1e e   10．已知点 M(1,0)，A，B 是椭圆x2 4 ＋y2＝1 上的动点，当MA → ·BA → 取下列哪些值时，可以使MA → ·MB → ＝0 ( ) A．3 B．6 C．9 D．12 11．下列结论正确的是（ ） A．过点 (2,3) 且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为 5x y  ; B．已知直线 1 0kx y k    和以 ( 3,1), (3,2)M N 为端点的线段相交，则实数 k 的取值范围为 1 3 2 2k   ; C．已知 0ab  ，O 为坐标原点，点 ( , )P a b 是圆 2 2 2x y r  外一点，直线 m 的方程是 2ax by r  ，则 m 与圆相交; D．若圆      2 2 2: 4 4 0M x y r r     上恰有两点到点 (1,0)N 的距离为 1，则 r 的取值范围是 (4,6) . 12．如右图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，P 为线段 1A B 上的动点（不含端 点）， 则下列结论正确的是 A．直线 1D P 与 AC 所成的角可能是 6  B．平面 1 1D A P  平面 1A AP C．三棱锥 1D CDP 的体积为定值 D．平面 1APD 截正方体所得的截面可能是直角三角形 三、填空题（本题共 4 题，共 20 分 ） 13．如果点 ( , )M x y 在运动过程中，总满足关系式 2 2 2 2( 3) ( 3) 10x y x y      ，那么点 ( , )M x y 的轨迹方程为_____________________. 14．数学家默拉在 1765 年提出定理，三角形的外心，重心，垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交 点重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距 离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线，已知 ABC 的顶点 ( 1,0),B  (0,3),C AB AC ，则 ABC 的欧拉线方程为____________________. 15．已知动点 ( , )P x y 满足 2 2 | | | | 0x y x y    ，O 为坐标原点，则| |PO 的最小值为________，最大 值为_________________. 3 16．已知 1F ， 2F 分别为双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的左、右焦点，以 1 2F F 为直径的圆与双曲线在 第一象限和第三象限的交点分别为 M ，N ，设四边形 1 2F NF M 的周长为 p ，面积为 S ，且满足 232S p ， 则该双曲线的离心率为____________. 四、解答题(本题共 6 题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（10 分）(本小题满分 12 分)已知 F1，F2 分别为椭圆 x2 100 ＋y2 b2 ＝1(0 10b  )的左、右焦点， P 是椭圆上一点． (1)求|PF1|·|PF2|的最大值； (2)若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2 的面积为64 3 3 ，求 b 的值． 18. （12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，设直线 1 : 0l kx y  ，直线    2 : 2 1 1 7 4 0,l k x k y k k      R . (1)求证：直线 2l 过定点 C ，并求出点C 的坐标； (2)当 2k  时，设直线 1 2,l l 的交点为 A ，过 A 作 x 轴的垂线，垂足为 B ，求点 A 到直线 BC 的 距离 d ，并求 ABCV 的面积. 19.（12 分）已知等腰梯形 ABCD，如图（1）所示， //AB CD ， 2 2 2AB AD CD   ，沿 AC 将△ ACD 折起，使得平面 ABC  平面 ACD ，如图（2）所示，连接 BD ，得三棱锥 D ABC . （1） 求证：图（2）中 BC ⊥平面 ACD ； 求图（2）中的二面角 A BD C  的正弦值. 20．(12 分) 如图，边长为 2 的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所 在 的平面，BC＝2 2，M 为 BC 的中点． 4 (1)证明：AM⊥PM； (2)求平面 PAM 与平面 DAM 的夹角的大小； (3)求点 D 到平面 AMP 的距离． 21．