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2020-2021 学年四川省成都市双流区棠湖中学高二上学期开
学数学（理）试题
一、单选题
1． cos 42 cos18 cos72 sin 42 （ ）
A． 3
2
B． 1
2 C． 1
2
D． 3
2
【答案】B
【解析】利用诱导公式和逆用余弦和角公式计算即可.
【详解】
解： 1cos42 cos18 cos72 sin 42 cos42 cos18 sin18 sin 42 cos60 2
.
故选： B .
【点睛】
本题考查三角函数的诱导公式及余弦和角公式的逆用，属于基础题.
2．若 a b ，则下列不等式成立的是（ ）
A． 1 1
a b
B． 2 2a b C． lg lga b D．3 3a b
【答案】D
【解析】根据不等式的性质结合函数的单调性即可判断.
【详解】
对于 A，若 0, 0a b ，则 1 1
a b
，故 A 错误；
对于 B，若 2, 1a b ，则 2 2a b ，故 B 错误；
对于 C，若 0a ，则 lg a 没有意义，故 C 错误；
对于 D，因为 3xy 在 R 上单调递增，若 a b ，则 3 3a b ，故 D 正确.
故选：D.
【点睛】
本题考查不等式的性质，属于基础题.
3．已知直线 2
1 2 0l x a y a ： 与直线 2 1 1 0l a x ay ： 互相平行，则实数 a 的值
为（ ）
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A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【解析】由题意利用两条直线平行的性质，分类讨论，求得结果．
【详解】
解：当 0a 时，直线 1l ：即 0x ，直线 2l ：即 1x ，满足 1 2l l// ．
当 0a 时， 直线 2
1 : 2 0l x a y a 与直线 2 : ( 1) 1 0l a x ay 互相平行，
22
1 1
a a
a a
，解得实数 a ．
综上， 0a ，
故选： B ．
【点睛】
本题主要考查两条直线平行的性质，考查分类讨论思想，属于基础题．
4．在△ABC 中，点 D 在边 BC 上，若 2BD DC ，则 AD
A． 1
4 AB + 3
4 AC B． 3
4 AB + 1
4 AC C． 1
3 AB + 2
3 AC D．2
3 AB + 1
3 AC
【答案】C
【解析】根据向量减法和 2BD D C 用 ,AB AC
表示 BD
，再根据向量加法用 ,AB BD
表示 AD
.
【详解】
如图：
因为 2 2, ( )3 3BC AC AB BD BC AC AB ，
所以 2 1 2( )3 3 3AD AB BD AB AC AB AB AC ，
故选 C.
【点睛】
本题考查向量几何运算的加减法，结合图形求解.
5．已知一个正三棱锥的高为 3，如下图是其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直
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观图，其中 1O B O C ，则此正三棱锥的体积为（ ）
A． 3 B．3 3 C． 3
4
D． 3 3
4
【答案】A
【解析】根据 ' 'B C 的长，求得正三棱锥的底面边长，由此求得底面积，进而求得正三
棱锥的体积.
【详解】
由于 1O B O C ，所以 ' ' 2B C ，根据斜二测画法的知识可知，正三棱锥的底面
等边三角形的边长为 2 ，其面积为 23 2 34
，所以正三棱锥的体积为
1 3 3 33
.
故选：A
【点睛】
本小题主要考查根据斜二测画法的直观图，求原图的边长，考查正棱锥的体积的求法，
属于基础题.
6．设 、 、 是三个不同平面，l 是一条直线，下列各组条件中可以推出 // 的
有（ ）
①l ，l ② / /l ，l // ③ / / ， / / ④ ，
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】A
【解析】根据线面垂直的性质，面面平行的判断定理及性质，以及空间中平面间的位置
关系，即可得出结论.
【详解】
①垂直于同一条直线的两个平面平行；因为 l ，l ，所以 // ；故①正确；
②因为 / /l ，l // ，所以 与 可能平行或相交；故②错；
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③平行于同一个平面的两个平面平行；因为 / / ， / / ，所以 // ；故③正确；
④因为 ， ，则 与 可能平行或相交；故④错；
故选：A.
