2020-2021学年高二上学期10月月考数学试题 word版

1 2020-2021 学年高二上学期 10 月月考数学试题 注意事项：1.答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.作答时，务必将答案写在答题卡上；在草稿纸上、试题卷上无效。 一．选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1. 下列直线方程中，倾斜角为 3  的是（ ） A. 013  yx B. 01-3 yx C. 013  yx D. 013- yx 2. 若 cba ,, 均为实数且满足 ba 22  ，则下列不等式中正确的是（ ） A. 22 bcac  B. ba 11  C. 33 ba  D. ba lnln  3. 已知非零向量 ba , 满足 ||3|| ab  ， |||2-| baba  ，则 a 与b 的夹角为（ ） A. 6  B. 4  C. 3  D. 2  4．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择 15 名志愿者，对其身高和臂展进行测量（单位：厘米）， 左图为选取的 15 名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图，并求得其回归方程为 1.16 0. 5ˆ 3 7y x  ，以下结论中正确的为（ ） A．15 名志愿者身高的极差大于臂展的极差 B．身高相差 10 厘米的两人臂展都相差 11.6 厘米， C．身高为 190 厘米的人臂展一定为 189.65 厘米 D．15 名志愿者身高和臂展成正相关关系 5. 若圆C 的圆心在直线 04  yx 上且经过两圆 06422  xyx 和 06422  yyx 的交点，则 圆C 的圆心到直线 0543  yx 的距离为（ ） A. 0 B. 5 8 C. 2 D. 5 18 6. 嫦娥四号月球探测器于 2018 年 12 月 8 日搭载长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心发射.12 日下午 4 2 点 43 分左右，嫦娥四号顺利进入了以月球球心为一个焦点的椭圆形轨道，如图中轨道③所示，其近月点与 月球表面距离为 100 公里，远月点与月球表面距离为 400 公里，已知月球的直径约为 3476 公里，对该椭圆 下述四个结论正确的是（ ） A．焦距长约为 150 公里 B．长轴长约为 3988 公里 C．两焦点坐标约为 150 0 ， D．离心率约为 75 994 7. 已知数列 }{ na 的首项 01 a ， 1121  nnn aaa ，则 20a （ ） A. 99 B. 101 C. 399 D. 401 8. 过双曲线 )0,0(12 2 2 2  bab y a x 的右焦点 F 作圆 222 ayx  的切线 FM ，交 y 轴于点 P ，切圆于点 M ，若 OPOFOM 3 2 3 1  ，则双曲线的离心率是（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 2 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分. 9. 已知双曲线C 的标准方程为 13 2 2  yx ，则（ ） A. 双曲线C 的离心率为 2 B. 直线 2x 与双曲线 C 相交的弦长为 6 C. 双曲线 13 2 2  xy 与双曲线C 有相同的渐近线 D. 双曲线C 的焦点到渐近线的距离为 3 10. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 直线 )(0124 Rmymx  恒过定点 )3,0( B. ”“ 1x 是 ”“ 12 x 的必要不充分条件 C. 已知数据 naaa ,,, 21  的平均数为 a ，方差为 2s ，则数据 13,,13,13 21  naaa  的平均数和方差分别 为 13 a ， 29s D. 若直线 )0,0(022  babyax 被圆 014222  yxyx 截得的弦长为 4 ，则 ba 41  的最小值 是9 3 11. 设函数 )2||,0)(sin()(   xxf 的最小正周期为 ，且把 )(xf 的图像向左移 6  后得到的图 像关于原点对称.现有下列结论，其中正确的是（ ） A．函数 ( )f x 的图像关于直线 12 5x 对称 B．函数 ( )f x 的图像关于点 )0,12(  对称 C．函数 ( )f x 在区间 ]12,2[   上单调递增 D．若 5 3)2( f ，则 25 7)12(  f 12．已知抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点为 F ，过点 F 的直线l 交抛物线于 A 、 B 两点，以线段 AB 为直 径的圆交 y 轴于 M 、 N 两点，则（ ） A．若抛物线上存在一点 (2, )E t 到焦点 F 的距离等于3，则抛物线的方程为 2 4y x B. 若 ||2|| BFAF  ，则直线l 的斜率为 22 C. 若直线l 的斜率为 3 ，则 3 4|| pAB  D. 设线段 AB 的中点为 P ，若点 F 到抛物线准线的距离为 2 ，则sin PMN 的最小值为 1 2 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 若直线 1l ：3 2 1 0x y   与直线 2l ： 2 1 0x my   相互垂直，则实数 m 的值为______. 14. 已知向量 )2),(sin(  a ， )1,(cos  b ，且 ba // ，则   2sincos2 . 15．