2020-2021学年新疆石河子第二中学高二上学期第一次月考数学试题（解析版）

第 1 页 共 16 页 2020-2021 学年新疆石河子第二中学高二上学期第一次月考 数学试题 一、单选题 1．已知集合  1,1A   ，  2 2 0,B x x x x Z    ∣ ，则 A B  （ ） A． 1 B． 1,1 C． 1,0,1 D．{ }1,0,1,2- 【答案】C 【解析】先求出集合 A 、 B ，由此能求出 A B . 【详解】 解：∵集合  1,1A   ，      2 2 0, 2 1, 1,0B x x x x Z x x x Z           ∣ ∣ ， ∴  1,0,1A B  U . 故选：C. 【点睛】 此题考查集合的并集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题 2．过点 1 1， 且与直线3 2 0x y  垂直的直线方程为（ ） A．3 2 5 0x y   B．3 2 5 0x y   C． 2 3 1 0x y+ - = D．2 3 1 0x y   【答案】D 【解析】利用斜率都存在的两条直线垂直，斜率之积等于 1 ，设出所求直线的方程为 2 3 0x y m   ，把点 1, 1 代入方程得到 m 值，即得所求的直线方程. 【详解】  所求直线与直线3 2 0x y  垂直， 设所求直线的方程为 2 3 0x y m   ，把点 1 1， 代入得 2 3 0m   ， 1m  ，故所求的直线方程为 2 3 1 0x y   ， 故选：D. 【点睛】 本题考查两直线垂直的性质，两直线垂直，若斜率都存在，则斜率之积等于-1，属于基 础题. 第 2 页 共 16 页 3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A． 1y x  B． 2y x  C． 1y x  D． y x x 【答案】D 【解析】A 是增函数，不是奇函数；B 和 C 都不是定义域内的增函数，排除，只有 D 正确，因此选 D. 点评：该题主要考察函数的奇偶性和单调性，理解和掌握基本函数的性质是关键. 4．等比数列 na 中， 2 59, 243,a a  则 na 的前 4 项和为（ ） A．81 B．120 C．168 D．192 【答案】B 【解析】根据 35 2 a qa  求出公比，利用等比数列的前 n 项和公式即可求出. 【详解】  35 2 27a qa   , 3q  ，又 2 9,a  所以 2 1 1 39,3a a a  ，  4 4 1 4 (1 ) 3(1 3 ) 1201 1 3 a qS q      . 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前 n 项和，属于基础题. 5． 是第四象限角， 4tan 3    ，则sin  （ ） A． 4 5 B． 4 5  C． 3 5 D． 3 5- 【答案】B 【解析】由 2 1cos 1 tan     ，先求出 cos ，由此能求出 sin . 【详解】 Q 是第四象限角， 4tan 3    ， 2 1 1 3cos 5161 tan 1 9         ， 2 9 4sin 1 cos 1 25 5           . 第 3 页 共 16 页 故选：B. 【点睛】 本题考查已知正切值求正弦值，注意同角三角函数的关系的运用，属于基础题. 6．某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的体积是（ ） A．8 3cm B．12 3cm C． 32 3 3cm D． 40 3 3cm 【答案】C 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是四棱柱与同底的四棱锥的组合体,所以其 体积为 ,故应选 C. 【考点】三视图及体积的计算． 7．设 m、n 是两条不同的直线， 、  、 是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若 / /  ， / /  ，则 / /  ；②若  ， / /m  ，则 m  ； ③若 m  ， / /m  ，则  ；④若 //m n ， n  ，则 / /m  . 其中正确命题的序号是（ ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【解析】利用面面平行、面面垂直以及线面关系定理分别对四个命题分析解答. 【详解】 对于①，若 / /  ， / /  根据面面平行的性质容易得到 / /  ，故①正确； 对于②，若  ， / /m  ，m 与  的关系不确定，故②错误； 第 4 页 共 16 页 对于③，若 m  ， / /m  ，可以在  找到一条直线 l 与 m 平行，所以l  ，故  ， 故③正确； 对于④，若 //m n ，n  ，那么 m 与 的位置关系为 / /m  或者 m  ，故④错误； 故选：A. 【点睛】 本题考查了面面平行、面面垂直以及线面关系定理的运用，关键是熟练掌握应该的定理， 正确运用. 8．已知向量  2,4a  r ，  , 1b m  ，若 a  与 2a b  共线，则实数 m 的值为（ ） A． 1 4  B． 1 C． 1 2  D． 