【点睛】
本题主要考查判断面面平行，熟记面面平行的判定定理及性质，以及线面垂直的性质即
可，属于常考题型.
7．在 ABC 中，若
cos cos cos
a b c
A B C
，则 ABC 是（ ）
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】利用正弦定理将边化角，结合角度范围，即可判断三角形形状.
【详解】
由正弦定理 sin sin sin
cos cos cos cos cos cos
a b c A B C
A B C A B C
，
即 tan tan tanA B C ，
因为 0 A ， 0 B ， 0 C ，
所以 A B C ，
所以 ABC 是等边三角形.
故选：B
【点睛】
本题考查利用正弦定理将边化角，从而判断三角形的形状，属基础题.
8．已知直线 2 1 0kx y k 恒过定点 A，点 A 也在直线 1 0mx ny 上，其
中 m n、 均为正数，则 1 2
m n
的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】试题分析： 2 1 0kx y k 变形为 2 1k x y ，所以过定点 2, 1 ，
代入直线得 2 1m n
1 2 1 2 42 4 4 2 4 8n mm nm n m n m n
，当且仅当 4n m
m n
时等号
成立，取得最小值 8
【考点】1．直线方程；2．均值不等式求最值
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9．已知一个几何体的三视图如图所示，俯视图为等腰三角形，则该几何体的外接球表
面积为（ ）
A．8 B． 41
4
C． 28
3
D．136
9
【答案】B
【解析】先根据三视图还原几何体,再求出几何体底面 ABC 的外接圆圆心及半径,然后利
用“三棱锥的外接球球心在过底面中心的垂线上”这一性质,确定外接球球心,最后利用勾
股定理求出外接球半径即可得解.
【详解】
根据三视图还原几何体如下:
设 D 为 AB 的中点,则有 2, 2, 2,AB CD PA AC BC ,且 PA 平面 ABC ,
设 M 为 ABC 的外心, r 为 ABC 的外接圆半径,
则 AM CM r ,
故在 AMD 中,有 2 2 2AD MD AM ,
即 2 2 51 (2 ) 4r r r ,
如图所示,过 M 作 //MN PA ,且 MN PA ,此时 MN 平面 ABC ,
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设 MN 的中点为 O ,则OP OA ,
故点O 即为三棱锥 P ABC 的外接球球心,
又 2 2 2 41
16AO AM OM ,
所以三棱锥 P ABC 的外接球半径 41
4R ,
所以三棱锥 P ABC 的外接球表面积 2 414 4S R ,
故选:B.
【点睛】
本题主要考查了三棱锥外接球半径的求法,考查了三视图还原几何体,有一定难度.本题
中既可利用“三棱锥的外接球球心在过底面中心的垂线上”这一性质去确定外接球球心,
也可将三棱锥还原成对应的三棱柱去确定球心,要求学生具备一定的空间思维与想象能
力.
10．设函数 2
2 1, 1( ) 2 2, 1
x xf x x x x
，若 0( ) 1f x ，则 0x 的取值范围是（ ）
A． ( , 1) (1, ) B． ( , 1) [1, )
C． ( , 3) (1, ) D． ( , 3) [1, )
【答案】B
【解析】分 0 1x 和 0 1x 两种情况求解不等式即可得解.
【详解】
当 0 1x 时， 0 0 0( ) 2 1 1, 0f x x x ，则 0 1x
当 0 1x 时， 2
0 0 0( ) 2 2 1f x x x ， 2
0 02 3 0x x ，有 0 1x 或 0 3x ，则
0 1x ，
综上可知： 0x 的取值范围是 0 1x 或 0 1x .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了利用分段函数求解不等式，分类讨论是解题的关键，属于基础题.
