2020-2021学年浙江省丽水市五校共同体高二上学期10月阶段性考试数学试题（解析版）

第 1 页 共 18 页 2020-2021 学年浙江省丽水市五校共同体高二上学期 10 月阶 段性考试数学试题 一、单选题 1．命题“若 1x  ，则 2 2x  ”的逆否命题是（ ） A．“若 1x  ，则 2 2x  ” B．“若 1x ，则 2 2x  ” C．“若 2 2x  ，则 1x ” D．“若 2 2x  ，则 1x  ” 【答案】C 【解析】根据逆否命题的定义即可得到答案. 【详解】 因为 1x  的否定为 1x ， 2 2x  的否定为 2 2x  ， 所以“若 1x  ，则 2 2x  ”的逆否命题是“若 2 2x  ，则 1x ”. 故选：C 【点睛】 本题主要考查四种命题中的逆否命题，属于简单题. 2．过点 ( 2,1)P  且倾斜角为 90°的直线方程为（ ） A． 1y  B． 2x   C． 2y   D． 1x  【答案】B 【解析】根据倾斜角为90 的直线的方程形式，判断出正确选项. 【详解】 由于过  2,1P  的直线倾斜角为90 ，即直线垂直于 x 轴，所以其直线方程为 2x   . 故选：B 【点睛】 本小题主要考查倾斜角为90 的直线的方程，属于基础题. 3．已知命题 :p “ 2x  ”，命题 :q “ lg lg2x  ”，则 p 是 q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 第 2 页 共 18 页 【解析】首先根据 lg lg2x  得到 0 2x  ，从而得到    0,2 ,2  ，即可得到答案. 【详解】 0lg lg 2 0 22 xx xx       ， 因为    0,2 ,2  ，所以 p 是 q的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】 本题主要考查必要不充分条件的判断，同时考查了对数不等式的解法，属于简单题. 4．设 x ， y 满足约束条件 3 0 2 0 1 x y x y x           ，则 2z x y   的最小值为（ ） A． 11 2  B． 2 C． 13 2  D．5 【答案】A 【解析】由线性约束条件，画出可行域，结合直线的平移即可求得 2z x y   的最小 值. 【详解】 根据线性约束条件，画出不等式组表示的可行域如图所示： 2y x z  由 2y x 平移得到， 由图可知当目标函数 2z x y   经过点 5 1,2 2A    处取得最小值， 代入可得为 11 2 5 12 2 2z            ． 故选：A. 【点睛】 第 3 页 共 18 页 本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数最值的求法，属于基础题. 5．已知直线 (2 1) 2 0a x ay    在两坐标轴上的截距相等，则实数 a （ ） A． 1 3  B．1 C． 1 3  或 1 D． 1 【答案】D 【解析】将直线 (2 1) 2 0a x ay    表示为截距式方程，根据截距相等得到关于 a 的方 程，解出即可． 【详解】 因为直线不过 (0,0) ，截距不是 0， 故直线可化为： (2 1) 12 2 a x ay   ， 若直线 (2 1) 2 0a x ay    在两坐标轴上的截距相等， 则 2 2 2 1a a  ，解得： 1a   ， 故选：D． 【点睛】 本题考查直线的截距，考查直线的一般方程与截距式方程的转化，属于基础题. 6．已知△ABC 的周长为 20，且顶点 B （0，﹣4），C （0，4），则顶点 A 的轨迹方程是 （ ） A． 2 2 136 20 x y  （x≠0） B． 2 2 120 36 x y  （x≠0） C． 2 2 16 20 x y  （x≠0） D． 2 2 120 6 x y  （x≠0） 【答案】B 【解析】根据三角形的周长和定点，得到点 A 到两个定点的距离之和等于定值，得到点 A 的轨迹是椭圆，椭圆的焦点在 y 轴上，写出椭圆的方程，去掉不合题意的点． 【详解】 解：∵△ABC 的周长为 20，顶点 B （0，﹣4），C （0，4）， ∴BC＝8，AB+AC＝20﹣8＝12， ∵12＞8 ∴点 A 到两个定点的距离之和等于定值， ∴点 A 的轨迹是椭圆， ∵a＝6，c＝4 ∴b2＝20， 第 4 页 共 18 页 ∴椭圆的方程是   2 2 1 020 36 x y x   故选 B． 【点睛】 本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆， 本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点． 7．已知 0a  ， 0b  ，直线 1l ：( 1) 1 0a x y    ， 2l ： 2 1 0x by   ，且 1 2l l ， 则 2 1 a b  的最小值为（ ） A．