2 【答案】C 【解析】根据平面向量的坐标运行与共线定理，列方程求出 m 的值. 【详解】 由  2,4a  r ，  , 1b m  ，则  2 4 ,7a b m   r r ， 又因 a  与 2a b  共线，则  2 7 4 4 0m     ， 解得 1 2m   . 故选：C. 【点睛】 本题考查了平面向量的坐标运算与应用问题，属于基础题． 9．在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 1a  ， 3b  ， 30A  ， 则角 B 等于（ ） A． 60或120 B． 30°或150 C． 60 D．120 【答案】A 【解析】利用正弦定理列出关系式，把 a，b，sinA 的值代入求出 sinB 的值，即可确定 出 B 的度数. 【详解】 ABC 中， 1a  ， 3b  ， 30A  ， 由正弦定理 sin sin a b A B  得： 13sin 32sin 1 2 b AB a     ， a b ， A B  ， 第 5 页 共 16 页 则 60B   或120 . 故选：A. 【点睛】 此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键. 10．将函数 ( ) sin(2 )f x x   的图象向左平移 8  个单位长度，所得图象关于 y 轴对称， 则 的一个可能取值为（ ）． A． 3 4  B． 4  C．0 D． 4  【答案】B 【解析】根据三角函数平移法则和对称公式得到 4k    ，k Z ，对比选项得到答 案. 【详解】 将函数 ( ) sin(2 )f x x   的图象向左平移 8  个单位长度， 可得函数 sin 2 sin 28 4y x x                    的图象，图象关于 y 轴对称， 可得 4 2k     ， k Z ，即 4k    ， k Z ，则 的一个可能取值为 4  . 故选：B． 【点睛】 本题考查了三角函数平移，根据三角函数对称求参数，意在考查学生对于三角函数知识 的综合应用. 11．正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1BB 与平面 1ACD 所成角的正弦值为（ ） A． 2 3 B． 3 3 C． 2 3 D． 6 3 【答案】B 第 6 页 共 16 页 【解析】将 1BB 与平面 1ACD 所成的角转化成 1DD 与该平面所成的角，利用等体积法求 出点 D 到平面 1ACD 的距离，再根据线面角的正弦值求法即可求出. 【详解】  在正方体中， 1 1/ /BB DD ， 1BB 与平面 1ACD 所成角即为 1DD 与平面 1ACD 所成角， 设点 D 到平面 1ACD 的距离为 h，正方体的棱长为 a， 则 1 31 1 1 3 2 6D ADC a aV a a       ， 2 231 3 3 4 6( 2 )lD AD CV a h a h    ， 所以 3 21 3 3 6 6 3a a h h a   ， 设 1BB 与平面 1ACD 所成角为 ， 则 1 3sin 3 h DD    . 故选：B. 【点睛】 本题考查了直线与平面所成的角，考查了转化思想，属于中档题. 12．已知函数 1 3, ( 1,0]( ) { , ( ) ( ) 1,1]1 , (0,1] xf x g x f x mx mx x x         且 在（ 内有 且仅有两个不同的零点，则实数 的取值范围是 A． 9 1( , 2] (0, ]4 2    B． 11 1( , 2] (0, ]4 2    C． 9 2( , 2] (0, ]4 3    D． 11 2( , 2] (0, ]4 3    【答案】A 【解析】【详解】 【分析】试题分析：令 ，分别作出 与 的图像如下， 第 7 页 共 16 页 由图像知 是过定点 的一条直线，当直线绕着定点转动时，与 图像产生不同的交点.当直线 在 轴和直线 及切线和直线 之间时，与 图像产生两个交点，此时 或 故答案选 A . 【考点】1.函数零点的应用；2.数形结合思想的应用. 二、填空题 13．以点 (2, 4), (2,2)A B 为直径的圆的标准方程为______． 【答案】   2 22 1 9x y    【解析】【详解】 圆心为C ，则C 为    2, 4 , 2,2A B 的中点， 圆心为C 的坐标为 2, 1 ，    2 22 2 1 4 3AC       ， 即圆的半径 3r  ，则以线段 AB 为直径的圆的方程为   2 22 1 9x y    . 故答案为：   2 22 1 9x y    . 14．已知 x ， y 满足约束条件 2 2 0, 2 2 0, 2 0, x y x y x y            则 z x y  的最大值为__________． 【答案】 2 【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优 第 8 页 共 16 页 解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求解即可. 