2020-2021学年山西省高二上学期期中考试理科数学试题 word版

1 山西省 2020-2021 学年高二上学期期中考试理科数学试题 一． 选择题（每题只有一个正确答案，每题 5 分，共 12 小题 60 分） 1．直线3 3 1 0x y   的倾斜角是（ ） A．30° B．60° C．120° D．135° 2.已知空间向量  3,1,3m  ，  1, , 1n    ，且 / /m n  ，则实数   （ ） A． 1 3  B．-3 C． 1 3 D．6 3. 下列说法不正确的．．．．是（ ） A．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形； B．同一平面的两条垂线一定共面； C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内； D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直. 4. 如图，在四面体 ABCD 中，AB CD ，M 、N 分别是 BC 、AD 的中点，若 AB 与 CD 所成的角的大小为 30°，则 MN 和 CD 所成的角的大小为（ ） A．15° B．75° C．30°或 60° D．15°或 75° 5．已知直线 2 0ax y a    在两坐标轴上的截距相等，则实数 (a  ) A．1 B． 1 C． 2 或 1 D．2 或 1 6．已知直线l 过点 (2, 1)P  ，且与直线 2 1 0x y   互相垂直，则直线l 的方程为（ ） A． 2 0x y  B． 2 3 0x y   C． 2 4 0x y   D． 2 5 0x y   7．已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面 ABC 为等边三角形，若该棱柱存在外接球与内切球， 则其外接球与内切球表面积之比为（ ） A．25︰1 B．1︰25 C．1︰5 D．5︰1 8．若点 (1,1)A 关于直线 y kx b  的对称点是 ( 3,3)B  ，则直线 y kx b  在 y 轴上的截距 是（ ） 2 A．1 B．2 C．3 D．4 9．过两直线 x 3 1 0y   和 3 3 0x y   的交点，并与原点的距离等于1的直线共 有（ ） A．0 条 B．1 条 C．2 条 D．3 条 10．设 m R ，过定点 A 的动直线 0x my  和过定点 B 的动直线 3 0mx y m    交 于点  ,P x y ，则 PA PB 的最大值是（） A． 5 B．10 C． 10 2 D． 17 11．平面⊥平面 ，A∈α，B∈β，AB 与两平面，β所成的角分别为 4  和 6  ，过 A、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为 ,A B ，则 :AB A B  等于( )． A．3∶2 B．3∶1 C．2∶1 D．4∶3 12．如图，在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1 6AA  ， 3AB  ， 8AD  ，点 M 是棱 AD 的中点，点 N 在棱 1AA 上，且满足 12AN NA ，P 是侧面四边形 1 1ADD A 内一动点（含边 界），若 1C P  平面CMN ，则线段 1C P 长度的取值范围是（ ） A． 3, 17   B． 4,5 C． 3,5 D． 17,5   3 二． 填空题（每题 5 分共 20 分） 13．已知点 M（1，0）是圆 C: 2 2 4 2 0x y x y    内的一点，那么过点 M 的最短弦所在 的直线方程是 ． 14．若圆 2 2 25x y  与圆 2 2 6 8 0x y x y m     的公共弦长为 8，则 m  ________. 15．已知三棱锥 S-ABC 中，SA，SB，SC 两两垂直，且 SA＝SB＝SC＝2，Q 是三棱锥 S-ABC 外接球上一动点，则点 Q 到平面 ABC 的距离的最大值为________． 16．