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2020-2021 学年山东省高二 10 月月考数学试题
(时间 120 分钟总分 150 分)
一、单选题(共 8 小题,每题 5 分)
1.空间直角坐标系中,点 2, 1,3P 关于点 1,2,3M 的对称点Q 的坐标为( )
A. 4,1,1 B. 4,5,3 C. 4, 3,1 D. 5,3,4
2.已知定点 2,0P 和直线 : 1 3 1 2 2 5 0l x y R + ,则点 P 到直线l 的距离 d 的最
大值为( )
A. 2 3 B. 10 C. 14 D. 2 15
3.顺次连接点 4,3A , 2,5B , 3,2C , 3,0D 所构成的图形是( )
A.平行四边形 B.直角梯形 C.等腰梯形 D.以上都不对
4. 1, 1A , 3,1B ,直线 l 过点 1,2 ,且与线段 AB 相交,则直线 l 的斜率取值范围是( )
A. 1 3,2 2
B. 3 1,2 2
C. 1 3, ,2 2
D. 1 3, ,2 2
5.正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中, M 、 N 分别为 1A D 、 AC 上的点,且满足 1 3A D MD , 2AN NC ,
则异面直线 MN 与 1 1C D 所成角的余弦值为( ).
A. 5
5 B. 2
4 C. 2 5
5 D. 3
3
6.若方程 2 2 22 0x y kx y k 所表示的圆取得最大面积,则直线 1 2y k x 的倾斜角 等于
( )
A.135° B.45° C.60° D.120°
7.已知空间直角坐标系 Oxyz 中有一点 1, 1,2A ,点 B 是平面 xOy 内的直线 1x y 上的动点,则 A ,
B 两点间的最短距离是( )
A. 6 B. 34
2 C.3 D. 17
2
8.在四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 1AA 底面 ABCD .已知 1AB , 1 3AA ,
2
E 为线段 AB 上一个动点,则 1D E CE 的最小值为( )
A. 2 2 B. 2 2 C. 5 1 D. 10
二.多选题(共 4 小题,每题 5 分,选全得满分,不全得 3 分,错选 0 分)
9.关于空间向量,以下说法正确的是( )
A.空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面
B.若对空间中任意一点O ,有 1 1 1
6 3 2OP OA OB OC ,则 P , A , B ,C 四点共面
C.设 , ,a b c
是空间中的一组基底,则 , ,a b b c c a 也是空间的一组基底
D.若 0a b ,则 a b 是钝角
10.已知平面上一点 5,0M ,若直线上存在点 P 使 4PM = ,则称该直线为“切割型直线”.下列直线
中是“切割型直线”的是( )
A. 1y x B. 2y
C. 4
3y x D. 2 1y x
11.已知二次函数 2 2 0y x x m m 交 x 轴于 A , B 两点( A , B 不重合),交 y 轴于C 点.圆 M
过 A , B ,C 三点.下列说法正确的是( )
①圆心 M 在直线 1x 上;
② m 的取值范围是 0,1 ;
③圆 M 半径的最小值为 1;
④存在定点 N ,使得圆 M 恒过点 N .
A.① B.② C.③ D.④
12.定义空间两个向量的一种运算 sin ,a b a b a b ,则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立
的有( )
A. a b a b
B. a b b a
C. a b c a c b c
3
D.若 1 1,a x y , 2 2,b x y ,则 1 2 2a b x y x y
三.填空题(共 4 小题,每题 5 分)
13.若 1,1,0a , 1,0,2b ,则与 a b 共线的单位向量是____________.
14.将直线 : 2 1 0l x y 向左平移 3 个单位,再向上平移 2 个单位得到直线 'l ,则直线 l 与 'l 之间的距离
为__________.
15.若直线 l 被直线 1 : 1 0l x y 与 2 : 3 0l x y 截得的线段长为 2 2 ,则直线 l 的倾斜角
0 90 的值为________.
16.如图所示的正方体是一个三阶魔方(由 27 个全等的棱长为 1 的小正方体构成),正方形 ABCD 是上底
面正中间一个正方形,正方形 1 1 1 1A B C D 是下底面最大的正方形,已知点 P 是线段 AC 上的动点,点Q 是线
段 1B D 上的动点,则线段 PQ长度的最小值为_______.