【详解】 画出 2 2 0, 2 2 0, 2 0, x y x y x y            表示的可行域，如图， 由 2 2 0, 2 0, x y x y         可得 2 0 x y     ， 将 z x y  变形为 y x z  ， 平移直线 y x z  ， 由图可知当直 y x z  经过点 2,0 时， 直线在 y 轴上的截距 z 最小， z 最大， 最大值为 2 0 2z    ，故答案为 2 . 【点睛】 本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最 值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）； （2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通 过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 15．已知 ,a b 为正实数且 1a b  ，则 4 1 a b  的最小值为______． 【答案】9 【解析】所求的式子中 “1”用 a b 代入，用基本不等式，即可求解. 【详解】 解：  4 1 4 1 45 a ba ba b a b b a           ，因为 0, 0a b  ，则 4 42 4a b a b b a b a     ， 第 9 页 共 16 页 当且仅当 4a b b a  ，即 2 1,3 3a b  时等号成立，此时 4 1 a b  最小值为5 4 9  . 故答案为:9. 【点睛】 本题考查基本不等式求最值.合理运用条件等式是解题的关键，属于基础题. 三、双空题 16．直线    1 : 2 2 4 0l mx m y m R     恒过定点________；若过原点作直线 2 1//l l ，则当直线 1l 与 2l 的距离最大时，直线 2l 的方程为________. 【答案】 1,2 1 2y x 【解析】将直线方程整理为   2 4 2 0x y m y    ，由此得到 2 0 4 2 0 x y y      ，解方程 组可求得定点坐标；根据平行关系和 2l 过原点可知 2l 为  2 2 0mx m y   ，根据平行 直线间距离公式和二次函数性质可确定距离最大时 2 5m  ，代入整理可得结果. 【详解】 由  2 2 4 0mx m y    得：   2 4 2 0x y m y    ， 由 2 0 4 2 0 x y y      得： 1 2 x y     ， 1l 恒过定点 1,2 . 设直线 2l 方程为：  2 2 0mx m y C    ， 2l 过原点， 0C  ，  2 : 2 2 0l mx m y    ， 则 1 2,l l 之间距离  2 22 4 4 5 4 44 2 d m mm m      ， 当 2 5m  时， 2 min 165 4 4 5m m   ， max 5d  . 2l 方程为： 1 2y x . 故答案为： 1,2 ； 1 2y x . 【点睛】 本题考查直线所过定点坐标的求解、平行直线间距离公式的应用等知识，涉及到二次函 数性质的应用，关键是能够根据平行关系得到直线的方程. 四、解答题 第 10 页 共 16 页 17．已知点  4 2A ， 和  0 2B ， （1）求直线 AB 的斜率和 AB 的中点 M 的坐标； （2）若圆 C 经过 A，B 两点，且圆心在直线 2 3x y  上，求圆 C 的方程. 【答案】（1）直线 AB 的斜率为 1，AB 的中点 M 的坐标为 2,0 ；（2） 2 25 1 74 3 3 9x y            . 【解析】（1）利用斜率公式和中点坐标公式即可计算出； （2）设圆心 C 为 a b， ，半径为 r，根据条件可计算出 , ,a b r . 【详解】 （1）由点  4 2A ， 和  0 2B ， ， 得  2 2 14 0ABk    ， 4 0 22Mx   ， 2 2 02My   ， 直线 AB 的斜率为 1，AB 的中点 M 的坐标为 2 0， ； （2）设圆心 C 为 a b， ，半径为 r，  圆心在直线 2 3x y  上， 2 3a b   ，则点 C 为 2 3a a ， ， 由题意可得 AC BC ，即 2 2 2 2( 4) (2 3 2) ( 0) (2 3 2)a a a a         ， 解得 5 3a  ， 1 3b  ， 74 3r  . 圆 C 的标准方程为 2 25 1 74 3 3 9x y            . 【点睛】 本题考查两点求斜率和中点坐标，考查圆的方程的求法，属于基础题. 18．已知公差不为零的等差数列{ }na 中， 1 1a  ，且 1 3 9, ,a a a 成等比数列. （1）求数列{ }na 的通项公式； （2）设 2 na nb n  ，求数列{ }nb 的前 n 项和 nS . 【答案】(1) na n ;(2) 1 ( 1)2 2 2 n n n nS     . 【解析】试题分析：设等差数列的公差，利用首项和公差表示数列的项，利已知三项成 第 11 页 共 16 页 等比列方程求出公差，写出等差数列的通项公式，根据 2 na nb n  ，求出数列 nb 的通 项公式，由于适合使用分组求和，所以利用分组求和法求出数列的前 n 项的和，注意利 用等差数列和等比数列 的前 n 项和公式的使用. 