11．在 ABC 中，如果 4sin 2cos 1, 2sin 4cos 3 3A B B A ，则 C 的大
小为（ ）
A． 30° B．150 C． 30°或150 D． 60或120
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【答案】A
【解析】对 4sin 2cos 1, 2sin 4cos 3 3A B B A 两式分别平方，再相加得
出 30C 或150 ，再由三角函数的性质验证 150C ，即可得出答案.
【详解】
4sin 2cos 1, 2sin 4cos 3 3A B B A
2 216sin 16sin cos 4cos 1A A B B ①
2 24sin 16sin cos 16cos 27B B A A ②
① ②得 20 16sin( ) 28A B
即 1sin( ) sin( ) sin 2A B C C
0 ,180C
30C 或150
当 150C 时，则 0 30 ,0 30A B
12sin 2 12B ， 4cos 4A
2sin 4cos 5B A
5 3 3
150C 不满足题意
故选：A
【点睛】
本题主要考查了两角和的正弦公式，平方关系，三角函数的性质，属于中档题.
12．在矩形 ABCD 中，AB=2BC=2，点 P 在 CD 边上运动(如图甲)，现以 AP 为折痕将
DAP 折起，使得点 D 在平面 ABCP 内的射影O 恰好落在 AB 边上(如图乙)．设
(0 1)CP x x 二面角 D-AP-B 的余弦值为 y ，则函数 y f x 的图象大致是
（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】分别取 0x 和 1
2x ，计算出二面角 D-AP-B 的余弦值为 1
4
和 4
9
，对比图象
得到结果.
【详解】
当 0x 时，
作OM AC 于 M ，连结 DM ，
因为 DO 平面 ABC ，
所以 DMO 是二面角 D-AP-B 的平面角，
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可以求得 1 2 2 5
55
DM ， 5
10MO ，所以 1cos 4DMO ，
所以排除 A、B；
当 1
2x 时，
作OM AP 于 M ，连结 DM ，
因为 DO 平面 ABC ，
所以 DMO 是二面角 D-AP-B 的平面角，
可以求得
31 3 132
1313
2
DM
， 4 13
39MO ，
4 1cos 9 2DMO ，排除 C,
故选：D.
【点睛】
该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有翻折问题，二面角的余弦值，图
象的识别，属于中档题目.
二、填空题
13．函数 2 4 5y x x 的定义域是____________.
【答案】 , 1 5,
【解析】解一元二次不等式，即可得出其定义域.
【详解】
依题意 2 4 5 0x x
即 5 1 0x x ，解得 1x 或 5x≥ .
所以函数 2 4 5y x x 的定义域为 , 1 5, .
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故答案为： , 1 5,
【点睛】
本题主要考查了求具体函数的定义域，涉及了一元二次不等式的应用，属于基础题.
14．求值： sin50 sin30 sin10
cos50 cos30 sin10
=_______
【答案】 3
【解析】根据50 60 10 ，代入原式利用正余弦的和差角公式求解即可.
【详解】
sin 60 10 sin30 sin10sin50 sin30 sin10
cos50 cos30 sin10 cos 60 10 cos30 sin10
sin60 cos10 cos60 sin10 sin30 sin10
cos60 cos10 sin60 sin10 cos30 sin10
sin60 cos10 tan60 3cos60 cos10
故答案为： 3
【点睛】
本题主要考查了非特殊角的三角函数化简与求值，需要根据所给的角度与特殊角的关
系，并利用三角恒等变换进行求解.属于中档题.
15．已知 1cos( )4 3
，则 sin 2 __________．
【答案】 7
9
【解析】根据二倍角公式求得 cos 2 2
，利用诱导公式求得结果.
【详解】
1cos 4 3
2 2 7cos 2 2cos 1 14 9 92
又 cos 2 sin2 2
7sin 2 9
本题正确结果： 7
9
【点睛】
本题考查诱导公式和二倍角公式的应用，属于基础题.
16． ABC 中， 2
AB BA BC ， 0OA OC AB ，且 1OA AB
，则
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CA CB ______.