(12 分) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O： 2 2 4x y  ，过点  0,3P 且斜率为 k 的直线 l 与圆 O 交于不同的两点 A，B，点 40, 3Q     . （1）若直线 l 的斜率 2k  ，求线段 AB 的长度； （2）设直线 QA，QB 的斜率分别为 1k ， 2k ，求证： 1 2k k 为定值，并求出该 定值； （3）设线段 AB 的中点为 M，是否存在直线 l 使 6 3MO MQ ，若存在， 求出直线 l 的方程，若不存在说明理由. 22．(12 分)如图,已知椭圆 2 2 2 2 1x y a b    0a b  的左右焦点分别为 1 2,F F ,短轴的两端点为 ,A B ,且四边 形 1 2F AF B 是边长为 2 的正方形. (1)求椭圆的方程; (2)若 ,C D 分别是椭圆的长轴的左右端点,动点 M 满足 MD CD ( ,M D 为不同的两点），连接 CM 交椭 圆于点 P ，证明OM OP  为定值 （3）在（2）的条件下，试问 x 轴上是否存在异于 ,C D 的定点Q ，使得以 MP 为直径的圆恒过直线 DP 与 MQ 的交点，若存在，求出Q 的坐标；若不存在，说明理由. 5 参考答案 一、二选择题（每小题 5 分,共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B D C A B A A BCD ABC CD BC 三、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13． 2 2 125 16 y x  14． 3 4 0x y   15． 0, 2 16． 6 2 四、解答题(共 70 分) 17． （本小题满分 10 分） 解： (1)|PF1|·|PF2|≤ |PF1|＋|PF2| 2 2 ＝100 (当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号)， ∴|PF1|·|PF2|的最大值为 100. (2)S △F1PF2 ＝1 2|PF1|·|PF2|sin 60°＝64 3 3 ，∴|PF1|·|PF2|＝256 3 ， ① 由题意知： |PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝4a2， |PF1|2＋|PF2|2－4c2＝2|PF1|·|PF2|cos 60°， ∴3|PF1|·|PF2|＝400－4c2. ② 由①②得 c＝6，∴b＝8. 18．（本小题满分 12 分） (1) Q 直线    2 : 2 1 1 7 4 0l k x k y k      ，    2 7 4 0x y k x y       ， 由 2 7 0 4 0 x y x y        ，得 3 1 x y    ，直线 2l 过定点  3,1C . (2)当 2k  时，直线 1 : 2 0l x y  ，直线 2 :3 10 0l x y   ， 由 2 0 3 10 0 x y x y       ，得 2 4 x y    ，即  2,4A ，  2,0B ， 直线 BC 的方程为 2 1 0 3 2 y x   ，即 2 0x y   ， 点  2,4A 到直线 BC 的距离 | 2 4 2 | 2 2 1 1 d     . 6 Q 点 C 到 AB 的距离为 3 2 1,| 4|AB   ， ABCV 的面积 1 4 1 22S     . 19．（本小题满分 12 分） （1）等腰梯形 ABCD ， //AB CD ， 2 2 2AB AD CD   ，知： 1  AD DC CB 且 60B DAB    ， 120D   ，即 Rt△ ACB 中 90ACB   ∴ BC CA ，又面 ABC 面 ACD CA ， BC 面 ABC ，而面 ABC  面 ACD ∴ BC ⊥面 ACD （2）如下图示，构建以 C 为原点，CB 为 x 轴、CA 为 y 轴、过 C 点垂直于面 ABC 的直线为 z 轴的空间直 角坐标系，由题意知： (0, 3,0)A ， (1,0,0)B ， 3 1(0, , )2 2D ，则 3 1(0, , )2 2AD   ， (1, 3,0)AB   ， 3 1(0, , )2 2CD  ， (1,0,0)CB  令 ( , , )m x y z 为面 ABD 的一个法向量，则 3 1 02 2 3 0 y z x y       ，若 y=1，有 ( 3,1, 3)m  令 ( , , )n x y z 为面 CBD 的一个法向量，则 3 1 02 2 0 y z x      ，若 y=1，有 (0,1, 3)n   ∴ m  与 n  的夹角为 ，则 10cos 10| || | m n m n         ，故 3 10sin 10   根据二面角与向量夹角的关系，知：二面角 A BD C  的正弦值为 3 10 10 20．