公元前 3 世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面 轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称 之为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中 )0,2(A , )0,2(B , ),( yxP ，且满足 ||2 2|| PBPA  ，则点 P 的运 动轨迹方程为____________，点 P 到直线 04  yx 的最小距离为__________. 16. 数列 na 中， 1 1 2a  ，     * 1 1 1 n n n naa nn na    N ，若不等式  2 4 1 1 0n nan n     恒成立，则 实数  的取值范围为__________. 4 四、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 某中学刚搬迁到新校区，学校考虑，若非住校生上学路上单程所需时间人均超过 20 分钟，则学校推迟 5 分钟上课．为此，校方随机抽取 100 个非住校生，调查其上学路上单程所需时间（单位：分钟），根据所 得数据绘制成如下频率分布直方图，其中时间分组为 )10,0[ ， )02,01[ ， )03,02[ ， )04,03[ ， ]05,04[ ． （Ⅰ）求频率分布直方图中 a 的值； （Ⅱ）从统计学的角度说明学校是否需要推迟 5 分钟上课； （Ⅲ）若从样本单程时间不小于 30 分钟的学生中，随机抽取 2 人，求这两个学生的单程时间均落在 )04,03[ 上的概率． 18. 在 ① ),( acbam  ， ),( cban  ，且 nm  ， ② Cbca cos22  ， ③ ABC 的面积为 )(4 3 222 bca  这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并给出解答． 在 ABC ，角 CBA ,, 的对应边为 cba ,, ，且_________. （1）求角 B ； （2）若 ABC 的外接圆半径 3 32 ，求 ABC 周长的最大值． 19. 已知抛物线 :E )0(22  ppxy 的焦点是椭圆 19 8 22  p y p x 的一个焦点，直线 1:  kxyl 交抛物线 E 于 CB、 两点. （1）求 E 的方程； （2）若以 BC 为直径的圆过原点 O ，求直线 l 的方程. 5 20．已知数列 na 的首项为 1， nS 为数列 na 的前 n 项和， 1 1n nS qS   ，其中 0q  ， *nN （1）若 22a ， 3a ， 2 2a  成等差数列，求数列 na 的通项公式； （2）设双曲线 2 2 2 1 n yx a   的离心率为 ne ，且 2 5 3e  ，证明： 1 2 3 ne e e e   > 1 4 3 3 n n n  . 21.从秦朝统一全国币制到清朝末年，圆形方孔铜钱（简称“孔方兄”）是我国使用时间长达两千多年的货币．如 图 1，这是一枚清朝同治年间的铜钱，其边框是由大小不等的两同心圆围成的，内嵌正方形孔的中心与同心 圆圆心重合，正方形外部，圆框内部刻有四个字“同治重宝”．某模具厂计划仿制这样的铜钱作为纪念品，其 小圆内部图纸设计如图 2 所示，小圆直径 1 厘米，内嵌一个大正方形孔，四周是四个全等的小正方形（边 长比孔的边长小），每个正方形有两个顶点在圆周上，另两个顶点在孔边上，四个小正方形内用于刻铜钱上 的字．设 OAB   ，五个正方形的面积和为 S ． （1）求面积 S 关于 的函数表达式，并求 tan 的范围； （2）求面积 S 最小值，并求出此时 tan 的值. 22. 已知圆 4: 22  yxC ,点 P 为圆 C 上的动点，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为Q ，设 D 为 PQ 的中点， 且 D 的轨迹为曲线 E . （1）求曲线 E 的方程； （2）不过原点的直线l 与曲线 E 交于 NM、 两点，已知OM ，直线l ，ON 的斜率 21 ,, kkk 成等比数列， 记以OM ， ON 为直径的圆的面积分别为 21,SS ,试探就 21 SS  是否为定值，若是，求出此值；若不是， 说明理由. 6 命题人、审题人：陈高明 张洪 月考试题参考答案 一. 选择题： BCAD CDCB 二．多项选择题 9. ABD 10. ACD 11. AD 12. ABD 三．填空题 13. 3 14. 1 15. 32)6( 22  yx 2 16. ]3 28,9[ 四．解答题 17. （1）时间分组为 的频率为 ∴  3 分. （2）100 个非住校生上学路上单程所需时间的平均数：  5 分. 因为 ，所以该校不需要推迟 5 分钟上课  6 分. （3）从单程所需时间不小于 30 分钟的 5 名学生中，随机抽取 2 人共有以下 种情况： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 其中恰有一个学生的单程所需时间落在 )04,03[ 中的有以下3种： ， ， ； 两个学生的单程时间均落在 )04,03[ 上的概率为 10 3P   10 分. 18. (1)选①： nm  ， 0)())((  accbaba  2 分. 从而 acbca  222 3  B  6 分. 选②：由边化弦得 CBC cossin2sin2sinA  ， )sin(sin CBA   3 分. 2 1cos  B 3  B  6 分. 选③ BacbcaS ABC sin2 1)(4 3 222   2 分. 7 BB sincos3  3  B  6 分. （2）由 外RB b 2sin  ，得 2b  8 分. 由余弦定理得： acbca  222 ，即 222 )2(334)( caacca   10 分. 42  ca ，从而周长 6max l ，当且仅当 2 ca 时取等号  12 分. 19. （1）由题意知： ppp  8 9 2 ， 2 1 p 所以 E 的方程是 2y x  5 分. （2）设  1 1,B x y 、  2 2,C x y ，由题意知 0k  . 