过 ABC 所在平面 外一点 P ，作 PO  ，垂足为O ，连接 PA ，PB ，PC ，则 下 列说法中所有正确的序号是_______ ①若 PA PB PC  ， 90C   ，则点O 是 AB 的中点 ②若 PA PB PC  ，则点O 是 ABC 的外心 ③若 PA PB ， PB PC ， PC PA ，则点O 是 ABC 的垂心 ④若 2PA BC  ， 3PB AC  ， 4PC AB  ，则四面体 PABC 外接球的表面积为 29 三． 解答题（6 个大题共 70 分） 17.(本小题 10 分)已知直线 :3 4 7 0l x y   （1）求直线 l 的斜率；（2）若直线 m 与 l 平 行，且过点 ( 2,5)P  ，求 m 的方程. 18.(本小题 12 分)已知直线 : 5 0l x y   ，圆 2 2C: 4 4 3 0x y x y     . （1）求直线 l 被圆截得的弦长；（2）在直线 l 取一点 (5,0)P ，设 Q 为圆 C 上的点，求 PQ 的取值范围. 19．（本小题 12 分）如图，三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，侧面 1 1ABB A 是菱形， 1 1AB AC ， AC BC ， E 是 AC 的中点， 2 2AB BC  . （1）求证： 1 //B C 平面 1A BE ； 4 （2）若直线 1BC 与平面 1A BC 所成的角为 3  ，求 1A B 的长. 20．(本小题 12 分)如图，PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面， 2, 2 2,AD PA CD E F、   分别是 AB、PD 的中点． (1)求证： AF  平面 PCD． (2)求三棱锥 P EFC 的体积． 21. （本小题 12 分）如图，在四面体 ABCD 中， E ， F 分别是线段 AD ， BD 的中点， 90ABD BCD     ， 2EC  ， 2AB BD  ，直线 EC 与平面 ABC 所成的角等于 30 ． （1）证明：平面 EFC  平面 BCD ； （2）求二面角 A CE B  的余弦值． 22.．已知圆  22: 2 1M x y   ，点 P 是直线 : 2 0l x y  上的一动点，过点 P 作圆 M 的切线 PA，PB，切点为 A，B． （1）当切线 PA 的长度为 3 时，求点 P 的坐标； （2）若 PAM△ 的外接圆为圆 N，试问：当 P 运动时，圆 N 是否过定点？若存在，求出所 有的定点的坐标；若不存在，请说明理由； 5 高二期中考试理科数学答案 一．选择题 1、B 2、A 3、D 4、D 5、D 6、C 7、D 8、D 9、B 10、A 11、C 12、D 二．填空题 13.x+y-1=0 14. 55 或 5 15. 4 3 3 16. ①②③ 三．解答题 17. （1） 3 4  ；（2） m :3 4 14 0x y   18.（1）3 2 ；（2）[ 13 5, 13 5]  19. （1）证明：设 1A B 与 1AB 的交点为 F ，连接 EF ， 因 E 是 AC 的中点，侧面 1 1ABB A 是菱形，即 F 为 1AB 的中点，则 1EF B C∥ ， 又 EF  平面 1A BE ， 1B C  平面 1A BE ， 所以 1BC  平面 1A BE . （2）连接 FC ，因为 1 1AB A B ， 1 1AB AC ， 1 1 1A B AC A  ， 所以 1AB  平面 1A BC ， 所以 1B CF 即为直线 1BC 与平面 1A BC 所成的角，即 1 3B CF   ， 由于 1AB BC ， AC BC ， 1AB AC A ， 所以 BC ⊥平面 1AB C ， 所以 1BC B C ，且 BC CF . 6 在 1Rt BCB 中， 1BC  ， 1 2BB AB  ， 所以 1 3B C  ， 在 1Rt B CFV 中， 1 3B CF   ， 所以 1 3cos 3 2CF B C   ， 在 Rt BCF 中， 2 2 7 2BF BC CF   ， 所以 1 7A B  . 20.∵ 2PA AD  ， F 为 PD 中点，∴ AF PD . ∵ PA  平面 ABCD ,又CD 平面 ABCD . ∴ PA CD . ∵ AD CD , PA AD A  ,∴CD  平面 PAD . ∵ AF  平面 PAD .