2020-2021学年陕西省高二上学期期中考试数学（文）试题 Word版

1 2020-2021 学年度第一学期期中考试 高二数学（文）试题 命题人 白恒兴 一、选择题（每小题 3 分，共 36 分） 1． nS 为等差数列 na 的前 n 项和，若 15 0S  ，则 8a  （ ）. A．-1 B．0 C．1 D．2 2．等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 14a ， 22a ， 3a 成等差数列．若 1 1a  ，则 3S  （ ） A．15 B．7 C．8 D．16 3．在等比数列 na 中， 4 4a  ，则 2 6a a （ ） A．4 B．16 C．8 D．32 4．命题“ 1x  ，使 2 1x  ”的否定形式是（ ） A．“ 1x  ，使 2 1x  .” B．“ 1x  ，使 2 1x  .” C．“ 1x  ，使 2 1x  .” D．“ 1x  ，使 2 1x  .” 5．若 a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C．既不是充分条件也不是必要条件 D．无法判断 6．条件 p ： 1 0a  ，若 p 不成立，则实数 a 的取值范围为（ ） A． 0a  B． 0a  C． 0a  D． 0a  7．已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     ，若长轴长为 8，离心率为 1 2 ，则此椭圆的 标准方程为 A． 2 2 164 48 x y  B． 2 2 164 16 x y  C． 2 2 116 4 x y  D． 2 2 116 12 x y  8．已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则该椭圆的离心率为（ ） 答案第!语法错误，)页，总 6页 2 A． 1 3 B． 1 2 C． 2 2 D． 3 2 9．抛物线 21 8y x 的准线方程为（ ） A． 1 32y   B． 2y   C． 2x   D． 1 32x   10．已知点  2,A a 为抛物线 2 4y x 图象上一点，点 F 为抛物线的焦点，则 AF 等于（ ） A．3 B．2 2 C．2 D． 2 11．已知双曲线的方程为 2 2 14 3 x y  ，双曲线右焦点 F 到双曲线渐近线的距离为 （ ） A．1 B． 2 C． 3 D．2 12．已知 1F ， 2F 是双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的两个焦点，PQ 是经过 1F 且垂 直于 x 轴的双曲线的弦，若 2 90PF Q  ，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B．2 2 C． 2 1 D．1 2 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 13．数列{ }na 中， 1 1a  ， 1 3n na a   ，则{ }na 的前 21 项和 21S =_________． 14．已知命题 p ： xy a （ 0a  ，且 1a  ）是增函数；命题q：对任意的  2,4x ， 都有 a x 成立，若命题 p q 为真题，则实数 a 的取值范围是______. 15．椭圆 2 2 2 1x ym   的焦距是 2，则m 的值是_________. 3 16．若双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的一条渐近线与直线 2y x 垂直，则其离心 率为________. 17．过抛物线 2 2y px （ 0p  ）的焦点 F 作直线l 交抛物线于点 M，N，交抛物 线的准线于点 Q，若 QFQM 2 ，则直线l 的倾斜角为__________. 三、解答题（共 44 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18．（本题 10 分）等比数列 na 中，已知 21 a ， 164 a . （1）求数列 na 的通项公式； （2）若 3a 、 5a 分别为等差数列 nb 的第 3 项和第 5 项，试求数列 nb 的通项公 式及前n项和 nS . 19．已知 ABC 的三边长 BC、AC、AB 成等差数列，且 B、C 的坐标分别为 )0,3(A 、 )0,3(C . （1）求顶点 B 的轨迹 E 的方程. （2）求曲线 E 的内接矩形的面积的最大值. 20．已知椭圆 2 2 2 2 x yC 1a b ：   )0(  ba 的离心率为 3 2 ，短轴长为4 ． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知过点 P（2,1）作弦且弦被点 P 平分，则此弦所在的直线方程. 21．已知抛物线C 的顶点为坐标原点O，对称轴为 x 轴，且抛物线C 经过点  4,6A . （1）求点 A到抛物线C 的焦点 F 的距离； 答案第!语法错误，)页，总 6页 4 （2）若过点（9，0）的直线l 与抛物线C 交于 M ， N 两点， 证明：以线段 MN 为直径的圆必过定点. 