2020-2021学年陕西省汉中市五校高二上学期第一次月考数学试题 Word版

1 试卷类型：A（北师大版） 汉中市五校 2020～2021 学年度第一学期第一次月考 高二数学（必修 5）试题 注意事项： 1．本试题共 4 页满分 150 分，时间 120 分钟； 2．答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号； 3．选择题必须使用 2B 铅笔填涂，非选择题必须使用 0.5 毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰； 4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题卷不回收． 第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1．数列1, 4,9, 16,25,   的一个通项公式是（ ） A． 2 na n B． 2( 1)n na n  C． 1 2( 1)n na n  D． 2( 1) ( 1)n na n   2．在等差数列 na 中， 1 8 15 72a a a   ，则 2 14a a 的值为（ ） A．6 B．12 C．24 D．48 3．设数列 na 的前 n 项和为 nS ，且  *2 1n nS a n  N ，则 na  （ ） A． 2n B． 2 1n  C． 2n D． 12n 4．在 ABC 中，若 18, 24, 45a b A    ，则此三角形有（ ） A．无解 B．两解 C．一解 D．解的个数不确定 5．在等差数列 na 中，若 nS 为前 n 项和， 7 82 5a a  ，则 11S 的值是（ ） A．55 B．11 C．50 D．60 6．在等比数列 na 中， 3 15,a a 是方程 2 6 2 0x x   的两个根，则 2 16 9 a a a 的值为（ ） A． 2 2 2  B． 2 C． 2 D． 2 或 2 7．已知 nS 是正项等比数列 na 的前 n 项和， 3 318, 26a S  ，则 1a  （ ） A．2 B．3 C．1 D．6 8．设 nS 是等差数列 na 的前 n 项和，若 673 13462, 12S S  ，则 2019S  （ ） 2 A．22 B．26 C．30 D．34 9．已知 1, 1 1, 2n nb n n     ，则 1 2 2 3 2019 2020 1 1 1 b b b b b b    的值是（ ） A． 4035 2020 B． 4037 2019 C． 2019 2020 D． 2018 2019 10．在 ABC 中， 5cos , 1, 52 5 C BC AC   ，则 AB  （ ） A． 4 2 B． 30 C． 29 D． 2 5 11．已知数列 na 的通项公式 10( 1) 11 n na n        ，则数列 na 的最大项为（ ） A． 8a 或 9a B． 9a 或 10a C． 10a 或 11a D． 11a 或 12a 12．已知 ABC 为等边三角形，点 O 是 ABC 外一点， (0 ), 2, 1AOB OA OB        ，则平面 四边形OACB 面积的最大值是（ ） A． 4 5 3 4  B． 8 5 3 4  C．3 D． 4 5 2  第Ⅱ卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．已知 ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 60 , 6, 3C b c    ，则 A  _______． 14．已知等比数列 na 的首项 1 1a   ，前 n 项和为 nS ，若 10 5 31 32 S S  ，则公比 q  _________． 15．意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21， 34，55，89，144，233，…，即 (1) (2) 1F F  ， *( ) ( 1) ( 2)( 3, )F n F n F n n n      N ，此数列在 现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用，若此数列被 3 整除后的余数构成一个新数列 nb ， 则 2020b  _________． 16．某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路 BC 和一条索道 AC ，小王和小李打算不 坐索道，徒步攀登，已知 120ABC   ， 150ADC  ， 1kmBD  ， 3kmAC  ．假设小王和小李徒 步攀登的速度为每小时 1250 米，则两位登山爱好者经过_________小时登上山峰（即从 B 点出发到达 C 点）． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 3 17．（本小题满分 10 分） 在 ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 22 (2 ) (2 )a b c b c b c    ． （Ⅰ）求角 A 的大小； （Ⅱ）若 2 cosb c A ，试判断 ABC 的形状． 18．（本小题满分 12 分） 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ． （Ⅰ）若 na 为等差数列，求证：  1 2 n n n a aS  ； （Ⅱ）若  1 2 n n n a aS  ，求证： na 为等差数列． 19．（本小题满分 12 分） 在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 3sin cos sin2 2 a ab A B B  ． （Ⅰ）求角 B 的大小； （Ⅱ）若 2, 3a c  ，求 b 和 cos A的值． 20．（本小题满分 12 分） 已知等差数列 na 的前 n 项和为  * nS n N ， nb 的通项公式为 3 4 1 11 42 , 2 , 11n nb b a a S b    ． （Ⅰ）求 na 的通项公式； （Ⅱ）求数列 2 2 1n na b  的前 n 项和  * nT n N ． 21．（本小题满分 12 分） 已知 ABC 的面积为 3 3 ， 2 3AC  ， 6BC  ，延长 BC 至 D，使 45ADC  ． （Ⅰ）求 AB 的长； （Ⅱ）求 ACD 的面积． 22．