2020-2021学年四川省南充市阆中中学高二上学期期中考试数学（文）试题 （解析版）

1 四川省南充市阆中中学 2020-2021 学年高二上学期期中考试 数学试题（文） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷（选择题） 一、单选题（60 分） 1．在空间直角坐标系中，点 ( 1,1,3) 关于 y 轴的对称点的坐标为 A． ( 1, 1,3)  B． (1,1, 3) C． (1, 1, 3)  D． (1,1,3) 2．直线 3 1 0x y   的倾斜角  A．30° B． 60 C．120 D．150 3．右上图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是 A． B． C． D． 4．若两直线 平行，则它们之间的距离为 2 A．1 B． C． D． 5．圆      2 2 22 1 2: 1 1 4 1 4C x y C x y      与圆 ： 的公切线的条数为 A．4 B．3 C．2 D．1 6．已知点    2, 3 , 3, 2A B   ，直线 : 1 0l mx y m    与线段 AB 相交，则直线l 的 斜率 k 的取值范围是 A． 3 4k  或 4k   B． 34 4k   C． 1 5k   D． 3 44 k   7．用斜二测画法画一个边长为 2 的正三角形的直观图，则直观图的面积是： A． 3 2 B． 3 4 C． 6 4 D． 6 2 8．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积和表面积分别为 A． 4 3  ， 3 2  B． 2 3  ， 3 2  C． 4 3  ， 4 2  D． 2 3  ， 4 2  9．点 (4, 2)P  与圆 2 2 4x y  上任一点连线的中点的轨迹方程是 A． 2 2( 2) ( 1) 1x y    B． 2 2( 2) ( 1) 4x y    C． 2 2( 4) ( 2) 4x y    D． 2 2( 2) ( 1) 1x y    10.过点 (3,1) 作一直线与圆 2 2( 1) 9x y   相交于 M、N 两点，则 MN 的最小值为 3 A． 2 5 B．2 C．4 D．6 11.若直线 1ax by  与圆 2 2 1x y  有两个公共点，则点  ,P a b 与圆 2 2 1x y  的位 置关系是（ ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能 12.直线 y x b  与曲线 21x y  有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是 A． 2b   B． 1 1b   或 2b   C． 1 或1 D．以上都不对 第 II 卷（非选择题） 二、填空题（20 分） 13.已知 x，y 满足       2 2 yx xy x ，则 yxz  2 的最大值为____________. 14.若圆 1C ： 2 2 0x y ax by c+ + + + = 与圆 2C ： 2 2 4x y  关于直线 2 1y x  对称， 则 c  ______. 15.经过点 A(1,1)且在两条坐标轴上的截距相等的直线方程是________． 16.点 A B、 分别为圆 2 2: ( 3) 1M x y   与圆 2 2:( 3) ( 8) 4N x y    上的动点，点C 在直线 0x y  上运动，则 AC BC 的最小值为__________． 三、解答题（70 分） 4 17．（10 分）已知直线 l 的方程为3 4 2 0x y+ = . （1）求过点 2,2 且与直线 l 垂直的直线方程； （2）求直线 1 0x y   与 2 2 0x y   的交点，且求这个点到直线 l 的距离. 18．（12 分）已知圆C 经过  1,5A  ，  5,5B ，  6, 2D  三点． （1）求圆C 的标准方程； （2）求经过点  3,2E  且和圆C 相切的直线l 的方程． 19．（12 分）直线 l 经过两条直线 1 : 4 0l x y   和 2 : 2 0l x y   的交点，且与直线 2 1 0x y   平行. （1）求直线 l 的方程； （2）求直线 l 与坐标轴围成的三角形面积. 20.（12 分）已知直线      : 2 1 1 7 4 0l m x m y m m      R ，圆    2 2: 1 2 25C x y    ． 5 （1）求证：不论 m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交于两点． （2）当直线l 被圆C 截得的线段最短时，求线段的最短长度及此时 m 的值． 