2020-2021学年山东省高二10月月考数学试题 Word版
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资料简介
1 2020-2021 学年山东省高二 10 月月考数学试题 (时间 120 分钟总分 150 分) 一、单选题(共 8 小题,每题 5 分) 1.空间直角坐标系中,点  2, 1,3P  关于点  1,2,3M  的对称点Q 的坐标为( ) A. 4,1,1 B. 4,5,3 C. 4, 3,1 D. 5,3,4 2.已知定点  2,0P  和直线        : 1 3 1 2 2 5 0l x y R        + ,则点 P 到直线l 的距离 d 的最 大值为( ) A. 2 3 B. 10 C. 14 D. 2 15 3.顺次连接点  4,3A  ,  2,5B ,  3,2C ,  3,0D  所构成的图形是( ) A.平行四边形 B.直角梯形 C.等腰梯形 D.以上都不对 4.  1, 1A   ,  3,1B ,直线 l 过点 1,2 ,且与线段 AB 相交,则直线 l 的斜率取值范围是( ) A. 1 3,2 2     B. 3 1,2 2     C. 1 3, ,2 2             D. 1 3, ,2 2              5.正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中, M 、 N 分别为 1A D 、 AC 上的点,且满足 1 3A D MD , 2AN NC , 则异面直线 MN 与 1 1C D 所成角的余弦值为( ). A. 5 5 B. 2 4 C. 2 5 5 D. 3 3 6.若方程 2 2 22 0x y kx y k     所表示的圆取得最大面积,则直线  1 2y k x   的倾斜角 等于 ( ) A.135° B.45° C.60° D.120° 7.已知空间直角坐标系 Oxyz 中有一点  1, 1,2A   ,点 B  是平面 xOy 内的直线 1x y  上的动点,则 A , B 两点间的最短距离是( ) A. 6 B. 34 2 C.3 D. 17 2 8.在四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中,底面 ABCD 是正方形,侧棱 1AA  底面 ABCD .已知 1AB  , 1 3AA  , 2 E 为线段 AB 上一个动点,则 1D E CE 的最小值为( ) A. 2 2 B. 2 2 C. 5 1 D. 10 二.多选题(共 4 小题,每题 5 分,选全得满分,不全得 3 分,错选 0 分) 9.关于空间向量,以下说法正确的是( ) A.空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面 B.若对空间中任意一点O ,有 1 1 1 6 3 2OP OA OB OC      ,则 P , A , B ,C 四点共面 C.设 , ,a b c    是空间中的一组基底,则 , ,a b b c c a        也是空间的一组基底 D.若 0a b  ,则 a b  是钝角 10.已知平面上一点  5,0M ,若直线上存在点 P 使 4PM = ,则称该直线为“切割型直线”.下列直线 中是“切割型直线”的是( ) A. 1y x  B. 2y  C. 4 3y x D. 2 1y x  11.已知二次函数  2 2 0y x x m m    交 x 轴于 A , B 两点( A , B 不重合),交 y 轴于C 点.圆 M 过 A , B ,C 三点.下列说法正确的是( ) ①圆心 M 在直线 1x  上; ② m 的取值范围是 0,1 ; ③圆 M 半径的最小值为 1; ④存在定点 N ,使得圆 M 恒过点 N . A.① B.② C.③ D.④ 12.定义空间两个向量的一种运算 sin ,a b a b a b       ,则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立 的有( ) A.    a b a b      B. a b b a     C.     a b c a c b c           3 D.若  1 1,a x y ,  2 2,b x y ,则 1 2 2a b x y x y   三.填空题(共 4 小题,每题 5 分) 13.若  1,1,0a  ,  1,0,2b   ,则与 a b  共线的单位向量是____________. 14.将直线 : 2 1 0l x y   向左平移 3 个单位,再向上平移 2 个单位得到直线 'l ,则直线 l 与 'l 之间的距离 为__________. 15.若直线 l 被直线 1 : 1 0l x y   与 2 : 3 0l x y   截得的线段长为 2 2 ,则直线 l 的倾斜角  0 90     的值为________. 16.如图所示的正方体是一个三阶魔方(由 27 个全等的棱长为 1 的小正方体构成),正方形 ABCD 是上底 面正中间一个正方形,正方形 1 1 1 1A B C D 是下底面最大的正方形,已知点 P 是线段 AC 上的动点,点Q 是线 段 1B D 上的动点,则线段 PQ长度的最小值为_______. 