2020-2021学年浙江省浙北G2（、）高二上学期期中联考数学试题 Word版

1 浙江省浙北 G2（、）2020-2021 学年 高二上学期期中联考数学试题 考生须知： 1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、试场号、座位号； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合 题目要求的． 1．直线 3 1 0x y   的倾斜角是（▲） A． 30 B． 60 C．120 D．150 2．命题“若 0x  ，则 2 0x  ”的否命题是（▲） A．若 0x  ，则 2 0x  B．若 2 0x  ，则 0x  C．若 2 0x  ，则 0x  D．若 0x  ，则 2 0x  3．圆 2 2 1 1O x y ： 与圆    2 2 2 1 1 2O x y   ： 的位置关系是（▲） A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 4．用斜二测画法画水平放置的边长为 2 的正方形所得的直观图的面积是（▲） A． 2 2 B． 2 C． 4 2 D．8 2 5．已知椭圆C ： 2 2 2 125 x y m   （ 0m  ）的左焦点为  1 4,0F  ，则 m  （▲） A． 9 B． 4 C．3 D． 2 6．已知空间中不过同一点的三条直线 m ， n ，l ，则“直线 m ， n ，l 在同一平面” 是“直线 m ， n ，l 两两相交”的（▲） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知圆 2 2 6 0x y x   ，过点  1,2 的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值是（▲） 2 A．2 B．3 C． 4 D． 5 8．如图，已知三棱锥 A BCD ，记二面角 A BC D  的平面角是 ，直线 AB 和 CD 所成的角为 1 ， 直线 AB 与平面 BCD 所成的角 2 ，则（▲） A． 1  B． 1  C． 2  D． 2  9．已知椭圆 C ： 2 2 2 2 1x y a b   （ 0a b  ）的左、右顶点分别为 1 2,A A ，且以线段 1 2A A 为直径的圆 与直线 2 0bx ay ab   相切，则 C 的离心率是（▲） A． 6 3 B． 3 3 C． 2 3 D． 1 3 10．在三棱锥 P ABC 中，顶点 P 在底面的射影为 ABC△ 的垂心 O，且 PO 中点为 M，过 AM 作平 行于 BC 的截面 ，记 1PAM   ，记 与底面 ABC 所成的锐二面角的大小为 2 ，当 1 取到最大 时， 2tan 是（▲） A． 2 B． 2 2 C． 2 D． 1 2 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分. 11．椭圆 2 2 19 4 x y  的长轴长是 ▲ ，离心率是 ▲ ． 12．如图所示为某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度是 ▲ ， 体积是 ▲ ． 13．若把圆心角为120 ，半径为 6 的扇形卷成圆锥，则该圆锥的底面半径是 ▲ ，侧面积是 ▲ ． 14．若棱长为 4 的正四面体 A BCD 的顶点都在同一球面上，则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值 是 ▲ ，该球的表面积是 ▲ ． 15．已知直线 l 为圆 2 2 4x y  在点  2, 2 处的切线，点 P 是直线 l 上一动点，点 Q 是圆  2 21 1x y   上一动点，则 PQ 的最小值是 ▲ ． 16．已知直线l ： 1y kx  （ Rk  ），若直线上l 总存在点 M 与两点  1,0A  ，  1,0B 连线的斜率之积为 3m （ 0m  ），则实数 m 的取值范围是 ▲ ． 17．如图，在空间四边形 ABCD 中， 4AB BD DA   ， 2 2BC CD  ． 第12题图 第8题图 第17题图 3 设直线 AB 与直线CD 所成角为 ，当二面角 A BD C  的大小在 2[ , ]3 3   变化时，则 cos 的最大值是 ▲ ． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本小题满分 14 分) 已知直线 1l ： 2 2 4 0kx y k    ，直线 2l ： 2 24 4 8 0k x y k    ． （Ⅰ）若直线 1l 在两坐标轴上的截距相等，求直线 1l 的方程； （Ⅱ）若 1 2l l∥ ，求直线 2l 的方程． 19．（本题满分 15 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， 侧棱 PD  底面 ABCD ， E 是 PC 的中点． （Ⅰ）证明：直线 //PA 平面 BDE ； （Ⅱ）若 PD AB ，求直线 BE 与底面 ABCD 所成角的正切值． 20．(本小题满分 15 分) 已知圆C 经过点  1, 3A   ，且与直线3 4 15 0x y   相切，且圆心在直线 1 2y x 上． （Ⅰ）求圆C 的方程； （Ⅱ）若直线l 经过点  7,2P 且与圆C 相切，求直线l 的方程． 21．(本小题满分 15 分) 如图，已知平面多边形 P—ABCD 中， , 2 2 4, // ,AP PD AD DC CB AD BC AP PD     ， AD DC ，现将三角形 APD 沿 AD 折起，使 2 2PC  ． （Ⅰ）证明： PB AD ； （Ⅱ）证明：平面 PAC  平面 ABCD； （Ⅲ） 求二面角 P AB D  的平面角的余弦值． 第19题图 4 22．(本小题满分 15 分) 已知椭圆 C ：   22 2 2 1 0yx a b a b     的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为 2 的正方形． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）过点  1,0Q 的直线l 与椭圆 C 相交于 ,A B 两点．点  4,3P ，记直线 PA ， PB 的 斜率分别为 1 2,k k ，当 1 2k k 最大时，求直线l 的方程． 第21题图 第22题图 5 参考答案： 一、选择题(本大题共有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B C B A D A B 二、填空题(本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．) 11. 6 ； 5 3 ． 12． 3 ； 1 3 ． 13． 2 ；12 ． 14. 0 ; 24 ． 15． 21 2  ． 16． 1 3m  ． 17． 2 2 6 8  ． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18.解：（Ⅰ）①若直线 1l 过原点，则 1l 在坐标轴的截距都为 0 ，显然满足题意， 此时则 2 4 0k   ，解得 2k  ， ②若直线 1l 不过原点，则斜率为 12 k   ，解得 2k   。 因此所求直线 1l 的方程为 0x y  或 4 0x y   （Ⅱ）①若 1 2l l∥ ，则 24 2k k    解得 0k  或 2k   。 当 0k  时，直线 1l ： 2 4 0y   ，直线 2l ：4 8 0y   ，两直线重合，不满足 1 2l l∥ ，故舍去； 当 2k   时，直线 1l ： 4 0x y   ，直线 2l ： 6 0x y   ，满足题意； 因此所求直线 2l ： 6 0x y   。 19．（Ⅰ）连接 AC 交 BD 于O ． 在正方形 ABCD 中，有 AO OC , 又 E 是 PC 的中点，所以 //PA OE , PA  平面 BDE ,OE  平面 BDE 所以直线 //PA 平面 BDE ． （Ⅱ）取CD 的中点 F ． 由 EF 为 PCD 的中位线，得 //EF PD , 6 又 PD  底面 ABCD ，得 EF  底面 ABCD , 所以 EBF 是直线 BE 与底面 ABCD 所成角． 设 2PD AB  ， 因为 1 12EF PD  ， 2 2 5BF CF AB   ， 所以 1 5tan 55 EFEBF BF     ． 解：（Ⅰ）设圆心坐标 ,a b ，半径为 r 所以 1 2b a ，因为点  1, 3A   为切点，所以 3 4 1 3 b a   . 解得 2 1 a b    .又    2 21 3 5r a b     . 所以圆C 的方程为：   2 22 1 25x y    . 另解：设圆心坐标 ,a b ，半径为 r 所以    2 2 2 1 2 3 4 15 5 1 3 b a a br a b r               ，解得 2 1 5 a b r      . 所以圆C 的方程为：   2 22 1 25x y    . （Ⅱ）当切线的斜率不存在时： 7x  ，符合条件 当切线的斜率存在时，可设切线方程为：  2 7y k x   ，即 2 7 0kx y k    因为圆心到直线的距离 2 2 1 2 7 5 1 k kd k      解得 12 5k   ，此时切线方程为12 5 94 0x y   所以切线所在直线方程为 7x  或12 5 94 0x y   21.解：（Ⅰ）取 AD 得中点 E ，连接 ,PE BE . 因为 AP PD ，所以 PE AD ， 7 又因为 //BC DE ，所以四边形 BCDE 为平行四边形，所以 //BE CD 因为 AD DC ，所以 AD BE , BE PE E  ,所以 AD 平面 PBE ， 所以 PB AD . （Ⅱ）记 AC BE O  ，所以 O 是 AC 的中点，也是 BE 的中点. 因为 2 2PA PC  ，所以 PO AC . 又 ,OD OA PD PA  ，所以 PO OD ， AC OD O  ， 所以 PO  平面 ABCD，因为 PO  平面 PAC ，所以平面 PAC  平面 ABCD. （Ⅲ）过 O 作OH AB ，垂足为 H . 又（Ⅱ）可得 PH AB （三垂线定理） 所以 PHO 为二面角 P AB D  的平面角. 因为 23, , tan 62PO OH PHO     所以 7cos 7PHO  . 22 解：（Ⅰ）由已知得 2b c  ． 又 2 2 2 4a b c   ， 所以椭圆C 的方程为 2 2 14 2 x y  ． -----------------------5 分 （Ⅱ）①当直线l 的斜率为 0 时，则 1 2k k  3 3 3 4 2 4 2 4    ； ②当直线l 的斜率不为 0 时，设 1 1( , )A x y ， 2 2( , )B x y ，直线l 的方程为 1x my  ， 将 1x my  代入 2 2 14 2 x y  ，整理得 2 2( 2) 2 3 0m y my    ． 则 1 2 2 2 2 my y m    ， 1 2 2 3 2y y m   ． 又 1 1 1x my  ， 2 2 1x my  ， 所以， 1 1 2 1 3 4 yk k x    2 2 3 4 y x   1 2 1 2 (3 )(3 ) (3 )(3 ) y y my my     1 2 1 2 2 1 2 1 2 9 3( ) 9 3 ( ) y y y y m y y m y y        8 2 2 3 2 5 4 6 m m m    2 3 4 1 4 8 12 m m    ． ------------------------------------------------12 分 令 4 1t m  ，则 1 2 2 3 2 4 2 25 tk k t t      3 2 254 ( ) 2t t     1 所以当且仅当 5t ，即 1m 时，取等号． 由①②得，直线l 的方程为 1 0x y   ．