试题解析： （1）设数列 na 公差为 d  1 3 9, ,a a a 成等比数列 2 3 1 9a a a     21 2 1 1 8d d     0d  （舍）或 1d  na n  . （2）令 2 2na n nb n n    1 2 3n nS b b b b             1 2 32 1 2 2 2 3 2n n                 1 2 32 2 2 2 1 2 3 2 1 2 1 1 2 2 n n n n n                 1 12 2 2 n n n     1 12 2 2 n n n nS      . 【点睛】本题是等差数列与等比数列及数列求和综合题，设等差数列的公差，利用首项 和公差表示数列的项，利已知三项成等比列方程求出公差，写出等差数列的通项公式， 根据 2 na nb n  ，求出数列 nb 的通项公式，由于适合使用分组求和，所以利用分组求 和法求出数列的前 n 项的和，注意利用等差数列和等比数列 的前 n 项和公式的使用. 19．已知函数   cos 2 2sin sin3 4 4f x x x x                     . （1）求函数  f x 的最小正周期； （2）若将函数  f x 图象上每点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数  y g x 的图象，求  g x 在区间 12      ， 上的值域. 第 12 页 共 16 页 【答案】（1） ；（2） 2 12      ， . 【解析】（1）对  f x 化简，化为一个角的三角函数的形式，从而求出最小正周期； （2）将函数  f x 的图象变换后得到函数  g x 的图象，进一步求出值域. 【详解】 （1）函数   cos 2 2sin sin cos 2 sin 23 4 4 3 2f x x x x x x                                        1 3cos2 sin 2 cos2 sin 22 2 6x x x x         ， 故它的最小正周期为 2 2   . （2）若将函数  f x 的图象上每点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变， 得到函数   sin 6y g x x       的图象. 在区间 12      ， 上， 5 6 4 6x         ， ， 故  g x 在区间 12      ， 上的值域为 2 12      ， . 【点睛】 本题考查三角函数中的诱导公式、两角和与差的正余弦公式、二倍角公式，以及图像的 变换，考查了数形结合的思想和运算能力，属于基础题. 20．如图，在三棱锥 ABCD 中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面 ABD⊥平面 BCD，点 E，F(E 与 A， D 不重合)分别在棱 AD，BD 上，且 EF⊥AD. 求证：(1)EF∥平面 ABC； (2)AD⊥AC. 【答案】（1）见解析（2）见解析 第 13 页 共 16 页 【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明 EF AB∥ ，再由线面平行判定 定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得 BC ⊥平面 ABD ，则 BC ⊥ AD ， 再由 AB⊥AD 及线面垂直判定定理得 AD⊥平面 ABC，即可得 AD⊥AC． 试题解析：证明：（1）在平面 ABD 内，因为 AB⊥AD， EF AD ，所以 EF AB . 又因为 EF  平面 ABC， AB  平面 ABC，所以 EF∥平面 ABC. （2）因为平面 ABD⊥平面 BCD， 平面 ABD  平面 BCD=BD， BC 平面 BCD， BC BD ， 所以 BC  平面 ABD . 因为 AD  平面 ABD ，所以 BC  AD . 又 AB⊥AD， BC AB B  ， AB  平面 ABC， BC 平面 ABC， 所以 AD⊥平面 ABC， 又因为 AC  平面 ABC， 所以 AD⊥AC. 点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：（1）证明线面、面 面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3） 证明线线垂直，需转化为证明线面垂直． 21．已知平面内两点 (8, 6) (2 2)A B ， ， ． （1）求 AB 的中垂线方程； （2）求过 (2, 3)P  点且与直线 AB 平行的直线 l 的方程； （3）一束光线从 B 点射向（2）中的直线l ，若反射光线过点 A ，求反射光线所在的直 线方程． 【答案】（1）3 4 23 0x y   ；（2） 4 3 1 0x y   ；（3）11 27 74 0x y   . 【解析】(1)先求 AB 的中点坐标为 (5, 2) ，利用两直线垂直 1 2 1k k  g ，则 第 14 页 共 16 页 1 3 4AB k k    ，再利用点斜式写出直线方程即可；（2）利用两直线平行 1 2k k ，则 4 3ABk k   ，再利用点斜式写出直线方程即可；（3）先利用点关于直线的对称点求 (2,2)B 关于直线 l 的对称点 ( , )B m n ， BB的中点在直线 l 上， BB l  ，则斜率乘积 为 1，联立方程可解 14 8( , )5 5B   ， 86 115 14 278 5 B Ak         ，再利用点斜式写出直线 方程即可. 