四.解答题
17.(本题满分 10 分)在空间直角坐标系O xyz 中, 0,0,0O , 1,0,0A , 1,2,0B , 0,1,2C ,点
P 满足 AP AC
.
(1)求点 P 的坐标(用 表示);
(2)若OP BC ,求 的值.
18.(本题满分 12 分)已知圆 2 2: 3 0C x y Dx Ey ,圆心在直线 1 0x y 上,且圆心在第二象
限,半径长为 2 ,求圆的一般方程.
19.(本题满分 12 分)点 2,0A 是圆 2 2 4x y 上的定点,点 1,1B 是圆内一点,P ,Q 为圆上的动点.
(1)求线段 AP 的中点 M 的轨迹方程;
(2)若 90PBQ ,求线段 P Q 的中点 N 的轨迹方程.
4
20.(本题满分 12 分)已知 ABC△ 中,点 1,2A , AB 边和 AC 边上的中线方程分别是5 3 3 0x y 和
7 3 5 0x y ,求 BC 所在直线方程.
21.(本题满分 12 分)如图,正三棱柱 1 1 1ABC A B C﹣ 中,底面边长为 2 .
(1)设侧棱长为 1,求证: 1 1AB BC ;
(2)设 1AB 与 1BC 的夹角为
3
,求侧棱的长.
22.(本题满分 12 分)如图,在四棱台 1 1 1 1ABCD A B C D 中,底面 ABCD 是菱形, 1 1 1
1 12AA A B AB ,
60ABC , 1AA 平面 ABCD .
(1)若点 M 是 AD 的中点,求证: 1C M ∥平面 1 1AA B B ;
(2)棱 BC 上是否存在一点 E ,使得二面角 1E AD D 的余弦值为 1
3
?若存在,求线段CE 的长;若不
存在,请说明理由.
5
高二年级 10 月数学----参考答案
一、单选题 B B A C C A B D
二、多选题 ABC BC AD BD
三、填空题
13. 5 2 50, ,5 5
14. 2 5
5
15.15 或 75
16. 3 34
34
8.建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz ,
则 0,0,0A , 1 0,1, 3D , 1,1,0C .
∵ E 为线段 AB 上一个动点,
∴设 ,0,0E t ,则 2 2
1 1 3 4D E t t , 21 1CE t ,
故问题转化为求 22
1 4 1 1D E CE t t 的最小值问题,即转化为求平面直角坐标系tOu 中的一
个动点 ,0P t 到两定点 0 2M , 1,1N 的距离之和的最小值的问题,如图所示由此可知,当 M ,P ,
N 三点共线时,
22
1 min
min
4 1 1 1 9 10D E CE t t MN
,
12.解:对于 A: sin ,a b a b a b , sin ,a b a b a b ,
故 a b a b 不会恒成立;
6
对于 B, sin ,a b a b a b , sin ,b a b a b a ,故 a b b a 恒成立;
对于 C,若 a b ,且 0 , 1 sin ,a b c b c b c ,
sin , sin , 1 sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c ,
显然 a b c a c b c 不会恒成立;
对于 D, 1 2 1 2cos , x x y ya b
a b
,
2
1 2 1 2sin , 1 x x y ya b
a b
,
即有
2 2
21 2 1 2 1 2 1 21 x x y y x x y ya b a b a b aa b
2
2 2 2 2 1 2 1 2
1 1 2 2 2 2
1 1
x x y yx y x y
x y
22 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 22x y x y x x y y x y x y x x y y
1 2 2 1x y x y .
则 1 2 2 1a b x y x y 恒成立.
16.以 1B 为坐标原点, 1 1B C , 1 1B A 所在直线分别为 x 轴, y 轴建立空间直角坐标系,
则 1 0,0,0B , 1,2,3A , 2,1,3C , 2,2,3D ,
设 1 1B Q B D , AP AC , , 0,1 .
1 2 ,2 ,3B Q , 1 1 1 1 ,2 ,3B P B A AP B A AC ,
1 1 1 2 ,2 2 ,3 3QP B P B Q ,
7
2 2 2 21 2 2 2 3 3QP ,
2 2
2 2 15 1 917 30 2 2 14 17 217 2 34
当 15
17
且 1
2
时, 2
QP
取到最小值 9
34
,所以线段 PQ长度的最小值为 3 34
34 .