（本小题满分 12 分） 已知数列 na 的前 n 项和为 nS ， *nN ， 1 2 3 3 51, ,2 4a a a   ，且当 2n  时， 2 1 14 5 8n n n nS S S S     ． （Ⅰ）求 4a 的值； （Ⅱ）证明： 1 1 2n na a     为等比数列． 4 试卷类型：A（北师大版） 2020～2021 学年度第一学期第一次月考 高二数学（必修 5）试题参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1．C 2．D 3．D 4．B 5．A 6．B 7．A 8．C 9．B 10．A 11．B 12．B 二、填空題（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．75° 14． 1 2  15．0 16． 2( 33 1) 5  三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解：（Ⅰ）∵ 22 (2 ) (2 )a b c b c b c    ，即 2 2 2bc b c a   ， ∴ 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc    ，∴ 60A  ． （5 分） （Ⅱ）由正弦定理，得sin 2sin cosB C A ， 即sin( ) 2sin cos sin cos cos sinA C C A A C A C    ， 即sin cos cos sin 0A C A C  ， ∴sin( ) 0,A C A C   ，∴ 60A B C    ， ∴ ABC 为等边三角形． （10 分） 注：本问若用其他方法解答，只要解法正确，可参照给分． 18．解：（Ⅰ）证明：已知数列 na 为等差数列，设其公差为 d， 则有 1 1 2 3( 1) ,n n na a n d S a a a a        ， 于是      1 1 1 12 ( 1)nS a a d a d a n d         ， ① 又      2 ( 1)n n n n nS a a d a d a n d         ， ② ①+②得：  12 n nS n a a  ，即  1 2 n n n a aS  ． （6 分） （Ⅱ）证明：∵  1 2 n n n a aS  ，当 2n  时，  1 1 1 ( 1) 2 n n n a aS     ， 5 ∴    1 1 1 1 ( 1) 2 2 n n n n n n a a n a aa S S         ， ③    1 1 1 1 ( 1) 2 2 n n n n a a n a aa       ， ④ ④-③并整理，得 1 12 n n na a a   ，即 1 1( 2)n n n na a a a n     ， ∴数列 na 是等差数列． （12 分） 19．解：（Ⅰ）在 ABC 中，由正弦定 sin sin a b A B  ，可得 sin sinb A a B ， 又由 3sin cos sin2 2 a ab A B B  ，得 3sin cos sin2 2 a aa B B B  ，可得 tan 3B  ． 又∵ (0, )B  ，可得 3B  ． （6 分） （ Ⅱ ） 在 ABC 中 ， 由 余 弦 定 理 及 2, 3, 3a c B    ， 有 2 2 2 2 cos 7b a c ac B    ， 故 7b  ． （8 分） 由 3sin cos sin2 2 a ab A B B  ，可得 3sin 7A  ． ∵ a c ，故 2 2 7cos 77 A   ． （12 分） 20．解：（Ⅰ）设等差数列 na 的公差为 d， 由 3 4 12b a a  ，可得 13 8d a  ． ① 由 11 11S b ，可得 1 5 16a d  ． ② 联立①②，解得 1 1a  ， 3d  ，由此可得 3 2na n  ， 数列 na 的通项公式为 3 2na n  ． （6 分） （Ⅱ）由 1 2 2 16 2, 2 4n n na n b      ，有 2 2 1 (3 1) 4n n na b n    ， 故 2 32 4 5 4 8 4 (3 1) 4n nT n          ， 2 3 4 14 2 4 5 4 8 4 (3 4) 4 (3 1) 4n n nT n n              ， 上述两式相减，得 2 3 13 2 4 3 4 3 4 3 4 (3 1) 4n n nT n              6   112 1 4 4 (3 1) 41 4 n nn       1(3 2) 4 8nn      ． 得 13 2 843 3 n n nT    ． （12 分） 21．解：（Ⅰ）∵ 1 6 2 3 sin 3 32ABCS ACB      ，得 1sin 2ACB  ，∴ 30ACB   或 150°， 又 45ADC   ，∴ 150ACB   ， 由余弦定理得 2 12 36 2 2 3 6cos150 84AB       ， ∴ 84 2 21AB   ． （6 分） （Ⅱ）∵ 150 , 45ACB ADC     ，∴ 105CAD   ， 在 ACD 中，由正弦定理得 sin sin CD AC CAD ADC   ，解得 3 3CD   ， 又 180 150 30ACD       ， ∴ 1 1 1 3( 3 1)sin 2 3 (3 3)2 2 2 2ACDS AC CD ACD           ． ∴ ACD 的面积为 3( 3 1) 2  ． （12 分） 注：本问若用其它方法作答，只要解法正确可参照给分． 22．解：（Ⅰ）当 2n  时， 4 2 3 14 5 8S S S S   ， 即 4 3 5 3 3 54 1 5 1 8 1 12 4 2 2 4a                           ，解得 4 7 8a  ． （6 分） （Ⅱ）证明：由 2 1 14 5 8 ( 2)n n n nS S S S n      ，得 2 1 1 14 4 4 4 ( 2)n n n n n nS S S S S S n         ， 即 2 14 4 ( 2)n n na a a n    ． 当 1n  时，有 3 1 54 4 1 6 44a a a      ，∴ 2 14 4n n na a a   ， ∴   2 1 2 1 1 1 1 1 1 11 1 4 2 4 2 2 12 1 4 2 4 2 2 2 2 2 n n n n n n n n n n n n n n nn n a a a a a a a a a a a a a a aa a                     ， ∴数列 1 1 2n na a     是以 2 1 1 12a a  为首项， 1 2 为公比的等比数列． （12 分）