【详解】 （1） 8 2 52   ， 6 2 22     ，∴ AB 的中点坐标为 (5, 2) ， 6 2 4 8 2 3ABk     ，∴ AB 的中垂线斜率为 3 4 ， ∴由点斜式可得 32 ( 5)4y x   ， ∴ AB 的中垂线方程为3 4 23 0x y   ； （2）由点斜式 43 ( 2)3y x    ， ∴直线 l 的方程 4 3 1 0x y   ， （3）设 (2,2)B 关于直线 l 的对称点 ( , )B m n ， ∴ 2 3 2 4{ 2 24 3 1 02 2 n m m n         ， 解得 14 5{ 8 5 m n     ， ∴ 14 8( , )5 5B   ， 86 115 14 278 5 B Ak        ， 由点斜式可得 116 ( 8)27y x    ，整理得11 27 74 0x y   ∴反射光线所在的直线方程为11 27 74 0x y   . 第 15 页 共 16 页 22．已知函数 2( ) 2 1 x xf x a   是定义域为 R 的奇函数. （1）求实数 a 的值并判断函数 ( )f x 的单调性； （2）当 [3,9]x 时，不等式 2 3 3(log ) (2 log ) 0f x f m x   恒成立，求实数 m 的取 值范围. 【答案】（1） 1 2 ,单调递减（2）[3, ) . 【解析】分析：（1）由奇函数可得   0 0 2f 0 02 1a   ，解得 1 2a  ，经检验，当 1 2a  时，函数  f x 为奇函数；设 1 2,x x R  且 1 2x x ，利用指数函数的性质可证明    1 2 0f x f x  ，从而可得结果；（2）结合函数的单调性与奇偶性可得，当  3,9x 时，不等式    2 3 3log 2 log 0f x f m x   恒成立，等价于 2 3 3log log 2 0x m x   对  3,9x 恒成立，换元后，利用二次函数的性质列不等式组求解即可. 详解：（1）解法一：∵函数是定义域为 R 的奇函数， ∴   0 0 20 02 1f a   ，解得 1 2a  . 经检验，当 1 2a  时，函数  f x 为奇函数，即所求实数 a 的值为 1 2 . ∵      2 2 ln2 2 1 2 2 ln2 ' 0 2 1 x x x x x f x         2 2 ln2 2 1 x x    ，  ' 0f x  在 R 上恒成立，所以  f x 是 R 上的减函数. 解法二：∵函数是定义域为 R 的奇函数， ∴   0 0 20 02 1f a   ，解得 1 2a  . 经检验，当 1 2a  时，函数  f x 为奇函数，即所求实数 a 的值为 1 2 . 设 1 2,x x R  且 1 2x x ， 则     1 2 1 21 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 x x x xf x f x                 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 x x x x x x       第 16 页 共 16 页    2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 x x x x    ， ∵ 1 2x x ，∴ 2 12 2 0x x  ，  1 22 1 2 1 0x x   ， ∴    1 2 0f x f x  ，即    1 2f x f x ， 所以  f x 是 R 上的减函数. （2）由    2 3 3log 2 log 0f x f m x   ，可得    2 3 3log 2 logf x f m x   . ∵  f x 是 R 上的奇函数，∴    2 3 3log log 2f x f m x  ， 又  f x 是 R 上的减函数， 所以 2 3 3log log 2 0x m x   对  3,9x 恒成立， 令 3logt x ，∵  3,9x ，∴  1,2t  ， ∴ 2 2 0t mt   对  1,2t  恒成立， 令   2 2g t t mt   ，  1,2t  ， ∴     1 3 0 2 6 2 0 g m g m        ，解得 3m  ， 所以实数 m 的取值范围为 3, . 点睛：本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数， 主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由    + 0f x f x  恒成立求解，（2）偶函 数由     0f x f x   恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由  0 0f  求 解，偶函数一般由    1 1 0f f   求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇 偶性.