2020-2021学年内蒙古高二第一学期期中考试数学（理）试题 Word版

- 1 - 2020-2021 学年度第一学期期中考试 高二年级数学试题（理科） 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分，每题只有一个正确选项） 1、双曲线x2 3 －y2＝1 的焦点坐标是( ) A．(－ 2，0)，( 2，0) B．(－2,0)，(2,0) C．(0，－ 2)，(0， 2) D．(0，－2)，(0,2) 2、已知命题 0: 0p a   （ ， ）， 2 0 02 3 0a a   ，那么命题 p 的否定是（ ） A．   2 0 0 00 2 3 0a a a     ， ， B．   2 0 0 0  0 2 3 0a a a    ， ， C．   20 2 3 0a a a     ， ， D．   20 2 3 0a a a   ， ， 3、已知椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的长轴长为 6，且两焦点恰好将长轴三等分， 则此椭圆的标准方程为( ) A.x2 36 ＋y2 32 ＝1 B.x2 9 ＋y2 8 ＝1 C.x2 9 ＋y2 5 ＝1 D.x2 16 ＋y2 12 ＝1 4、圆 O1：x2＋y2－2x＝0 和圆 O2：x2＋y2－4y＝0 的位置关系是( ) A．相交 B．外切 C．相离 D．内切 5、下列有关命题的说法正确的是( ) A. 命题“若 2 1x  ，则 1x  ”的否命题为：“若 2 1x  ，则 1x  ” B. “ 1x   ”是“ 2 5 6 0x x   ”的必要不充分条件 C. 命题“ x R  ，使 2 1 0x x   ”的否定是：“ x R  均有 2 1 0x x   ” D. 命题“若 x y ，则sin sinx y ”的逆否命题为真命题 6、过原点且倾斜角为 60 的直线被圆 2 2 4 0 x y y   所截得的弦长为( ) A. 3 B．2 C. 6 D． 2 3 7、过点 A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线 x＋y－2＝0 上的圆的方程是( ) A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 - 2 - 8、椭圆x2 25 ＋y2 9 ＝1 上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2，N 是 MF1 的中点，则|ON|等于 ( ) A．2 B．4 C．8 D.3 2 9、直线 l：mx－y＋1－m＝0 与圆 C：x2＋(y－1)2＝5 的位置关系是( ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 10、若圆 x2＋y2＋2x－6y＋6＝0 上有且仅有三个点到直线 x＋ay＋1＝0 的距离为 1， 则实数 a 的值为( ) A．±1 B．± 2 4 C．± 2 D．± 3 2 11、如图，椭圆x2 a2 ＋y2 4 ＝1(a＞2)的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 是椭圆上的一 点，若∠F1PF2＝60°，那么△PF1F2 的面积为( ) A.2 3 3 B.3 3 2 C.3 3 4 D.4 3 3 12、已知 F1，F2 是椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A 是 C 的左顶点， 点 P 在过 A 且斜率为 3 6 的直线上，△PF1F2 为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则 C 的离心率为( ) A.2 3 B.1 2 C.1 3 D.1 4 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13、已知椭圆   2 2 2 1 04 x y aa    与双曲线 2 2 19 3 x y  有相同的焦点， 则 a 的值为__________. 14、圆心在直线 x－2y＝0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切，圆 C 截 x 轴所得的弦长 为 2 3，则圆 C 的标准方程为____________________． - 3 - 15、已知 M，N 是圆 A：x2＋y2－2x＝0 与圆 B：x2＋y2＋2x－4y＝0 的公共点，则 线段 MN 的长度为________． 16、椭圆 2 2 14 2 x y  的左、右焦点分别为 1 2,F F ，过焦点 1F 的直线交椭圆于 ,A B 两点， 则 2ABF△ 的周长为__________；若 ,A B 两点的坐标分别为 1 1,x y 和 2 2,x y ，且 2 1 2y y  ，则 2ABF△ 的内切圆半径为____________. 三、解答题（17 题 10 分，18-22 题每题 12 分，要求有必要的计算过程或文字说明） 17、求下列曲线的标准方程 （1）求焦点在 x 轴上，焦距为 2，过点 )2 3,1( 的椭圆的标准方程； （2）求与双曲线 2 2 12 x y  有公共焦点，且过点 2, 2 的双曲线标准方程． 18、已知命题 :p 方程 2 2 11 3 x y m m    表示焦点在 y 轴上的椭圆,命题 :q 关于 x 的不 等式 03222  mmxx 恒成立； （1）若命题 q 是真命题，求实数 m 的取值范围 （2）若“ p q ”为假命题,“ p q ”为真命题.求实数 m 的取值范围 19、已知圆 C 经过点(0,1)且圆心为 C(1,2)． （1）写出圆 C 的标准方程； （2）过点 P(2，－1)作圆 C 的切线，求该切线的方程及切线长． 