2 B．4 C．8 D．9 【答案】C 【解析】由 1 2l l ，可求得 2 1a b  ，再由  2 1 2 1 42 4 b aa ba b a b a b           ， 利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】 因为 1 2l l ，所以 1 1 1 2 0a b     ，即 2 1a b  ， 因为 0a  ， 0b  ，所以  2 1 2 1 4 42 2 2 4 2 8b a b aa ba b a b a b a b                ，当且仅当 4b a a b  ，即 1 1,2 4a b  时等号成立， 所以 2 1 a b  的最小值为 8. 故选：C. 【点睛】 本题考查垂直直线的性质，考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属 于中档题. 8．已知圆  2 2: 2 2 4 4 0C x y x my m m R       ，则当圆C 的面积最小时，圆 上的点到坐标原点的距离的最大值为（ ） A． 5 B． 6 C． 5 1 D． 5 1 【答案】D 【解析】根据圆的一般方程，得到圆心和半径，求出面积最小时对应的半径，再求得圆 心到坐标原点的距离，进而可求出结果. 第 5 页 共 18 页 【详解】 由 2 2 2 2 4 4 0x y x my m      得   2 2 21 4 5x y m m m      ， 因此圆心为  1,C m ，半径为  22 4 5 2 1 1r m m m       ， 当且仅当 2m   时，半径最小，则面积也最小；此时圆心为  1, 2C   ，半径为 1r  ， 因此圆心到坐标原点的距离为    2 21 2 5d r      ， 即原点在圆C 外， 根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为 5 1d r   . 故选：D. 【点睛】 本题主要考查求圆上的点到定点距离的最值，属于基础题型. 9．由直线 1y x  上的点向圆 2 23 1x y   作切线，则切线长的最小值为（ ） A．1 B． 7 C． 2 2 D．3 【答案】B 【解析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小 值． 【详解】 切线长的最小值是当直线 1y x  上的点与圆心距离最小时取得， 圆心 (3,0) 到直线的距离为 | 3 0 1| 2 2 2 d    ， 圆的半径为 1， 故切线长的最小值为 2 2 8 1 7d r    ， 故选：B． 【点睛】 本题考查圆的切线方程，点到直线的距离，是基础题． 10．已知圆  22 2 4 1 :C x y a a   的圆心到直线 2 0x y   的距离为 2 2 ，则圆 1C 与圆 2 2 2 : 2 4 4 0C x y x y     的位置关系是（ ） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 【答案】B 【解析】根据圆 1C 的方程求得圆心为 2 ,0a ，半径为 2a ，利用点到直线的距离公式得 第 6 页 共 18 页 到 2 2a  ， 求得圆心距，根据圆与圆的位置关系进行判定. 【详解】 圆  22 2 4 1 :C x y a a   的圆心为  20 a， ，半径为 2a . 圆心到直线 2 0x y   的距离为 2 2 2 0 2 1 1 a d      2 2 ，解得 2 2a  . ∴圆  22 1 : 2 4C x y   的圆心为  0,2A ，半径为 1r  2， 圆 2 2 2 : 2 4 4 0C x y x y     的标准方程为：   2 2x 1 y 2 1    ， 圆心坐标为  1,2B ，半径 2 1r  ， 圆心距    2 2 1 20 1 2 2 1d r r       ， ∴两圆相内切， 故选：B. 【点睛】 本题考查圆与圆的位置关系的判定，涉及点到直线的距离公式，圆的一般方程和标准方 程，属中档题. 11．已知 1F ， 2F 分别是椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左、右焦点，P 是椭圆上一点（异 于左、右顶点），若存在以 2 2 c 为半径的圆内切于 1 2PF F△ ，则椭圆的离心率的取值范 围是（ ） A． 10, 3      B． 20, 3      C． 1 2,3 3      D． 2 ,13      【答案】A 【解析】根据三角形的面积关系，可得  1 2 12 2 22 2 2 pa c c c y  ，再根据| |Py b 可 得关于 ,a c 的不等式，从而可求得离心率的取值范围. 