四.解答题 17.(本题满分 10 分)在空间直角坐标系O xyz 中,  0,0,0O ,  1,0,0A ,  1,2,0B ,  0,1,2C ,点 P 满足 AP AC  . (1)求点 P 的坐标(用 表示); (2)若OP BC ,求  的值. 18.(本题满分 12 分)已知圆 2 2: 3 0C x y Dx Ey     ,圆心在直线 1 0x y   上,且圆心在第二象 限,半径长为 2 ,求圆的一般方程. 19.(本题满分 12 分)点  2,0A 是圆 2 2 4x y  上的定点,点  1,1B 是圆内一点,P ,Q 为圆上的动点. (1)求线段 AP 的中点 M 的轨迹方程; (2)若 90PBQ   ,求线段 P Q 的中点 N 的轨迹方程. 4 20.(本题满分 12 分)已知 ABC△ 中,点  1,2A , AB 边和 AC 边上的中线方程分别是5 3 3 0x y   和 7 3 5 0x y   ,求 BC 所在直线方程. 21.(本题满分 12 分)如图,正三棱柱 1 1 1ABC A B C﹣ 中,底面边长为 2 . (1)设侧棱长为 1,求证: 1 1AB BC ; (2)设 1AB 与 1BC 的夹角为 3  ,求侧棱的长. 22.(本题满分 12 分)如图,在四棱台 1 1 1 1ABCD A B C D 中,底面 ABCD 是菱形, 1 1 1 1 12AA A B AB   , 60ABC   , 1AA  平面 ABCD . (1)若点 M 是 AD 的中点,求证: 1C M ∥平面 1 1AA B B ; (2)棱 BC 上是否存在一点 E ,使得二面角 1E AD D  的余弦值为 1 3 ?若存在,求线段CE 的长;若不 存在,请说明理由. 5 高二年级 10 月数学----参考答案 一、单选题 B B A C C A B D 二、多选题 ABC BC AD BD 三、填空题 13. 5 2 50, ,5 5      14. 2 5 5 15.15 或 75 16. 3 34 34 8.建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz , 则  0,0,0A ,  1 0,1, 3D ,  1,1,0C . ∵ E 为线段 AB 上一个动点, ∴设  ,0,0E t ,则 2 2 1 1 3 4D E t t     ,  21 1CE t   , 故问题转化为求  22 1 4 1 1D E CE t t      的最小值问题,即转化为求平面直角坐标系tOu 中的一 个动点  ,0P t 到两定点  0 2M  ,  1,1N 的距离之和的最小值的问题,如图所示由此可知,当 M ,P , N 三点共线时,    22 1 min min 4 1 1 1 9 10D E CE t t MN             , 12.解:对于 A:    sin ,a b a b a b        ,  sin ,a b a b a b         , 故    a b a b      不会恒成立; 6 对于 B, sin ,a b a b a b       , sin ,b a b a b a       ,故 a b b a     恒成立; 对于 C,若 a b  ,且 0  ,   1 sin ,a b c b c b c          ,      sin , sin , 1 sin ,a c b c b c b c b c b c b c b c                         , 显然     a b c a c b c           不会恒成立; 对于 D, 1 2 1 2cos , x x y ya b a b      , 2 1 2 1 2sin , 1 x x y ya b a b          , 即有 2 2 21 2 1 2 1 2 1 21 x x y y x x y ya b a b a b aa b                           2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 x x y yx y x y x y             22 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 22x y x y x x y y x y x y x x y y        1 2 2 1x y x y  . 则 1 2 2 1a b x y x y   恒成立. 16.以 1B 为坐标原点, 1 1B C , 1 1B A 所在直线分别为 x 轴, y 轴建立空间直角坐标系, 则  1 0,0,0B ,  1,2,3A ,  2,1,3C ,  2,2,3D , 设 1 1B Q B D  , AP AC  ,  , 0,1   .  