四、解答题
17.解:(1)因为 1,0,0A , 0,1,2C ,所以 1,1,2AC ,因为 AP AC ,
所以 1,0,0 1,1,2 1 , ,2OP OA AP OA AC ,
所以点 P 的坐标为 1 , ,2 .
(2)因为 1, 1,2BC , OP BC ,
所以 0OP BC ,即 1 1 1 2 2 0 ,解得 1
4
.
18.解:圆心 ,2 2
D EC
,
∵圆心在直线 1 0x y 上,
∴ 1 02 2
D E ,即 2D E .①
又∵半径长
2 2 12 22
D Er ,
∴ 2 2 20D E ②
由①②可得 2
4
D
E
,或 4
2
D
E
.
又∵圆心在第二象限,
∴ 02
D ,即 0D .
则 2
4
D
E
.
故圆的一般方程为 2 2 2 4 3 0x y x y .
8
19.解:(1)设线段 AP 的中点为 ,M x y ,由中点公式得点 P 坐标为 2 2,2x y .
∵点 P 在圆 2 2 4x y 上,∴ 2 22 2 2 4x y ,
故线段 AP 的中点 M 的轨迹方程为 2 21 1x y .
(2)设线段 PQ的中点为 ,N x y ,在 Rt PBQ△ 中, PM BM .
设O 为坐标原点,连接 ON (图略),则ON PQ ,
∴ 2 2 2 2 2OP ON PN ON BN ,
∴ 2 22 2 1 1 4x y x y ,
故线段 PQ的中点 N 的轨迹方程为 2 2 1 0x y x y .
20.解:设C 点坐标为 ,a b ,因为点 C 在 AB 边的中线上,所以有5 3 3 0a b .① AC 的中点坐标为
1 2,2 2
a b
,因为 AC 的中点在 AC 边的中线上,
所以有 1 a 2 b7 3 5 02 2
.②联立①②解得 3a , 4b ,即 3,4C .
同理,可得 1, 4B .则 BC 的方程是 2 2 0x y .
21.解:证明:(1) 1 1AB AB BB , 11BC BB BC
.
因为 1BB 平面 ABC ,所以 1 0BB AB , 1 0BB BC
.
又 ABC△ 为正三角形,所以 2, , 3 3AB BC BA BC
.
因为 1 1 1 1AB BC AB BB BB BC
2
1 1 1AB BB AB BC BB BB BC
2
1cos , 1 1 0AB BC AB BC BB ,所以 1 1AB BC .
解:(2)由(1)知 2 2
1 1 11 cos , 1AB BC AB BC AB BC BB BB
.
又
22 2
1 1 1 12AB AB BB BB BC ,
所以
2
1
1 1 2
1
1 1cos 22
, BBAB BC
BB
,所以 1 2BB ,即棱长为 2.
9
22.解:(1)证明:连接 1B A ,由已知得, 1 1B C BC AD∥ ∥ ,且 1 1
1
2BC AM BC
所以四边形 1 1AB C M 是平行四边形,即 1 1C M B A∥ ,
又 1C M 平观 1 1AA B B , 1B A 平面 1 1AA B B ,
所以 1C M ∥平面 1 1AA B B
(2)取 BC 中点Q ,连接 AQ 因为 ABCD 是菱形,且 60ABC ,所以 ABC△ 是正三角形,所以
AQ BC 即 AQ AD ,由于 ABC 是正三角形所以,分别以 AQ , AD , 1AA 为 x 轴, y 轴,二轴,建
立空间直角坐标系,如图 0,0,0A , 1 0,0,1A , 1 0,1,1D , 3,0,0Q
假设点 E 存在,设点 E 的坐标为 3, ,0 , 1 1
3, ,0AE , 1 0,1,1AD
设平面 1AD E 的法向量 , ,n x y z
即
1
0
0
n AE
n AD
即 3 0
0
x y
y z
,可取 , 3, 3n 平面 1ADD 的法向量为 3,0,0AQ
所以,
2
3 1cos , 33 6
AQ n
,解得: 3
2
又由于二面角 1E AD D 大小为锐角,由图可知,点 E 在线段QC 上,
所以 3
2
,即 31 2CE