21．（12 分）已知点 ( 4,0), (2,0)A B ，动点 P 满足| | 2| |PA PB . （1）求点 P 的轨迹C 的方程； （2）求经过点 (2, 2)M  以及曲线C 与 2 2 4x y  交点的圆的方程. 22．（12 分）已知过点  0, 2P  的圆 M 的圆心 ,0a 在 x 轴的非负半轴上，且圆 M 截直 线 2 0x y   所得弦长为 2 2 ． （1）求 M 的标准方程； （2）若过点  0,1Q 且斜率为 k 的直线l 交圆 M 于 A 、 B 两点，若 PAB△ 的面积为 3 3 ，求直线l 的方程． 6 7 2020 年秋高 2019 级期中教学质量检测 数学参考答案（文科） 1．B【分析】利用空间中点 ( , , )x y z 关于 y 轴的对称点的坐标为 ( , , )x y z  ,即可得到答案. 2．A【分析】先求得直线的斜率，然后根据斜率和倾斜角的关系，求得 . 【详解】可得直线 3 1 0x y   的斜率为 3 3 Ak B    ， 由斜率和倾斜角的关系可得 3tan 3   ，∴ 30   故选：A. 【点睛】本小题主要考查直线倾斜角与斜率，属于基础题. 3．D【分析】正视图和左视图可以得到 A，俯视图可以得到 B 和 D，结合三视图的定义和作法解答 本题正确答案 D． 【详解】正视图和左视图相同，说明组合体上面是锥体，下面是正四棱柱或圆柱，俯视图可知下面 是圆柱．故选 D. 【点睛】本题主要考查三视图，三视图的复原，可以直接解答，也可以排除作答，是基本能力题目． 4．D【解析】依题意可得， 3 4 6 0m   ，解得 8m  所以直线方程为3 4 3 0,3 4 1 0x y x y      则两平行直线的距离为  3 1 4 5 5    ，故选 D 5．A【分析】先根据圆心距与两圆半径的关系判断出两圆相离，所以有 4 条公切线． 【详解】 2 2 1 2 1 2 1 2(0 4) (1 1) 4 1 2 1 2 3C C r r r r           ， ， ， ， ∴|C1C2|＞r1+r2，所以圆 C1 与圆 C2 相离，有 4 条公切线． 故选 A． 8 【点睛】本题考查了两圆的公切线的条数，属中档题． 6．A【解析】    1 1 0m x y    ，所以直线l 过定点  1,1P ， 所以 3 4PBk  ， 4PAk   ， 直线在 PB 到 PA 之间， 所以 3 4k  或 4k   ，故选 A． 7．C【解析】分析：先根据直观图画法得底不变，为 2，再研究高，根据三角形面积 公式求结果. 详解：因为根据直观图画法得底不变，为 2，高为 1 2 63 =2 2 4   ， 所以直观图的面积是 1 6 62 =2 4 4   ，选 C. 点睛：本题考查直观图画法，考查基本求解能力. 8．B【分析】根据三视图知该几何体是圆柱在中间挖去一个同底等高的圆锥，结合图中数据，即可 求出它的体积和表面积． 【详解】 解：根据三视图知，该几何体是圆柱，在中间挖去一个同底等高的圆锥，如图所示； 结合图中数据，计算该几何体的体积为： V=π•12•1- 1 3 π•12•1= 2 3 π； 表面积为： S=π•12+2π•1•1+π•1• 2 =（3+ 2 ）π．故选 B． 【点睛】本题主要考查了几何体三视图的应用问题，几何体的体积以及表面积的计算， 9 9．A【解析】试题分析：设圆上任一点为  0 0,Q x y ， PQ 中点为  ,M x y ，根据中点坐标公式得， 0 0 2 4{ 2 2 x x y y     ，因为  0 0,Q x y 在圆 2 2 4x y  上，所以 2 2 0 0 4x y  ，即   2 22 4 2 2 4x y    ， 化为 2 2( 2) ( 1) 1x y    ，故选 A. 考点：1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程. 【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法 有:①直接法，设出动点的坐标 ,x y ，根据题意列出关于 ,x y 的等式即可；②定义法，根据题意动 点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把 ,x y 分别用第三个变量表示，消去参数即可； ④逆代法，将     0 0 {x g x y h x   代入  0 0, 0f x y .本题就是利用方法④求 M 的轨迹方程的. 10．