1 2 ,2 ,3B Q    ,  1 1 1 1 ,2 ,3B P B A AP B A AC            ,  1 1 1 2 ,2 2 ,3 3QP B P B Q              , 7      2 2 2 21 2 2 2 3 3QP             , 2 2 2 2 15 1 917 30 2 2 14 17 217 2 34                         当 15 17   且 1 2   时, 2 QP  取到最小值 9 34 ,所以线段 PQ长度的最小值为 3 34 34 . 四、解答题 17.解:(1)因为  1,0,0A ,  0,1,2C ,所以  1,1,2AC   ,因为 AP AC  , 所以      1,0,0 1,1,2 1 , ,2OP OA AP OA AC                 , 所以点 P 的坐标为  1 , ,2   . (2)因为  1, 1,2BC    , OP BC , 所以 0OP BC   ,即  1 1 1 2 2 0          ,解得 1 4   . 18.解:圆心 ,2 2 D EC     , ∵圆心在直线 1 0x y   上, ∴ 1 02 2 D E    ,即 2D E   .① 又∵半径长 2 2 12 22 D Er    , ∴ 2 2 20D E  ② 由①②可得 2 4 D E     ,或 4 2 D E     . 又∵圆心在第二象限, ∴ 02 D  ,即 0D  . 则 2 4 D E     . 故圆的一般方程为 2 2 2 4 3 0x y x y     . 8 19.解:(1)设线段 AP 的中点为  ,M x y ,由中点公式得点 P 坐标为 2 2,2x y . ∵点 P 在圆 2 2 4x y  上,∴   2 22 2 2 4x y   , 故线段 AP 的中点 M 的轨迹方程为 2 21 1x y   . (2)设线段 PQ的中点为  ,N x y ,在 Rt PBQ△ 中, PM BM . 设O 为坐标原点,连接 ON (图略),则ON PQ , ∴ 2 2 2 2 2OP ON PN ON BN    , ∴    2 22 2 1 1 4x y x y      , 故线段 PQ的中点 N 的轨迹方程为 2 2 1 0x y x y     . 20.解:设C 点坐标为 ,a b ,因为点 C 在 AB 边的中线上,所以有5 3 3 0a b   .① AC 的中点坐标为 1 2,2 2 a b      ,因为 AC 的中点在 AC 边的中线上, 所以有 1 a 2 b7 3 5 02 2       .②联立①②解得 3a  , 4b  ,即  3,4C . 同理,可得  1, 4B   .则 BC 的方程是 2 2 0x y   . 21.解:证明:(1) 1 1AB AB BB    , 11BC BB BC    . 因为 1BB  平面 ABC ,所以 1 0BB AB   , 1 0BB BC   . 又 ABC△ 为正三角形,所以 2, , 3 3AB BC BA BC           . 因为    1 1 1 1AB BC AB BB BB BC         2 1 1 1AB BB AB BC BB BB BC             2 1cos , 1 1 0AB BC AB BC BB            ,所以 1 1AB BC . 解:(2)由(1)知 2 2 1 1 11 cos , 1AB BC AB BC AB BC BB BB              . 又 22 2 1 1 1 12AB AB BB BB BC         , 所以 2 1 1 1 2 1 1 1cos 22 , BBAB BC BB       ,所以 1 2BB  ,即棱长为 2. 9 22.解:(1)证明:连接 1B A ,由已知得, 1 1B C BC AD∥ ∥ ,且 1 1 1 2BC AM BC  所以四边形 1 1AB C M 是平行四边形,即 1 1C M B A∥ , 又 1C M  平观 1 1AA B B , 1B A  平面 1 1AA B B , 所以 1C M ∥平面 1 1AA B B (2)取 BC 中点Q ,连接 AQ 因为 ABCD 是菱形,且 60ABC   ,所以 ABC△ 是正三角形,所以 AQ BC 即 AQ AD ,由于 ABC 是正三角形所以,分别以 AQ , AD , 1AA 为 x 轴, y 轴,二轴,建 立空间直角坐标系,如图  0,0,0A ,  1 0,0,1A ,  1 0,1,1D ,  3,0,0Q 假设点 E 存在,设点 E 的坐标为 3, ,0 , 1 1    3, ,0AE  ,  1 0,1,1AD  设平面 1AD E 的法向量  , ,n x y z 即 1 0 0 n AE n AD        即 3 0 0 x y y z      ,可取  , 3, 3n   平面 1ADD 的法向量为  3,0,0AQ  所以, 2 3 1cos , 33 6 AQ n        ,解得: 3 2    又由于二面角 1E AD D  大小为锐角,由图可知,点 E 在线段QC 上, 所以 3 2   ,即 31 2CE  

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