【详解】  1 2PF F 的面积关系可得：  1 2 12 2 22 2 2 pa c c c y  ，    2 2pa c c c y bc   ，   2a c b  ， 第 7 页 共 18 页   2 22a c b  ，则 2 20 2 3a ac c   ，    3 0a c a c   ， 3a c ，  10 3e  . 故选：A. 【点睛】 本题考查椭圆的定义运用、三角形内切圆、椭圆的离心率，考查函数与方程思想、转化 与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意不等关系的建立. 12．已知 1F ､ 2F 分别是椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左､右焦点，过 1F 的直线 l 交椭 圆于 D ､ E 两点， 1 1| | 5| |DF F E ， 2| | 2DF  ，且 2DF x 轴.若点 P 是圆 2 2: 1O x y  上的一个动点，则 1 2PF PF 的取值范围是（ ） A． 3 5， B． 2 5， C． 2 4， D． 3 4， 【答案】A 【解析】由题意可知   7 2, 2 , ,5 5D c E c       ，代入椭圆得 2 28, 4a b  ，继而得 出 1 2( 2,0), (2,0)F F ，设 (cos ,sin )P   ，即可表示出 1 2PF PF ，进而求出范围. 【详解】 由题意可知   7 2, 2 , ,5 5D c E c       ， 将 ,D E 代入椭圆方程得 2 2 2 2 2 2 2 1 49 2 125 25 c a b c a b       ，解得 2 28, 4a b  ， 所以椭圆方程为 2 2 18 4 x y  ， 所以椭圆的焦点为 1 2( 2,0), (2,0)F F ， 由 P 在圆 2 2 1x y  上，设 (cos ,sin )P   ， 所以 2 2 2 2 2 1 2 (cos 2) sin (cos 2) sin 25 16cosPF PF              ， 所以 1 2PF PF 的取值范围为[3,5] . 第 8 页 共 18 页 故选：A. 【点睛】 本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆中的长度关系，属于中档题. 二、填空题 13．已知实数 x ， y 满足不等式组 3 3 0 2 3 0 3 0 x y x y x my         … „ … ，若 z x y  的最小值为 2 ，则实 数 m  ___________. 【答案】 9 5 【解析】首先画出可行域，根据目标函数 z x y  的几何意义求最值，由 z x y  过 点 B 取最小值 2 求出 m. 【详解】 3 0x my   ，表示过定点(-3.0)的直线，若要能形成可行域，直线的斜率大于 0，所 以 m>0. 如图，画出可行域， z x y  表示斜率为 1 的直线， 当 0y  时， x z ，所以 z 表示直线的横截距， 所以 z x y  平移至点 B 时， z 取得最小值. 由 3 0 3 3 0 x my x y        解得 3 9 6,3 3 mx ym m    ， 即 3 9 6,3 3 mB m m       ， 所以 min 3 9 6 23 3 mz m m      ，解得 9 5m  ， 第 9 页 共 18 页 故答案为： 9 5 【点睛】 本题主要考查线性规划，重点考查转化思想，数形结合思想，属于中档题型，本题的关 键是根据 3 0x my   表示过定点(-3,0)的直线,画出可行域. 14．若曲线 2 1 : 2 2C y x x    与曲线 2 :( 2)( ) 0C y y kx k    有四个不同的交 点,则实数 k 的取值范围是__________. 【答案】 4 7( , 23    ） 【解析】由 2 1 : 2 2C y x x    知曲线 C1 表示以 ( 1,2) 为圆心以 1 为半径的上半圆， 2 :( 2)( ) 0C y y kx k    表示两条直线 2y  与 ( 1)y k x  ，问题转化为 ( 1)y k x  与半圆有两个不同于半圆端点的交点，利用特殊位置过端点、相切的情况求出对应的 k, 即可求解. 【详解】 由 2 1 : 2 2C y x x    得 2 2( 1) ( 2) 1 ( 2)x y y    … ， 曲线 C1 表示以 ( 1,2) 为圆心以 1 为半径的上半圆， 显然直线 2y  与曲线 C1 有两个交点，交点为半圆的两个端点， ∴直线 ( 1)y kx k k x    与半圆有 2 个除端点外的交点， 当直线 ( 1)y k x  经过点 (0,2) 时， 2 0 20 1k    ，当直线 ( 1)y k x  与半圆相切时， 2 | 2 2 | 1 1 k k    ，解得 4 7 3k   或 4 7 3k   （舍去） 所以 4 7 23 k     时，直线 ( 1)y k x  与半圆有 2 个除端点外的交点， 故答案为： 4 7( , 23    ） 【点睛】 本题主要考查了圆的几何性质，直线的斜率，点到直线的距离，圆的切线，属于中档题. 