C【解析】试题分析：由圆的方程 2 21 9x y   ，可知圆心 (1,0)O ，半径 3R  ，则点 3,1 和圆心 (1,0)O 连线的长度为 2 2(3 1) 1 5d     ，当过点 3,1 和圆心的连线垂直时,所得弦长最 短,由圆的弦长公式可得 2 2 2 22 2 3 ( 5) 4l R d     ，故选 C. 考点：直线与圆的位置关系及其应用. 11．B【分析】直线 1ax by  与圆 2 2 1x y  有两个公共点，可得 | | 2 2 1 1 a b   ，即为 2 21 a b  ，由此可得点与圆的位置关系。 【详解】解：因为直线 1ax by  与圆 2 2 1x y  有两个公共点， 所以有 | | 2 2 1 1 a b   ，即 2 21 a b  ， 因为点 P 与圆心的距离为 2 2a b ，圆的半径为 1， 所以点 P 在圆外，故选 B。 10 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系的判断方法有： 1.圆心到直线的距离与半径做比较；2.联立直线与圆的方程，根 据方程组根的个数进行判断。 12．B【分析】把曲线方程整理后可知其图象为半圆，进而画出 图象来，要使直线与曲线有且仅有一个交点，那么很容易从图上 看出其三个极端情况分别是：直线在第四象限与曲线相切，交曲 线于（0，−1）和另一个点，及与曲线交于点（0，1），分别 求出 b，则 b 的范围可得． 【详解】由 21x y  可以得到 2 2 0 1 x x y     ，所以曲线 21x y  为 y 轴右侧的半圆， 因为直线 y x b  与半圆有且仅有一个公共点，如图所示： 所以 1 1b   或 0 1 2 b b    ，所以 1 1b   或 2b   ，故选 B． 【点睛】本题考查直线与半圆的位置关系，注意把曲线的方 程变形化简时 要关注等价变形． 13． 1 【分析】作可行域，作目标函数对应的直线，平移该 直线可得最优 解． 【详解】作可行域，如图 ABC 内部（含边界），作直线 : 2 0l x y   ， 由 2 y x x y     得 1 1 x y    ，即 (1,1)C ， 平移直线l ，向上平移时 2z x y   增大，∴当直线l 过点 (1,1)C 时， 2z x y   取得最大值 1 ． 11 故答案为： 1 ． 【点睛】本题考查简单的线性规划，作出可行域是解题关键． 14． 16 5  【分析】两圆关于直线对称即圆心关于直线对称，则两圆的圆心的连线与直线 2 1y x  垂直且中点 在直线 2 1y x  上，圆 1C 的半径也为 2 ，即可求出参数 , ,a b c 的值. 【详解】解：因为圆 1C ： 2 2 0x y ax by c+ + + + = ，即， 圆心 1 1 1,2 2C a b     ，半径 2 2 4 2 a b cr   ， 由题意，得 1 1 1,2 2C a b     与  2 0,0C 关于直线 2 1y x  对称， 则 1 12 ,1 2 2 1 1 2 22 1,2 2 b a b a             解得 8 5  a ， 4 5b  ，圆 1C 的半径 2 2 4 22 a b cr    ， 解得 16 5c   .故答案为： 16 5  【点睛】本题考查圆关于直线对称求参数的值，属于中档题. 15． 0x y－ ＝ 或 2 0x y＋ － ＝ 【分析】在坐标轴上截距相同可设直线截距式方程，将点 A(1,1)代入直线方程即可. 【详解】（1）当直线的截距不为 0 时即不经过原点， 设直线方程是： 1x y a a   12 因为直线过点 A(1,1) 所以 1 1 1a a   解得 a=2 即直线方程是 2 0x y＋ － ＝ （2）当直线经过原点时方程为： 0x y－ ＝ 综上所述直线方程为： 0x y－ ＝ 或 2 0x y＋ － ＝ 【点睛】本题考查利用直线截距式方程求解直线问题，利用直线截距式方程求解的关键是:截距式方 程没有把平面内的所有制直线都包含在内，将经过原点的直 线和平行于坐标轴的直线遗漏了，因此需要将这两类直线单 独计算，以防遗漏. 16．7【分析】根据题意,算出圆 M 关于直线 l 对称的圆 M  方 程为 2 2( 3) 1x y   .当点 P 位于线段 NM 上时,线段 AB 的 长就是 AC BC 的最小值,由此结合对称的知识与两点间 的距离公式加以计算,即可得出 AC BC 的最小值. 【详解】设圆 M  是圆 2 2: ( 3) 1M x y   关于直线 0x y  对称的圆, 可得 ( 3,0)M  ,圆 M  方程为 2 2( 3) 1x y   , 可得当点 C 位于线段 NM 上时,线段 AB 长是圆 N 与圆 M  上两个动点之间的距离最小值, 此时 AC BC 的最小值为 AB, (3,8)N ,圆的半径 2R  , 2 2( 3 3) 8 10NM      , 可得 10 2 1 7AB NM R r      因此 AC BC 的最小值为 7, 13 故答案为 7. 