2020-2021学年浙江省高二上学期期中考试数学试题 Word版

- 1 - 2020-2021 学年高二上学期期中考试数学试卷 命题：高二数学备课组 审题：高二数学备课组 一．选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的） 1．命题“若 1x  ，则 2 2x  ”的逆否命题是（ ） A．“若 1x  ，则 2 2x  ” B．“若 1x ，则 2 2x  ” C．“若 2 2x  ，则 1x ” D．“若 2 2x  ，则 1x  ” 2．已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     ，若长轴长为 8，离心率为 1 2 ，则此椭圆的标准方程 为( ) A． 2 2 164 48 x y  B． 2 2 164 16 x y  C． 2 2 116 4 x y  D． 2 2 116 12 x y  3．“直线l 与平面 内无数条直线垂直”是“直线 l 与平面 垂直”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不必要也不充分条件 4．已知空间中 m ， n 是两条不同直线， 是平面，则（ ） A．若 / /m  ， n  ，则 //m n B．若 / /m  ， / /n  ，则 m n C．若 m  ， n  ，则 //m n D．若 m  ， n  ，则 m n 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） - 2 - A． 3 2 B．1 C． 1 3 D． 1 2 6．椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的左焦点为 F ，若 F 关于直线 0x y  的对称点 A 是椭 圆C 上的点，则椭圆的离心率为（ ） A． 2 2 B． 3 2 C． 2 1 D． 3 1 7．设 xR ，则“1 2x  ”是“| 2 | 1x   ”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．如图所示，三棱柱 1 1 1ABC A B C 所有棱长均相等，各侧棱与底面垂直， D ， E 分别为棱 1 1A B ， 1 1B C 的中点，则异面直线 AD 与 BE 所成角的余弦值为 （ ） A． 7 10 B． 3 5 10 C． 15 5 D． 3 5 9．已知 1F ， 2F 分别是椭圆C ： 2 2 14 3 x y  的左、右焦点，点 P 、Q 是椭圆上位于 x 轴上方 的两点，且 1 2PF QF∥ ，则 1 2PF QF 的取值范围为（ ） - 3 - A．[2,4) B．[3,4) C．[1,4) D．[1.5,4) 10．我国南北朝时期的著名数学家祖暅原提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异。”意 思是，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若 截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面 半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图①）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖 去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图②）， 用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明 新几何体与半球体积相等，即 2 2 31 1 2=2 3 3V R R R R R    球 .现将椭圆 2 2 4 9 1x y  绕 y 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图③），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积 等于（ ） A．32π B． 24π C．18π D．16π 二 填空题：（本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 36 分） 11．椭圆 2 2 14 9 x y  的焦距是___________，离心率是___________. 12．某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的侧视图 面积为________ 2cm ，体积为_________ 3cm . - 4 - 13．正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2，M , N , E , F 分别是 1 1A B , AD , 1 1C B , 1 1C D 的中点， 则过 EF 且与 MN 平行的平面截正方体所得截面的面积为_______， CE 和该截面所成角的 正弦值为___________ 14．已知 1F ， 2F 是椭圆 2 2 9: 15 x yC   的左、右焦点，点 P 在C 上，则 1 2PF PF 的最大 值为__________；若 (0,4 6)A ，则 2PA PF 的最小值为______________. 15．如图， 1 1 1 1ABCD-A B C D 为正方体，下面结论中正 确的是_______.（把你认为正确的结论都填上） ① 1 1AC  平面 1BD ； ② 1BD  平面 1ACB ； ③ 1BD 与底面 1 1BCC B 所成角的正切值是 2 ； ④过点 1A 与异面直线 AD 与 1CB 成 60 角的直线有 2 条. 16．