联立直线l 与抛物线 E : 2 1 y x y kx      ，得  2 2 2 1 +1=0k x k x  . 所以 1 2 2 1 2kx x k   ， 1 2 2 1x x k  ，  2 22 1 4 0k k      7 分. 因为以 BC 为直径的圆过O 点，所以 1 2 1 2 0OA OB x x y y     9 分. 即       2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 1 1 0x x kx kx k x x k x x         ， 所以 2 2 2 1 1 21 1 0kk kk k       ，解得 1k   . 经检验 1k 满足题意，所以直线l 的方程是 1 xy  12 分. 20. （1）因为 1 1a  ， 1 1n nS qS   ①， 当 1n  时， 2 1 1S qS  ，即 1 2 1 1a a qa   ， 2a q  2 分. 当 2n  时， 1 1n nS qS   ②， ①-②并化简得 1n na qa+ = .所以数列 na 是首项为1，公比为 q的等比数列，所以 1n na q   4 分. 则 2 3a q .由于 22a ， 3a ， 2 2a  成等差数列，，所以  3 2 22 2 2a a a   ，即 22 3 2q q  （ 0q  ），解 得 2q = .所以 12n na -=  6 分. （2）双曲线的离心率公式为 2 1 be a      ，所以 2 2 21 1 n n ne a q     .由 2 5 3e  得 8  2 51 03q q   ，解得 4 3q   8 分. 故 2 241 3 n ne       . 1 2e  ， 1 1 4 3 13    ， 1 1 1 4 3 3e   ，所以猜想 1 2 3 1 4 3 3 n n n ne e e e     .由 2 2 2 2 14 4 41 3 3 3 n n n ne                       10 分. 所以 2 1 1 2 3 1 414 4 4 4 331 43 3 3 31 3 n n n n n ne e e e                                   ，得证  12 分. 21.解：（1）过点O 分别作小正方形边，大正方形边的垂线，垂足分别为 E ， F ， 因为内嵌一个大正方形孔的中心与同心圆圆心重合，所以点 E ， F 分别为小正方形和大正方形边的中点， 所以小正方形的边长为 1 sin 2 sin2       ， 大正方形的边长为 1 cos sin 2 cos 2sin2            2 分. 所以五个正方形的面积和为  224sin cos 2sinS      ， 2 28sin cos 4sin cos       4 分. 因为小正方形边长小于内嵌一个大正方形的边长， 所以sin cos 2sin    ， 1tan 3   ， 0 0, 2      ， 所以 的取值范围为  00, ， 0 1tan 3    6 分. （2） 2 28sin cos 4sin cosS       ， 1 cos2 1 cos28 2sin 22 2       ， 9 72sin 2 cos22 2        ，  9 65 sin 22 2     ，其中 7tan 4   ， 0, 2       8 分. 9 所以 min 9 65 2S  ，此时  sin 2 1    9 分. 因为  00,  ，所以 0 30 2 2 2 2         ， 所以 2 2    ， 所以 1 4tan 2 tan 2 tan 7           ， 则 2 2 tan 4tan 2 1 tan 7    ，化简得： 22tan 7tan 2 0    ， 由此解得： 7 65tan 4    ， 因为 10 tan 3   ，所以 7 65tan 4     12 分. 22.（1）设 ),( yxD ， ),( 00 yxP ， D 为 PQ 的中点      yy xx 20 0  2 分. ),( 00 yxP 在圆 4: 22  yxC 上， 44 22  yx 所以曲线 E 的方程为 14 2 2  yx  5 分. （2）设直线l 的方程为  0y kx m m   ，    1 1 2 2, , ,M x y N x y 由 2 2 14 y kx m x y     得   2 2 24 8 4 1 0x k x kmx m     ， ∴  2 1 2 1 22 2 4 18 ,1 4 1 4 mkmx x x xk k      7 分. 由题设知，   1 22 1 2 1 2 1 2 1 2 kx m kx my yk k k x x x x       2 1 22 1 2 km x x mk x x    ， ∴   2 1 2 0km x x m   ，∴ 2 2 2 2 8 01 4 k m mk    ，∵ 0m  ，∴ 2 1 4k   9 分. 则    2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 24 4S S OM ON x y x y        2 2 2 21 2 1 21 14 4 4 x xx x           10 2 2 2 21 2 1 21 14 4 4 x xx x              22 2 1 2 1 2 1 2 3 3 216 2 16 2x x x x x x               22 2 2 22 8 13 64 16 1 4 21 4 mk m kk          2 23 54 4 116 2 4m m          12 分.