∴ AF CD . ∵ PD CD D  ，∴ AF  平面 PCD. （2）取 PC 的中点G ,连接 EG 、 GF ，则GF ∥ CD ， 1 2GF CD . 又 EA ∥ CD ， 1 2EA CD ，∴ AE ∥GF ，AE GF .∴四边形 AEGF 为平行四边形. ∴ EG ∥ AF ，由（1）AF  平面 PDC ，∴GE  平面 PCD，EG 为三棱锥 E PFC 的 高. 又 2GF AF EG   ， 1 22PF PD  . 1 22PCFS PF CD    . 得三棱锥 P EFC 的体积 1 2 2 3 3PCFV S EG   . 7 21. （Ⅰ）在 tR BCD 中， F 是斜边 BD 的中点， 所以 1 12FC BD  . 因为 ,E F 是 ,AD BD 的中点， 所以 1 12EF AB  ，且 2EC  ， 所以 2 2 2EF FC EC  ， 所以 EF FC . 又因为 , / /AB BD EF AB ， 所以 EF BD ， 又 BD FC F  ， 所以 EF  平面 BCD， 因为 EF  平面 EFC ， 所以平面 EFC  平面 BCD ． （Ⅱ）方法一：取 AC 中点 M ，连 ME ，则 / /ME CD ， 因为 1 22CE AD  ， 所以CD AC . 又因为CD BC ， AC BC C  ， 所以CD  平面 ABC ， 所以 ME  平面 ABC ． 因此 ECM 是直线 EC 与平面 ABC 所成的角． 故 2 2 cos30 6AC MC EC    ， 8 所以 2CD BC  . 过点 B 作 BN AC 于 N ，则 BN 平面 ACD ， 且 2 3 3 AB BCBN AC   ． 过点 B 作 BH EC 于 H ，连接 HN ， 则 BHN 为二面角 A CE B  的平面角． 因为 2BE BC EC   ， 所以 2 23 6 6,2 2 6BH BE HN BH BN     ， 所以 1cos 3 HNBHN BH    ， 因此二面角 A CE B  的余弦值为 1 3 ． 方法二： 如图所示，在平面 BCD 中，作 x 轴⊥BD，以 B 为坐标原点，BD，BA 所在直线为 y 轴，z 轴 建立空间直角坐标系 Bxyz ． 因为 2CD BC  (同方法一,过程略) 则  1,1,0C ，  0,0,2A ,  0,1,1E ． 所以  = 1,0,1CE  ,  0,1,1BE  ,  0,1, 1AE   ， 9 设平面 ACE 的法向量  1 1 1, ,m x y z ， 则 · 0 C · 0 AE m E m         ，即 1 1 1 1 0 0 y z x z      ，取 1 1x  ,得  1,1,1m  ． 设平面 BCE 的法向量  2 2 2, ,n x y z 则 · 0 · 0 BE n CE n         ，即 2 2 2 2 0 0 y z x z      ，取 2 1x  ,得  1, 1,1n   ． 所以 · 1 1cos , = 33 3 m nm n m n         ， 由图形得二面角 A CE B  为锐角， 因此二面角 A CE B  的余弦值为 1 3 ． 22. （1）由题可知，圆 M 的半径 1r  ，设  2 ,P b b ， 因为 PA 是圆 M 的一条切线，所以 90MAP   ， 所以     2 22 20 2 2 2MP b b AM AP       ， 解得 0b  或 4 5b  ， 所以点 P 的坐标为  0,0P 或 8 4,5 5P    ． （2）设  2 ,P b b ，因为 90MAP   ， 所以经过 A、P、M 三点的圆 N 以 MP 为直径， 其方程为   22 2 2 4 22 2 4 b bbx b y         ， 即   2 22 2 2 0x y b x y y      ， 由 2 2 2 2 0 2 0 x y x y y        ， 解得 0 2 x y    或 4 5 2 5 x y      ， 10 所以圆过定点  0,2 ， 4 2,5 5     ．