已知命题p：实数 m 满足 2 212 7 ( 0)m a am a   ，命题q：实数 m 满足方程 2 1 x m  ＋ 2 2 y m ＝1 表示的焦点在 y 轴上的椭圆，且 p 是 q 的充分不必要条件， a 的取值范围为________． 17．如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是矩形，平面 ABCD  平面 ABE ，已知 4AB  ， 2 3AE BE  ，且当规定正视方向垂直平面 ABCD 时，该几何体的侧视图 的面积为 2 2 .若 M ，N 分别是线段 DE ，CE 上的动点，则 AM MN NB  的最小值为______． 三 解答题：（本大题共 5 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） - 5 - 18．设命题 :p 实数 x 满足 2 24 3 0x ax a   ， ( 0)a  ； 命题 :q 实数 x 满足  3 2 0x x   （1）若 1a  ， ,p q 均为真命题，求 x 的取值范围； （2）若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围． 19．如图，在三棱柱中 ABC DEF ，点 P ， G 分别是 AD ，EF 的中点，已知 AD  平 面 ABC ， 3AD EF  ， 2DE DF  ． （1）求证： DG  平面 BCEF ； （2）求 PE 与平面 BCEF 所成角的正弦值. 20．己知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yM a ba b     的一个顶点坐标为  2,0 ，离心率为 3 2 ，直线 y x m  交椭圆于不同的两点 ,A B （1）求椭圆 M 的方程； （2）设点  1,1C ，当 ABC 的面积为1时，求实数 m 的值． 21．图 1，平行四边形 ABCD 中， AC BC ， 1AC BC  ，现将 ADC 沿 AC 折起， 得到三棱锥 D ABC （如图 2），且 DA BC ，点 E 为侧棱 DC 的中点. （1）求证： AE  平面 DBC ； （2）求三棱锥 D AEB 的体积； （3）在 ACB 的角平分线上是否存在点 F ，使得 DF∥平面 ABE ？若存在，求 DF 的长； 若不存在，请说明理由. - 6 - 22．已知椭圆 C ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的长轴长是焦距的 2 倍，且过点 3( 1, )2  . （1）求椭圆C 的方程； （2）设 ( , )P x y 为椭圆C 上的动点，F 为椭圆C 的右焦点， A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶 点，点 'P 满足 ' (4 ,0)P P x  .（i）证明： 'P P FP   为定值； （ii）设Q 是直线 : 4l x  上的动点，直线 AQ 、 BQ 分别另交椭圆C 于 M 、 N 两点，求 MF NF 的最小值 - 7 - 北仑中学 2020 学年第一学期高二年级期中考试数学答案 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中只有一 项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B C C A A A B D 二.填空题：本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分. 11. 5 ， 5 3 12. 4 3 ， 28 33  13. 2 2 ， 10 10 14. 9 ， 4 15. ①②④ 16. 1 3[ , ]3 8 17. 6 三、解答题：本大题共 5 小题,共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18.(本小题满分 14 分) 解：由题意得，当 p 为真命题时， 3a x a  ； 当 q 为真命题时， 2 3x≤ ≤ (1) 若 1a  ， ,p q 均为真命题，则 1 3 2 3 x x     ≤ ≤ ，得 2 3x ≤ (2)若 p 是 q 的充分不必要条件，则 q 是 p 的充分不必要条件 - 8 - 则 2 3 3 a a    ，得1 2a  19.(本小题满分 15 分) (1) . AD ABC AD DG BF AD BF DG ∵ 平面 ，∴ ⊥ ， 又 ∥ ，∴ ⊥ , . = DE DF G EF EF DG BF EF F DG BCEF ∵ 是 的中点，∴ ⊥ 又 ∩ ，∴ ⊥平面 （2）取 BC 的中点 H ，连接 HG ，取 HG 的 中点 O，连接 ,OP OE PO DG PO∵ ∥ ，∴ ⊥平面 BCEF OEP PE BCEF∴∠ 是 与平面 所成的角. 由 3, 2AD EF DE DF    ，解得 5 7,2 2PE OP DG   7sin 5 OP PE ∴ ∠OPE= 20. (本小题满分 15 分) （1）由题意， 32, 2 ca a   ，则 2 2 23, 1c b a c    ∴椭圆的方程为 2 2 14 x y  （2）设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 联立 2 2 14 y x m x y     得 2 25 8 4 4 0x mx m    - 9 - ∴ 2 2=64 20(4 4) 0, 5 5m m m     △ 解得 ∴ 2 1 2 1 2 8 4 4=- ,5 5 m mx x x x   ∴ 2 2 1 2 1 2 4 22 ( ) 4 55AB x x x x m      又点C 到直线 AB 的距离为 2 md  ∴ 21 1 4 2 5 12 2 5 2ABC mS AB d m     △ ，解得 10 2m   21．(本小题满分 15 分) - 10 - 22.（本题满分 15 分） - 11 - - 12 -