【答案】3
【解析】由 2
AB BA BC 得出 AB AC ，由 0OA OC AB 得O 是 BC 中点，
在直角三角形中求出角C ，再根据数量积的定义计算．
【详解】
由 2
AB BA BC 得
2 2
( ) 0AB BA BC AB AB BC AB AB BC AB AC ，所以 AB AC ，
又 0OA OC AB OB OC ，所以O 是 BC 中点，如图 Rt ABC 中， 1AB ，
1OA OB OC ，所以 30C ， 2 22 1 3AC ，
所以 2 3 cos30 3CA CB ．
故答案为：3．
【点睛】
本题考查向量的数量积，解题关键由已知数量积为 0 得出直角三角形，由向量的线性运
算得出O 是 BC 中点．
三、解答题
17．化简或求值：
（1）
03 1
31 1 272 6 2
；
（2） 28 1lg500 lg lg64 lg2 lg55 2
【答案】（1）6；（2）3.
【解析】（1）由实数指数幂的运算性质，即可求解；
（2）由对数的运算性质，即可求解.
【详解】
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（1）由实数指数幂的运算性质，可得原式= 1
3 3 32 1 3 8 1 3 6 ；
（2）由对数的运算性质，可得原式=
1
2lg5 lg100 lg8 lg5 lg64 1
= lg100 lg8 lg8 1 = 2lg10 1 2 1 3 .
【点睛】
本题主要考查了指数幂的运算性质，以及对数的运算性质的化简、求值问题，其中解答
中熟记指数幂与对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查计算能力.
18．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，角 的终边与单位圆交于点 P .
（1）若点 P 的横坐标为 3
5- ，求 cos 2 sin cos 的值.
（2）若将OP 绕点 O 逆时针旋转
4
，得到角 (即
4
)，若 1tan 2
，求 tan
的值.
【答案】（1） 1
5
（2） 1
3
【解析】（1）由三角函数的定义知， 3cos 5
， 4sin 5
，又 2cos2 2cos 1 ，
代入即可得到答案；
（2）利用公式 tan tantan 1 tan tan
计算即可.
【详解】
（1） P 在单位圆上，且点 P 的横坐标为 3
5- ，则 3cos 5
， 4sin 5
，
2cos2 sin cos 2cos 1 sin cos 9 3 4 12 125 5 5 5
.
（2）由题知
4
，则
4
则
1tan tan 1 14 2tan tan 14 31 tan tan 14 2
.
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【点睛】
本题考查二倍角公式以及两角差的正切公式的应用，涉及到三角函数的定义，是一道容
易题.
19．设数列 na 的前 n 项和为 nS ，已知 2 3 3 n
nS .
（1）求 na 的通项公式；
（2）若数列 nb 满足 3logn n na b a ，求证 nb 的前 n 项和 13
12nT .
【答案】（1） 1
3, 1
3 , 1n n
na n
；（2）证明见解析.
【解析】（1）利用 1( 2)n n na S S n ，求出 na ，同时由 1 1a S 计算出 1a ；
（2）由（1）求出 nb ， 1 1T b ， 2n 时， 1 2( )n nT b b b ，从 2b 到 nb 的和用
错位相减法计算，求出 nT 后易知不等式成立．
【详解】
（1）因为 2 3 3 n
nS ，
所以 12 3 3a ，故 1 3a ，
当 1n 时， 1
12 3 3
n
nS ，
此时 1 1
12 2 2 3 3 2 3n n n
n n na S S
，
即 13 n
na ， 1n 不合，
所以 1
3, 1
3 , 1n n
na n
.
（2）因为 3logn n na b a ，所以 1
1
3b .
当 1n 时， 1 1 1
33 log 3 ( 1) 3n n n
nb n .
所以 1 1
1
3T b ；
当 1n 时， 1 2 3n nT b b b b 1 2 11 1 3 2 3 ( 1) 33
nn ，
所以 0 1 23 1 1 3 2 3 ( 1) 3 n
nT n ，
两式相减，得
0 1 2 2 122 3 3 3 3 ( 1) 33
n n
nT n
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1
1
1
2 1 3 ( 1) 33 1 3
n
nn
13 6 3
6 2 3n
n
，
所以 13 6 3
12 4 3n n
nT .