点睛：圆中的最值问题往往转化动点与圆心的距离问题，本题中 CA CB 可以转化为 3CN CM  ，再利用对称性求出 CN CM 的最小值即可． 17．（1） 4 3 2 0x y   （2）1 【分析】(1)与 l 垂直的直线方程可设为 4 3 0x y c   ，再将点 2,2 代入方程可得；(2)先求两 直线的交点，再用点到直线的距离公式可得点到直线 l 的距离． 【详解】解：(1)设与直线3 4 2 0x y+ = 垂直的直线方程为 4 3 0x y c   ,把 ( 2,2) 代入，得 8 6 0c    ，解得 2c  , ∴所求直线方程为 4 3 2 0x y   . (2)解方程组 1 0, 2 2 0, x y x y        得 1, 0, x y    ∴直线 1 0x y   与 2 2 0x y   的交点为 (1,0) ,点 (1,0) 到直线3 4 2 0x y+ = 的距离 | 3 1 4 0 2 | 1 9 16 d       . 【点睛】本题考查两直线垂直时方程的求法和点到直线的距离公式． 18．（1） 2 2( 2) ( 1) 25x y    ，（2） 3x   或12 5 46 0x y   【分析】（1）根据题意，设所求圆的一般方程为 2 2 0x y Dx Ey F     ，将三点坐标代入计算可 得 , ,D E F 的值，即可得圆C 的一般方程，变形可得答案； （2）根据题意，分析圆C 的圆心与半径，进而分别讨论直线 l 的斜率存在与不存在时直线 l 的方程， 综合即可得答案 【详解】解：（1）设所求圆的一般方程为 2 2 0x y Dx Ey F     ，则 14 1 25 5 0 25 25 5 5 0 36 4 6 2 0 D E F D E F D E F                  ，解得 4, 2, 20D E F      ， 所以所求圆的一般方程为 2 2 4 2 20 0x y x y     ，即 2 2( 2) ( 1) 25x y    ， 所以圆C 的标准方程为 2 2( 2) ( 1) 25x y    ， （2）由（1）可知圆C ： 2 2( 2) ( 1) 25x y    的圆心 (2,1)C ，半径为 5， 若直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为 3x   ，圆心 (2,1)C 到直线l 的距离 5d  ，与圆相切， 符合题意， 若直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为 k ，则直线l 的方程为 2 ( 3)y k x   ，即 3 2 0kx y k    ，则有 2 5 1 5 1 kd k    ，解得 12 5k  ， 所以直线l 的方程为12 5 46 0x y   ， 综上，直线l 的方程为 3x   或12 5 46 0x y   【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，涉及圆的标准方程，考查直线方程的求法，属于基础题 19．（1） 2 1 0x y   ；（2） 1 4 【分析】（1）解方程组 4 0 2 0 x y x y        ，得  1,3P ，由l 平行于直线 2 1 0x y   ，设直线l 的方 程为 2 0x y m   ，由此能求出直线l 的方程． （2）在直线 : 2 1 0l x y   中，令 0x  ，得 1y  ；令 0y  ，得 1 2x   ．由此能求出直线l 与两 坐标轴围成的三角形的面积． 【详解】解：（1）直线l 经过直线 1 : 4 0l x y   与直线 2 : 2 0l x y   的交点 P ， 15 解方程组 4 0 2 0 x y x y        ，解得 1 3 x y    ，即  1,3P ， l 平行于直线 2 1 0x y   ， 设直线l 的方程为 2 0x y m   ， 把  1,3P 代入，得 2 3 0m   ，解得 1m  ， 直线l 的方程为 2 1 0x y   ． （2）在直线 : 2 1 0l x y   中， 令 0x  ，得 1y  ；令 0y  ，得 1 2x   ． 直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积： 1 1 112 2 4S      ． 【点睛】本题考查直线的方程的求法，考查直线与两坐标轴围成的面积的求法，解题时要认真审题， 注意直线方程性质的合理运用，属于基础题． 20．（1）详见解析（2） 3 4m   ．