15．一条光线从点 2, 3 射出，经 x 轴反射，其反射光线所在直线与圆  2 23 1x y   相切，则反射光线所在的直线方程为____. 第 10 页 共 18 页 【答案】 2x  或 4 3 17 0x y   【解析】点  2, 3 关于 x 轴的对称点为 2,3 ,即反射光线过点 2,3 ,分别讨论反射光线 的斜率 k 存在与不存在的情况,进而求解即可 【详解】 点  2, 3 关于 x 轴的对称点为 2,3 , （1）设反射光线的斜率为 k ,则反射光线的方程为  3 2y k x   ,即 3 2 0kx y k    , 因为反射光线与圆 2 23 1x y   相切, 所以圆心到反射光线的距离 d r ,即  22 3 3 2 1 1 k k k      , 解得 4 3k   , 所以反射光线的方程为: 4 3 17 0x y   ； （2）当 k 不存在时,反射光线为 2x  ,此时,也与圆 2 23 1x y   相切, 故答案为: 2x  或 4 3 17 0x y   【点睛】 本题考查直线在光学中的应用,考查圆的切线方程 16．已知椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的短轴长为 2，上顶点为 A ，左顶点为 B ，左、 右焦点分别是 1F ， 2F ，且 1F AB 的面积为 2 3 2  ，点 P 为椭圆上的任意一点，则 1 2 1 1 PF PF  的取值范围是______. 【答案】 1,4 【解析】根据 1F AB 的面积和短轴长得出 a，b，c 的值，从而得出 1PF 的范围，得到 1 2 1 1 PF PF  关于 1PF 的函数，从而求出答案． 【详解】 第 11 页 共 18 页 由已知得 2 2b  ，故 1b  ，∵ 1F AB 的面积为 2 3 2  ， ∴  1 2 3 2 2a c b   ，∴ 2 3a c   ，又   2 2 2 1a c a c a c b      ， ∴ 2a  ， 3c  ， ∴ 1 2 1 2 1 2 1 1 PF PF PF PF PF PF     2 1 1 1 1 2 4 4 4 a PF PF PF PF     ， 又 12 3 2 3PF    ，∴ 2 1 11 4 4PF PF    ， ∴ 1 2 1 11 4PF PF    . 即 1 2 1 1 PF PF  的取值范围为 1,4 . 故答案为 1,4 【点睛】 本题考查了椭圆的简单性质，函数最值的计算，熟练掌握椭圆的基本性质是解题的关键， 属于中档题． 三、双空题 17．椭圆 2 2 14 9 x y  的半焦距是___________，离心率是___________. 【答案】 5 5 3 【解析】首先根据题意得到 3a  ， 2b  ， 5c  ，即可得到答案. 【详解】 由题知：椭圆 2 2 14 9 x y  ， 3a  ， 2b  ， 5c  . 所以半焦距是 5 ，离心率为 5 3 . 故答案为： 5 ， 5 3 【点睛】 第 12 页 共 18 页 本题主要考查椭圆的几何性质，属于简单题. 18．已知 ( 3,0)A ， (2,1)B ，直线l 过点 (0, 1)P  ，若直线l 与线段 AB 总有公共点， 则直线l 的斜率取值范围是___________，倾斜角 的取值范围是___________. 【答案】 3 ,13       ,6 4       【解析】根据图形分析可知， PA l PBk k k  ，根据坐标即可计算出，再由斜率范围即 可求出倾斜角的范围. 【详解】 如图，若直线 l 与线段 AB 总有公共点，则 PA l PBk k k  ，  ( 3,0)A ， (2,1)B ， (0, 1)P  ，  0 1 3 33 0PAk      ,  1 1 12 0PBk    , 3 13 lk   ，即 3 tan 13   ，  0,  ， 6 4     . 故答案为： 3 ,13       ； ,6 4       . 【点睛】 本题考查直线斜率范围和倾斜角范围的求解，属于基础题. 19．直线 y x b  被圆    2 21 1 4x y    截得的弦长的最大值是______；若该圆 上到此直线 y x b  的距离等于 1 的点有且仅有 4 个，则b 的取值范围是______. 【答案】 4  2, 2 【解析】确定圆的圆心和半径，由圆的性质可得直线过圆心时截得的弦长最大；转化条 第 13 页 共 18 页 件为圆心到直线的距离  0,1d  ，结合点到直线的距离公式即可得解. 【详解】 因为圆   2 21 1 4x y    的圆心为 1,1 ，半径为 2 ， 所以当直线 y x b  过圆心时，截得的弦长最大，最大值为 4 ； 若要使该圆上到此直线 y x b  的距离等于 1 的点有且仅有 4 个， 则圆心到直线的距离  1 1 0,1 1 1 2 b bd      ，所以  2, 2b  . 