经检验， 1n 时也适合.
综上可得 13 6 3
12 4 3n n
nT .
∴ 13
12nT .
【点睛】
本题考查由前 n 项和 nS 求通项 na ，考查分组求和与错位相减法求和．在由 nS 求通项 na
时一定要注意 1n n na S S 中有 2n ，而 1 1a S ，因此要分类讨论．数列求和除要掌
握等差数列与等比数列前 n 项和公式外，还必须掌握一些特殊方法：错位相减法，裂项
相消法，分组（并项）求和法，倒序相加法等．
20．某公司有员工 1000 名，平均每人每年创造利润 10 万元．为了增加企业竞争力，决
定优化产业结构，调整出 x x N 名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年
创造利润为10 250
xa
万元（ 0a ），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提
高 0.2 %x ．
（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来 1000 名员工创造的年总利润，则调
整员工从事第三产业的人数应在什么范围？
（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年
总利润，求 a 的取值范围．
【答案】（1） 0 500x x N ；（2） 0,4 .
【解析】（1）利用剩余员工创造的年总利润大于等于原来的年总利润可构造不等式求得
结果；
（2）根据题意得到 110 10 1000 1250 500
xa x x x
，分离变量可知
1000 1500
xa x
，根据对号函数单调性可求得 1000 1500
xy x
的最小值，由此
得到结果.
【详解】
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（1）由题意得： 10 1000 1 0.2 % 10 1000x x ，
即 2 500 0x x ，又 0x ， 0 500x x N ；
（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为10 250
xa x
万元，从事原来产业的员
工的年总利润为 110 1000 1 500x x
万元，则
110 10 1000 1250 500
xa x x x
，
2
211000 2250 500
xax x x x ，即 1000 1500
xa x
恒成立，
函数 1000 1500
xy x
在 0,500 上是减函数，
函数 1000 1500
xy x
的最小值为 4 ， 0 4a .
即 a 的取值范围为 0,4 .
【点睛】
本题考查构造函数模型解决实际问题，涉及到函数最值的求解问题；本题中求解参数范
围的关键是能够通过分离变量的方式将问题转化为变量与函数最值之间的关系，利用对
号函数性质求得函数最值，进而得到参数范围.
21．如图，已知四棱锥 P ABCD ，侧面 PAD 是正三角形，底面 ABCD 为边长 2 的
菱形， 60BAD ， 3PB .
（1）设平面 PAD 平面 PBC l ，求证： / /l BC ；
（2）求多面体 PABD 的体积；
（3）求二面角 A PB D 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2） 3
2
；（3） 1
7
.
【解析】（1）由 / /AD BC ，证得 / /BC 平面 PAD ，再由线面平行的性质，即可得到
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/ /l BC ；
（2）取 AD 中点O ，连结 , ,OP OB BD ，推得 OP AD ，OB AD ，得到 AD 平
面 POB ，
再由多面体 PABD 的体积 PABD D OPB A OPBV V V ，结合体积公式，即可求解；
（3）由 APB DBP△ ≌△ ，设 PB 的中点为 E ，连结 ,AE DE ，推得
,AE PB DE PB ，从而得到 AED 就是二面角 A PB D 的平面角，由此可求
得二面角 A PB D 的余弦值.
