2020-2021学年上海市复旦附中高二上学期10月月考数学试题 word版

0 上海复旦附属中学 2020-2021 学年高二年级第一学期 10 月份月考 数学试卷答案 时间：120 分钟；满分：150 分 一、 填空题：54 分 1.直线 2 3 1 0x y   的倾斜角为 【答案】 2arctan 3   2.方程组 3 1 6 2 2 2 3 x y z x ay z x y z            有无穷多解，则 a  【答案】 2 3.直线 1 :3 2 0l x y   与直线 2 : 2 3 0l x y   的夹角  【答案】 4  4.如图，在Δ ABC 中， 2 ,CD DA E  是 BD 上一点，且 1 ( )7AE AB AC R      , 则  的值等于 【答案】 4 7 5.已知 1, 2, ,a b a b     的夹角为 060 ,则 a b  在 a  上的投影是 【答案】 2 6.已知点 P 在直线 1 : 2 1 0l x y   上，点Q 在直线 2 : 2 3 0,l x y PQ   的中点 为 0 0( , )M x y ,且 0 01 7y x   ,则 0 0 y x 的取值范围是 【答案】 2 ,05     7.直线 1 : 2 6 0l ax y   与直线 2 2 : ( 1) ( 1) 0l x a y a     平行，则 a  【答案】 1 8.已知 ,a b R 若直线 2 3 0x y   与直线 ( 1) 2a x by   互相垂直，则 ab 的最大值等于 【答案】 1 8 9.点 (5,2) 到直线 ( 1) (2 1) 5m x m y m     的距离的最大值为 【答案】 2 13 1 10.定义 1 1 1 0 1 1 n n n n x x y y                为向量 ( , )n n nOP x y 到向量 1 1 1( , )n n nOP x y   的一个矩阵变换， 其中 n N ,O 是坐标原点，已知 1 (2,0)OP  ,则 2020OP  的坐标为 【答案】 (2,4038) 11.已知直线 2 (2 ) 0x y y    与两坐标轴围成一个三角形，该三角形的面积记为 ( )S  ; 当 (1, )   时， ( )S  的最小值为 【答案】8 12.已知直角 ABC 中， 3, 4, 5,AB AC BC I   是 ABC 的内心（即三个内角平分线所在 直线的交点）， P 是 CIB 内部（不含边界）的动点，若 ( , )AP AB AC R        , 则   的取值范围是 【答案】 2( ,1)3 二、 选择题：20 分 13.设 ,a b  是非零向量，“ a b a b     ”是“ / /a b   ”的（ )条件． A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充分必要 D.既不充分也不必要 【答案】A 14.已知数列{ }na 的通项公式 2019 ( 1) (1 2019) 1( ) ( 2019)2 n n n n a n       ，前 n 项和为 nS , 则关于数列{ }na 的极限， 下面判断正确的是（ ） A.数列{ }na 的极限不存在，{S }n 的极限存在； B.数列{ }na 的极限存在，{ }na 的极限不存在； C.数列{ },{S },n na 的极限均存在，但极限值不相等； D.数列{ },{S },n na 的极限均存在，且极限值相等； 【答案】C 15.过点 (1,3)P 作直线 ,l l 经过点 ( ,0)A a 和 (0, )B b ,且 ,a b N  ,则这样的直线l 的条数为（ ) A. 1 B. 2 C.3 D.4 【答案】B 2 16.在某型号的图像计算器中，输入曲线方程 28 ( 1 6 5) 0y x x       ,计算器显示下图中的 线段 AB ,则线段CD 的曲线方程为（ ) A. 23 ( 2 4 2) 0x y x x        ； B. 23 ( 2 4 2) 0x y x x        ； C. 23 ( 2 4 2) 0x y x x        ； D. 23 ( 2 4 2) 0x y x x        ； 【答案】A 三、解答题：76 分 17.已知函数 1 2 1 ( ) 0 1 0 ( ) 13 2 x f x x R x    （1)求不等式 ( ) 0f x  的解集； （2)若不等式 ( )f x a x  在  2,3x  上恒有解，求实数 a 的取值范围． 【答案】（1) 1( ,0) ,2x      ；（2） 4 3a  18.已知向量 (3, 1), 5, (1 )a a b c xa x b            ； （1)若 a c  ，求实数 x 的值； （2)若 5b  ,求 c  的最小值． 【答案】（1) 1 3x  ；（2） 1c  19.在平面直角坐标系 XOY 中，已知点 (2,0), (10,0),C(11,3),D(10,6)A B （1)证明：存在点 P 使得 PA PB PC PD   ,并求 P 的坐标； （2)过点C 的直线 l 将四边形 ABCD 分成周长相等的两部分， 求该直线 l 的方程. 【答案】（1) (6,3) ；（2）12 41 9 0x y   3 20.如图，平面直角坐标系内，O 为坐标原点，点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在第一象限内， 060AOB  . （1)若 AB 过点 (3, 3)M ,当ΔOAB 的面积取最小值时，求直线 AB 的斜率； （2)若 4AB  ,求ΔOAB 的面积的最大值； （3)设 , ,OA a OB b  若 1 1 4a b   ,求证：直线 AB 过一定点，并求出此定点坐标. 【答案】（1) 3 ；（2） 4 3 ；（3） 3 3( , )8 8 21.在平面直角坐标系内，对于任意两点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y , 定义它们之间的“曼哈顿距离”为 1 2 1 2AB x x y y    . （1)求线段 2( , 0)x y x y   上一点 ( , )M x y 到原点 O(0,0) 的“曼哈顿距离”； （2)求所有到定点 ( , )Q a b 的“曼哈顿距离”均为 2 的动点围成的图形的周长； （3)众所周知，对于“欧几里得距离” 2 2 1 2 1 2( ) (y y )AB x x    ,有如下三个正确的结论： ①对于平面上任意三点 , ,A B C ,都有 AB AC CB  ; ②对于平面上不在同一直线上的任意三点 , ,A B C ,若 2 2 2AB AC CB  ,则 ABC 是以 C 为 直角的直角三角形； ③对于平面上两个不同的定点 ,A B ,若动点 P 满足 PA PB ,则动点 P 的轨迹是线段 ,A B 的垂直 平分线； 上述结论对于“曼哈顿距离”是否依然正确？说明理由。 【答案】 （1) 2 ；（2）8 2 ；（3）①正确，②正确，③错误