故答案为： 4 ； 2, 2 . 【点睛】 本题考查了由圆的标准方程确定圆的圆心和半径，考查了直线与圆位置关系的应用，属 于基础题. 四、解答题 20．已知直线 1 : 1 0l ax y a    与 2 2 (: 1) 3 0l x a y    . （1）当 0a  时，求直线 1l 与 2l 的交点坐标； （2）若 1 2l l ，求 a 的值. 【答案】（1） ( 2, 1)  ；（2） 1 . 【解析】（1）当 0a  时，直线 1 : 1 0l y   与 2 : 2 3 0l x y   联立即可．（2）两直线 平行表示斜率相同且截距不同，联立方程求解即可． 【详解】 （1）当 0a  时，直线 1 : 1 0l y   与 2 : 2 3 0l x y   ，联立 1 0 2 3 0 y x y       ，解得 2 1 x y      ，故直线 1l 与 2l 的交点坐标为 ( 2, 1)  . （2）因为 1 2l l ，所以 ( 1) 2 0 3 ( 1)( 1) 0 a a a a         ，即 2 ( 2)( 1) 0 4 0 a a a       解得 1a   . 【点睛】 此题考察直线斜率，两直线平行表示斜率相等且截距不同（如果斜率和截距都相同则是 同一条直线），属于基础简单题目． 第 14 页 共 18 页 21．已知圆 2 2:( 3) ( 4) 4C x y    . （1）若直线 l 过点 (2,3)A 且被圆C 截得的弦长为 2 3 ，求直线l 的方程； （2）若直线 l 过点 (1,0)B 与圆C 相交于 P ，Q 两点，求 CPQ 的面积的最大值，并求 此时直线l 的方程. 【答案】（1） 2x  或 3y  ；（2）最大值 2，直线l 的方程为 1 0x y   或 7 7 0x y   . 【解析】（1）圆的半径、圆心到弦的距离、弦长一半构成直角三角形，用点到直线的距 离求得圆心到弦的距离得到答案，注意斜率分情况； （2）圆心C 到直线l 的距离为 2 | 2 4 | 1 kd k   ，然后利用 CPQ 的面积 2 2( 2) 4S d    求得最值得到 d 及 k，求得答案. 【详解】 （1）圆C 的圆心坐标为 (3,4)C ，半径 2R  ，  直线l 被圆 E 截得的弦长为 2 3 ，由勾股定理得到圆心C 到直线l 的距离 1d  ①当直线l 的斜率不存在时， : 2l x  ，显然满足 1d  ； ②当直线l 的斜率存在时，设 : 3 ( 2)l y k x   ，即 3 2 0kx y k    ， 由圆心C 到直线l 的距离 1d  得： 2 | 1| 1 1 k k    ，解得 0k  ，故 : 3l y  ； 综上所述，直线 l 的方程为 2x  或 3y  （2） 直线与圆相交， l 的斜率一定存在且不为 0，设直线l 方程： ( 1)y k x  ， 即 kx y k 0   ，则圆心C 到直线l 的距离为 2 | 2 4 | 1 kd k   ， 又 CPQ 的面积 2 2 2 2 2 21 2 4 4 (4 ) ( 2) 42S d d d d d d d            当 2d  时， S 取最大值 2，由 2 | 2 4 | 2 1 kd k    ，得 1k  或 7k  ， 直线l 的方程为 1 0x y   或 7 7 0x y   . 【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系，三角形的面积的最值及直线的方程. 22．已知椭圆C ： 2 2 2 2 1x y a b   ( 0)a b  的离心率 1 2e  ， 1 2F F， 是椭圆C 的左右焦 点，过 2F 且垂直于长轴的弦长为3 . 第 15 页 共 18 页 （1）求椭圆C 的方程； （2）过点  1 0 ， 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点 ，A B ，若以 AB 为直径的椭圆经过 右焦点 2F ，求直线l 的方程. 【答案】（1） 2 2 14 3 x y  ；（2） 3 7 +3 0x y  或3 + 7 +3 0x y  . 【解析】（1）首先根据题意得到 2 2 2 2 1 2 2 3 c a b a a b c          ，再解方程组即可. （2）设 : 1l x my  ， 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，联立椭圆与直线方程得到 2 2(3 4) 6 9 0m y my    ，从而得到 1 2 2 6 3 4 my y m    ， 1 2 2 9 3 4y y m    ，根据 以 AB 为直径的椭圆经过右焦点 2F 得到 2 2 0F A F B   ，再根据根系关系即可得到答案. 【详解】 （1）设椭圆的焦距为 2c ( 0)c  . 