【详解】
证明：（1）因为 BC 平面 ,PAD AD 平面 , / /PAD AD BC ，
所以 / /BC 平面 PAD ，
又 BC 平面 PBC ，平面 PAD 平面 PBC l ，所以 / /l BC ；
（2）取 AD 中点O ，连结 , ,OP OB BD ，由 PA PD 得OP AD ，
同理 OB AD ，又因为OP OB O ，所以 AD 平面 POB ，
在 OPB△ 中， 3, 3OP OB PB ，所以 1 3 3 332 2 4OPBS △ ，
所以多面体 PABD 的体积 PABD D OPB A OPBV V V
1 1
3 3OPB OPBS OD S OA △ △
1 1( )3 3OPB OPBS OD OA S AD △ △
1 3 3 323 4 2
；
（3）由题意知，底面 ABCD 为边长 2 的菱形， 60BAD ，
所以 BD AB ，又 ,PA PD PB PB ，所以 APB DBP△ ≌△ ，
设 PB 的中点为 E ，连结 ,AE DE ，
由侧面 PAD 是正三角形知， ,PA AD PD BD ，所以 ,AE PB DE PB ，
因此 AED 就是二面角 A PB D 的平面角，
在 AED 中， 7
2AE DE ， 2AD ，
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由余弦定理得
2 2
27 7 22 2 1cos 77 72 2 2
AED
，
二面角 A PB D 的余弦值为 1
7
.
【点睛】
本题主要考查了线面位置关系的判定，多面体的体积的计算，以及二面角的求解，其中
解答中熟记线面位置关系的判定与性质，以及而面积的平面角的定义，准确计算是解答
的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.
22．已知 1x
xf x e k e
， ln 3 1 ln3 2xg x a e a x ．
（1）若函数 f x 在 0, 为增函数，求实数 k 的值；
（2）若函数 f x 为偶函数，对于任意 1 0x , ，任意 2x R ，使得
1 2 2g x f x 成立，求 a 的取值范围.
【答案】（1） ,1 ；（2） 1,3 .
【解析】（1）任取 1 2 0x x ，由 1 2 0f x f x ，得出 1 2x xk e ，求出 1 2x xe 的
取值范围，即可得出实数 k 的取值范围；
（2）由偶函数的定义可求得 1k ，由题意可得出 max min2 0g x f x ，由此
可得出 1 1 0xae 对于任意 1 0,x 成立，利用参变量分离法得出
1
1
xa e
，即可求
出实数 a 的取值范围.
【详解】
（1）任取 1 2 0x x ，则
2 1
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 21 2 1
x x
x x x x x x
x x x x x x
k e ek k kf x f x e e e e e ee e e e
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函数 y f x 在 0, 上为增函数， 1 2 0x x ，则 1 2 0x xe e ，
且 1 21 2 0 1 0x x
kf x f x e ， 1 2x xk e ，
1 2 0x x ， 1 2 0x x ，则 1 2 1x xe ， 1k ，
因此，实数 k 的取值范围是 ,1 ；
（2） 函数 1x
xf x e k e
为偶函数，则 f x f x ，
即 1x x x
x x x
k ke e kee e e
，即 11 0x
xk e e
对任意的 xR 恒成立，
所以 1 0k ，解得 1k ，则 1x
xf x e e
，
由（1）知，函数 1x
xf x e e
在 0, 上为增函数，
当 0,x 时， min2 2 2 0f x ，
对于任意 1 0,x ，任意 2x R ，使得 1 2 2g x f x 成立，
1 2 min2 0g x f x 对于任意 1 0,x 成立，
即 1
1ln 3 1 ln3 2 0xa e a x （）对于任意 1 0,x 成立，
由 13 1 0xa e 对于任意 1 0,x 成立，则 1
1 3
0
xa e
a
，
1 0x ，则
1
13 3 4xe
， 0 3a .
（）式可化为 1 12
1ln 3 1 ln3 2 ln 3x xa e a x ae ，
即对于任意 1 0,x ， 1 123 1 3x xa e ae 成立，即 1 123 3 1 0x xae a e 成
立，
即对于任意 1 0,x ， 1 13 1 1 0x xe ae 成立，
因为 13 1 0xe ，所以 1 1 0xae 对于任意 1 0,x 成立,
即
1
max
1
xa e
任意 1 0,x 成立，所以 1a ，
由 0 3a 得1 3a ，所以 a 的取值范围为 1,3 .
【点睛】
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本题考查利用函数的单调性求参数的取值范围，同时考查了与指数、对数最值相关的综
合问题，涉及参变量分离思想的应用，考查化归与转化思想的应用，属于难题.
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