20、已知点 P 在圆 C：x2＋y2－4x－2y＋4＝0 上运动，A 点坐标为（-2,0） （1）求线段 AP 中点的轨迹方程 （2）若直线 l：x－2y－5＝0 与坐标轴交于 MN 两点，求 PMN 面积的取值范围 21、已知点  0, 2A  ，椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yE a ba b     的离心率为 2 ,2 F 是椭圆 E 的右焦 点，直线 AF 的斜率为 2， O 为坐标原点． - 4 - （1）求 E 的方程； （2）设过点  0 3P ， 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两 M N、 ，且 8 2| | 7MN  ，求 k 的值. 22、已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的两个焦点是 1 2( 1, 0), (1, 0)F F ，且离心率 1e 2  ． （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）过点 0,t 作椭圆 C 的一条切线l交圆 2 2: 4O x y  于 ,M N 两点，求 OMN△ 面 积的最大值． - 5 - 答案： 一选择题、BCBAD;DCBAB;DD 二、填空题 13、4； 14、 4)1()2( 22  yx ； 15、 2 ； 16、8， 2 2 三解答题 17(1)由题意知 c＝1,2a＝ 3 2 2＋ 3 2 2＋22＝4，解得 a＝2， 故椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2 3 ＝1. （2）双曲线 2 2 12 x y  双曲线的焦点为 ( )3,0 ， 设双曲线的方程为 2 2 2 2 1 ),( 0x y a b a b    ， 可得 2 2 3a b  ， 将点 2, 2 代入双曲线方程可得, 2 2 2 2 1 a b   ， 解得 1, 2a b  ， 即有所求双曲线的方程为： 2 2 12 yx   . 18（1）关于 x 的不等式 03222  mmxx 恒成立； 则判别式 24 4(2 3) 0m m     ,即 2 2 3 0m m   ,得 1 3m   （2）∵方程 2 2 11 3 x y m m    表示焦点在轴上的椭圆. ∴ 0 1 3m m    ,解得: 1 1m   , ∴若命题 p 为真命题,求实数 m 的取值范围是 ( 1,1) ; 若关于 x 的不等式 03222  mmxx 恒成立,则判别式 24 4(2 3) 0m m     ,即 2 2 3 0m m   ,得 1 3m   , - 6 - 若“ p q ”为假命题,“ p q ”为真命题,则 ,p q 为一个真命题,一个假命题, 若 p 真 q 假,则 1 1{ 3, 1 m m m       ,此时无解, 若 p 假 q 真,则 1 3{ 1, 1 m m m       ,得1 3m  . 综上,实数 m 的取值范围是 1,3 . 19 解： (1)由题意知，圆 C 的半径 r＝ 1－02＋2－12＝ 2，所以圆 C 的标准方程为(x －1)2＋(y－2)2＝2. (2)由题意知切线斜率存在，故设过点 P(2，－1)的切线方程为 y＋1＝k(x－2)，即 kx－y－2k－1＝0，则|－k－3| 1＋k2 ＝ 2， 所以 k2－6k－7＝0，解得 k＝7 或 k＝－1， 故所求切线的方程为 7x－y－15＝0 或 x＋y－1＝0. 由圆的性质易得所求切线长为 PC2－r2＝ 2－12＋－1－22－2＝2 2. 20、（1）已知点 P 在圆 C：x2＋y2－4x－2y＋4＝0 上运动，A 点坐标为（-2,0） 设 AP 的中点为 M(x，y)， ),( 0yxP o ，由中点坐标公式可知，        2 2 2 0 0 yy xx 所以      yy xx 2 22 0 0 带入圆 C：x2＋y2－4x－2y＋4＝0 中，故线段 AP 中点的轨迹方程 为 022  yyx （2）圆 C：x2＋y2－4x－2y＋4＝0 化为(x－2)2＋(y－1)2＝1，圆心 C(2,1)，半径为 1，圆心到直线 l 的距离为|2－2－5| 12＋22 ＝ 5，则圆上一动点 P 到直线 l 的距离的最小 值是 5－1，最大值是 5＋1 ，又 2 55MN ，所以面积 ]4 55 4 25,4 55 4 25[ S 21、（1）由离心率 2 2 ce a   ，则 2a c ， 直线 AF 的斜率  0 2 20k c    ，则 1c  ， 2a  ， 2 2 2 1b a c ﹣ ＝ ， ∴椭圆 E 的方程为 2 2 12 x y  ； - 7 - （2）设直线 : 3l y kx  ，设    1 1 2 2,M x y N x y， ， ， 则 2 2 3 12 y kx x y      ，整理得：  2 21 2 4 3 4 0k x kx   ，  2 2( 4 3 ) 4 4 1 2 0k k      △ ，即 2 1k  ， ∴ 1 2 2 4 3 1 2 kx x k    ， 1 2 2 4 1 2 x x k   ， ∴     2 2 22 2 1 2 1 2 1 2 2 4 1 1 8 21 1 4 71 2 k k MN k x x k x x x x k             ， 即 4 217 32 57 0k k   , 解得： 2 3k  或 19 17  （舍去） ∴ 3k   ， 22、（1）由已知 11,e 2 cc a    ，所以 2, 3a b  ， 所以椭圆C 的标准方程 2 2 14 3 x y  ． （2）由已知切线l 的斜率存在，设其方程为 y kx t  ， 联立方程 2 2 14 3 y kx t x y     ，消去 y 得 2 2 2(3 4 ) 8 4 12 0k x ktx t     ， 由相切得 2 2 2(8 ) 4(3 4 )(4 12) 0kt k t    △ ，化简得 2 23 4t k  ， 又圆心 O 到切线l 的距离 2 | | 1 td k   ，所以 2 2| | 2 4 1 tMN k    ， 所以 2 2 2 2 2 2 22 1 | | 4(1 )| | 42 1 (1 )1OMN t t k tS MN d tk kk       △ ， 把 2 23 4t k  代入得 2 2 2 3 4 (1 )OMN kS k  △ ， 记 21u k  ，则 11,0 1u u    ， - 8 - 所以 2 2 2 4 1 1 4 1 2 4OMN uS u u u u            △ ， 所以， 1 1u  时， OMN△ 的面积有最大值 3