此时，弦长为 4 5 【分析】（1）将直线化成  : 4 2 7 0l x y m x y      ，由 4 0 2 7 0 x y x y        得到交点坐标为直 线过的定点，再判断点在圆内，从而证明直线与圆恒有两个交点； （2）当直线l 被圆 C 截得的线段最短时，直线l 垂直 CP ，再利用弦长公式 222 r CP ，求得弦 长为 4 5 。 【详解】（1）直线  : 4 2 7 0l x y m x y      ，必过直线 4 0x y   与直线 2 7 0x y   的 16 交点．联立方程 4 0 2 7 0 x y x y        ，解得 3 1 x y    ，所以直线过定点  3,1P ．    2 23 1 1 2 25    ，即点 P 在圆内， 直线与圆 C 恒相交于两点。 （2）当直线l 被圆C 截得的线段最短时，直线l 垂直 CP ． 1 2 1 3 1 2CPk    ，直线 l 的斜率 2k  ，则 2 1 21 m m   ，解得 3 4m   ． 此时，弦长 222 2 25 5 4 5r CP     。 【点睛】本题考查直线过定点、点与圆的位置关系、圆的弦长公式等知识，注意直线过定点的求解 方法是把直线看成关于 m 的方程，再从方程的角度求得定点坐标。 21．(1) 2 2 8 0x y x   ;(2) 2 2 8 8 03 3x y x    【分析】(1) 求点的轨迹方程的步骤:建立坐标系设出所求点的坐标,写出所求点的关系式,关系式坐标 化整理化简,即可求得结果;(2) 先确定过两圆交点的圆系方程,再将 M 的坐标代入,即可求得所求圆 的方程. 【详解】(1)设 ( , )P x y ,因为 ( 4,0), (2,0)A B ,| | 2| |PA PB ,所以 2 2 2 2( 4) 2 ( 2)x y x y     , 整理得 2 2 8 0x y x   ,所以曲线C 的方程为 2 2 8 0x y x   . (2)设所求方程为  2 2 2 24 8 0x y x y x      ,即 2 2(1 ) (1 ) 8 4 0x y x        ,将 (2, 2)M  代入上式得 2 2(1 ) 2 (1 ) ( 2) 8 2 4 0            ,解得 1 2   , 所以所求圆的方程为 2 2 8 8 03 3x y x    . 【点睛】本题考查轨迹法求曲线方程,考查过两圆的交点的圆的方程,运用交点系方程是本题的关键， 17 难度较易. 22．（1） 2 2 4x y  ；（2） 1y  . 【分析】（1）根据题意可得圆 M 的方程为 2 2 2 4x a y a    ，求出圆心到直线 2 0x y   的 距离，结合 M 截直线 2 0x y   所得弦长为 2 2 ,利用勾股定理列方程可得 a 的值，代入圆 M 的 方程即可得结果；（2）设直线l 的方程为 1y kx  ，结合直线与圆的位置关系可得 AB 的值，求 出点 P 到直线 AB 的距离，由三角形面积公式可得 2 2 1 3 43 3 32 1 kd AB k       ，解得 k 的值， 代入直线l 的方程即可得结果． 【详解】（1）根据题意，圆 M 的圆心 ,0a 且经过点 0, 2 ，则圆 M 的方程为  2 2 2 4x a y a    ， 圆心 M 到直线 2 0x y   的距离 2 2 ad  ， 若圆 M 截直线 2 0x y   所得弦长为 2 2 ， 则有 2 2 222 2 42 2 a a              ， 解可得： 0a  ， 则 2 2 4 4r a   ， 则圆 M 的方程为 2 2 4x y  ； （2）根据题意，设直线l 的方程为 1y kx  ，即 1 0kx y   ， 圆 M 的方程为 2 2 4x y  ，则圆心 M 到直线l 的距离 2 1 1 d k   ， 18 则 2 2 2 2 3 42 2 1 kAB r d k      ， 又由  0, 2P  ，则 P 到直线l 的距离 2 2 2 1 3' 1 1 d k k     ， 若 PAB△ 的面积为3 3 ，则 2 2 1 3 43 3 32 1 kd AB k       ， 解可得： 0k  ， 则直线l 的方程为 1y  ． 【点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆方的位置关系，以及点到直线的距离公式与三角形面积 公式的应用，涉及直线与圆相交弦长的计算，属于基础题．求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长 公式 2 1 21l k x x   ，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形， 利用勾股定理求解.