（本小题满分 12 分） (1)证明：以 D 为原点，分别以直线 DA，DC 为 x 轴、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标 系，依题意，可得 D(0,0,0)，P(0,1， 3)，C(0,2,0)，A(2 2，0,0)，M( 2 ，2,0)． PM → ＝( 2，1，－ 3)，AM → ＝(－ 2，2,0)， ∴PM → ·AM → ＝( 2，1，－ 3)·(－ 2，2,0)＝0， 即PM → ⊥AM → ，∴AM⊥PM. (2)设 n＝(x，y，z)为平面 PAM 的法向量，则 即 2x＋y－ 3z＝0， － 2x＋2y＝0， 取 y＝1，得 n＝( 2，1， 3)． 7 取 p＝(0,0,1)，显然 p 为平面 ABCD 的一个法向量， ∴cos〈n，p〉＝ n·p |n||p| ＝ 3 6 ＝ 2 2 . 结合图形可知，平面 PAM 与平面 DAM 的夹角为 45°. (3)设点 D 到平面 AMP 的距离为 d，由(2)可知 n＝( 2，1， 3)与平面 PAM 垂直，则 d＝|DA → ·n| |n| ＝|2 2，0，0· 2，1， 3|  22＋12＋ 32 ＝2 6 3 ，即点 D 到平面 AMP 的距离为2 6 3 . 21．（本小题满分 12 分） (1) 直线 l 的斜率 2k  ,则直线 l 的方程为： 2 3y x  圆心到直线 l 的距离为 3 3 1 2 d    .所以 2 2| | 2 2 4 3 2AB r d     . (2)设直线 l 的方程为 3y kx  ， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 由 2 2 3 4 y kx x y      ,有 2 2(1 ) 6 5 0k x kx    (*) 2 2=36 4 (1 ) 5 0k k    △ ， 所以 1 2 2 6 1 kx x k    , 1 2 2 5 1x x k   . 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 4 4 4 43 33 3 3 3= y y kx kx x x x xk k          1 2 1 2 1 2 5 5 53 3=2 2 =3 x xk kx x x x      2 2 5 6 12k 03 1 5 k k k      . 所以 1 2k k 为定值 0. (3) 设点 0 0( , )M x y ，由(2)有 1 2 0 2 3 2 1 x x kx k     ,所以 2 0 0 2 2 3 33 31 1 ky kx k k       又 6 3MO MQ ，即 2 23| | 2| |MO MQ .所以 2 2 2 2 0 0 0 0 43( ) 2[ ( ) ]3x y x y    . 即 2 2 0 0 0 16 32 3 9x y y   .则有 2 2 2 2 2 3 3 16 3 32( ) ( )1 1 3 1 9 k k k k        . 整理得 2 1 32 1 9 25k   . 得 2 193 32k  2 2=36 4 (1 ) 5 0k k    △ ,得 2 5 4k  . 8 则 2 193 5 32 4k   满足条件 所以满足条件的直线 l 为： 386 38y x   . 22（本小题满分 12 分） 解：（1）由题意得 2 2 2 2b c  ， 2, 2.b c a    所求椭圆的方程是 2 2 14 2 x y  . （2）由（1）知： ( 2,0), (2,0)C D 由题意可设 1 1: ( 2), ( , ). , (2,4 )CM y k x P x y MD CD M k    ， 由 2 2 14 2 ( 2) x y y k x       得 2 2 2 2(1 2 ) 8 8 4 0k x k x k     . 2 2 1 1 1 12 2 2 8 4 2 4 42 , , ( 2) ,1 2 1 2 1 2 k k kx x y k xk k k           2 2 2 2 4 4( , )1 2 1 2 k kP k k    2 2 2 2 2 2 4 4 4(1 2 )2 4 41 2 1 2 1 2 k k kOM OP kk k k              . （3）设 0 0( ,0),( 2)Q x x   若以 MP 为直径的圆恒过 DP 、 MQ 的交点，则 MQ DP ，因此 0QM DP   ， 由（2）可知 2 0 2 2 8 4(2 ,4 ), ( , ).1 2 1 2 k kQM x k DP k k        2 0 2 2 8 4(2 ) 4 01 2 1 2 k kQM DP x kk k            ，即 2 0 02 8 0, 0.1 2 k x xk    存在 (0,0)Q 使得以 MP 为直径的圆恒过直线 ,DP MQ 的交点.