参考答案 一、选择题（每小题 3 分，共 36 分） 1．B 2．B 3．B 4．D 5．A 6．D 7．D 8．C 9．B 10．A 11．C 12．D 二、填空题（每小题 4 分，共 20 分） 13．651 14． 1,2 15． 2 16． 5 2 17． π 3 或 2π 3 . 三、解答题（共 44 分） 18．【详解】（10 分） (1) 等比数列{an}中， a1＝2，a4＝16，令公比为q 则 3 3 4 1 2 16a a q q   ，即 2q = .................................................2 分 ∴ 1 1 2n n na a q   ， *( 1, )n n N  ...............................................4 分 (2) a3、a5 分别为等差数列{bn}的第 3 项和第 5 项 由(1)知： 3 3 8a b  ， 5 5 32a b  若{bn}的公差为 d ，则 5 3 2 8 2 32b b d d     ，得 12d  .........6 分 ∴ 3 ( 3) 8 ( 3) 12 12 28nb b n d n n         ， *( 1, )n n N  .....8 分 21 6 222 n n b bS n n n    ， *( 1, )n n N  ......................................10 分 19．【解析】（10 分） （1）由已知得 6122  ACACBCBA ， 所以点 B 的轨迹 E 是以 A、C 为焦点的椭圆. .................................3 分 5 且 6,3  ac ，所以 272 b ， 故所求方程为 )0(12736 22  yyx ....................................................5 分 （2）设椭圆的内接矩形为 ABCD，且 )sin33,cos6( A ，............6 分 则此矩形面积为 S=  2sin336cossin3184  ，.......... ...8 分 当 12sin  时，最大面积为 336 ..............................................10 分 20．【解析】（12 分） （1） c 3e a 2   ，2b=4，所以 a=4，b=2，c= 2 3 ， 椭圆标准方程为 2 2 116 4 x y  ..........................................................6 分 （2）设以点  2,1P 为中点的弦与椭圆交于    1 1 2 2, , ,A x y B x y ， 则 1 2 1 24, 2x x y y    ，分别代入椭圆的方程，两式相减得      1 2 1 2 1 2 1 24 0x x x x y y y y      ，所以    1 2 1 24 8 0x x y y    ， 所以 1 2 1 2 1 2 y yk x x    ，.................................10 分 所求直线方程为  11 22y x    ，即 2 4 0x y   ．...............12 分 21．【解析】（12 分） （1）解：设C 的方程为  2 2 0y px p  ， 将点 A的坐标代入方程得 26 2 4p  ，即 9 2p  ，..........3 分 此时 A到C 的焦点的距离为 254 2 4 p  .......................................6 分 （2）证明：由（1）可知，当C 的对称轴为 x 轴时，C 的方程为 2 9y x . 答案第!语法错误，)页，总 6页 6 直线l 斜率显然不为 0，可设直线l 的方程为 9x my  ， 设    1 1 2 2, , ,M x y N x y ，线段 MN 的中点为  0 0,G x y . 由 2 9 9 y x x my      得 2 9 81 0y my   ，则 1 2 9y y m  ， 1 2 81y y   ，....9 分 所以 1 2 0 9 2 2 y y my   ， 2 1 2 0 9 18 2 2 x x mx    ， 且 2 2 2 2 1 2 1 21 ( ) 4 9 (1 )(4 )MN m y y y y m m        . 以线段 MN 为直径的圆的方程为 2 2 2 0 0 | |( ) ( ) 2 MNx x y y         即  2 2 29 2 9 0x m x y my     ， 即  2 218 9 0x x y m mx y     ，令 0mx y  ，则 218 0x x y 2 - ， 因为 m R .所以圆  2 218 9 0x x y m mx y     过定点（0，0）， 从而以线段 MN 为直径的圆过定点.............................12 分 （直接证明 ONOM  也可给满分）