由已知， 2 2 2 2 1 2 2 3 c a b a a b c          ，解得： 2 2 4 3 a b     ， 所以椭圆的标准方程为： 2 2 14 3 x y  . （2）设 : 1l x my  ， 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ； 联立 2 2 1 3 4 12 x my x y      可得 2 2(3 4) 6 9 0m y my    ； 则 1 2 2 6 3 4 my y m    ， 1 2 2 9 3 4y y m    ； 第 16 页 共 18 页 因为以 AB 为直径的圆经过右焦点 2F ， 所以 2 2 1 2 1 2( 1)( 1)F A F B x x y y       1 2 1 2( 2)( 2)+my my y y   2 1 2 1 2( 1) 2 ( ) 4 0m y y m y y      . 即 2 2 2( 1)( 2 4 09 6)3 4 3 4m mm m m     解得 7 3m   所以直线 l 方程为： 3 7 +3 0x y  或 3 + 7 +3 0x y  . 【点睛】 本题第一问考查椭圆的标准方程，第二问考查直线与椭圆的位置关系，同时考查学生的 计算能力，属于中档题. 23．已知椭圆C ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     ， 1( 1,0)F  ， 2 (1,0)F 分别为椭圆C 的左､ 右焦点， M 为C 上任意一点， 1 2MF FS 的最大值为1. （1）求椭圆C 的方程； （2）不过点 2F 的直线 : ( 0)l y kx m m= + ¹ 交椭圆C 于 A ， B 两点. （i）若 2 1 2k  ，且 2 2AOBSD = ，求 m 的值； （ii）若 x 轴上任意一点到直线 2AF 与 2BF 的距离相等，求证：直线l 过定点，并求出 该定点的坐标. 【答案】（1） 2 2 12 x y  ；（2）（i） 1m   ；（ii）证明见解析，定点坐标为 (2,0) . 【解析】（1）易得 1c  ，再根据点 M 为椭圆的短轴端点时， 1 2MF F 面积最大得到 b=1 即可. 第 17 页 共 18 页 （2）联立 2 2 12 y kx m x y     （i）利用弦长公式得到 AB 以及点O 到直线 AB 的距离，然后 由 2 2AOBSD = 求解；（ii）由 x 轴上任意一点到直线 2AF 与 2BF 的距离相等，得到 1 2 0k k  ，然后利用韦达定理得到 m，k 得到直线 l 的方程即可. 【详解】 （1）因为 1( 1,0)F  ， 2 (1,0)F 分别为椭圆C 的左､右焦点， 所以 1c  ， 当点 M 为椭圆的短轴端点时， 1 2MF F 面积最大，此时 1 2 12S c b= = ，则 b=1， ∴ 2a  ， 故椭圆的方程为 2 2 12 x y  ； （2）由题意，联立 2 2 12 y kx m x y     得， 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x kmx m     2 2 2 2 2 2=16 4(1 2 )(2 2) 8(2 1) 0k m k m k mD - + - = - + > ，得 2 21 2k m  () 设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，则 1 2 2 4 1 2 kmx x k     ， 2 1 2 2 2 2 1 2 mx x k   ， （i）∵ 0m  且 2 1= 2k ，代入()得， 20 2m  ， 2 2 2 1 2 1 21 ( ) 4 3(2 )AB k x x x x m= + + - = - ， 设点O 到直线 AB 的距离为 d ，则 2 2 31 m md k    ， ∴ 2 21 1 23(2 )2 2 23AOB mS AB d mD = = - × = ， ∴ 2 1 (0,2)m = Î ，则 1m   ； （ii） 1 1 1 1 11 1 y kx mk x x += =- - ， 2 2 2 2 21 1 y kx mk x x += =- - 由题意得， 1 2 0k k  ， ∴ 1 2 1 2 01 1 kx m kx m x x     ，即 1 2 1 22 ( )( ) 2 0kx x m k x x m     ， 第 18 页 共 18 页 ∴ 2 2 2 2 2 42 ( )( ) 2 01 2 1 2 m kmk m k mk k -× + - - - =+ + ，解得 2m k  ， ∴直线 l 的方程为 ( 2)y k x  ， 故直线 l 恒过定点，该定点坐标为 (2,0) 【点睛】 本题主要考查椭圆方程的求法以及直线与椭圆的位置关系和直线过定点问题，还考查了 运算求解的能力，属于难题.