2020-2021学年四川省南充市阆中中学高二（仁智班）上学期期中考试数学（理）试题 Word版

1 南充市阆中中学 2020-2021 学年高二（仁智班）上学期期中考试 数 学 试 题 （理） 一．选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1. 若直线 0343  yx 与直线 026  myx 平行，则它们之间的距离为 A.1 B. 2 1 C. 5 2 D. 5 4 2. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 3．将一个总体分为甲、乙、丙三层，其个体数之比为 5∶4∶1，若用分层抽样的方法抽 取容量为 250 的样本，则应从丙层中抽取的个体数为 A．25 B．35 C．75 D．100 4．已知 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下 列命题正确的是 A．若 //m  ， //n  ，则 //m n 2 B．若  ，   ，则 //  C．若 m  ， n   ， //m  ， n// ，则 //  D．若 m  ， n  ，且  ，则 m n 5.《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大位 所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成 了由筹算到珠算的转变，对我国民间普及珠算起到了重 要的作用.如果所示的程序框图的算法思路源于该著作 中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图，若输出的 m 的 值为 0，则输入的 a 的值为 A． 21 8 B． 45 16 C． 93 32 D．189 64 6．在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， E 为棱 1CC 的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角 的正切值为 A． 2 2 B． 3 2 C． 5 2 D． 7 2 7．在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 2AB AC BC   ， 1 1AA  ，则点 A 到平面 1A BC 的距离为 A． 3 4 B． 3 2 C． 3 3 2 D． 3 8. 已知圆 1C ： 2 2 2 0x y kx y    与圆 2C ： 2 2 4 0x y ky    的公共弦所在直线 3 恒过定点 ( )P a b， ,且点 P 在直线 2 0mx ny   上,则 2 2+m n 的取值范围是 A． 1( , )2  B． 1( , ]4  C． 1[ , )2  D． 1( , )4  9．已知 A ， B ，C ， D 是同一球面上的四个点，其中 ABC 是正三角形， AD  平面 ABC ， 2 12AD AB  ，则该球的表面积为 A． 64 3 B．96 C．192 D． 48 10.若动点    1 1 2 2, , ,A x y B x y 分别在直线 1 : 7 0l x y   和 2 : 5 0l x y   上移动， 则 AB 中点 M 到原点距离的最小值为 A．3 2 B． 2 3 C．3 3 D． 4 2 11.若方程 21 4 2 4x kx k     有两个相异的实根，则实数 k 的取值范围是 A.     4 3,3 1 B.      4 3,3 1 C.      4 3,12 5 D.     4 3,12 5 12.已知点 ( , 1),P t t t R  ，点 E 是圆 2 2 1 4x y  上的动点，点 F 是圆 2 2 9( 3) ( 1) 4x y    上的动点，则 PF PE 的最大值为 A． 2 B． 5 2 C．3 D． 4 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.若 ,x y 满足约束条件 2 2 0 3 0 , 2 x y x y x          则 2z x y  的最大值为_______________. 14.若六进制数 )6(051m （ m 为正整数）化为十进制为 293 ，则 m ______________. 4 15.已知直线 2 0ax y   与圆心为C 的圆   2 21 4x y a    相交于 ,A B 两点，且 ABC 为等边三角形，则实数 a  ______________. 16.学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体 ABCD 1111 DCBA 1 1 1 1ABCD A B C D 挖去四棱锥 O—EFGH 后所得几何体，其中 O 为长方体的 中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点， 16cm 4cmAB = BC = , AA = ，3D 打印所 用原料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打印损耗， 制作该模型所需原料的质量为___________. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，其中第 1 小题 10 分，其余各小题 12 分，解答时应 写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分 10 分）已知圆 C 经过点 A(2，－1)，和直线 x＋y＝1 相切，且圆心在 直线 y＝－2x 上. （1）求圆 C 的方程； （2）已知直线 l 经过（2,0）点，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程. 18．（本小题满分 12 分）已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是菱形， PD  平面 ABCD， 2AD PD  ， 60DAB   ，F，G 分别为 PD，BC 中点， AC BD O . （Ⅰ）求证： FG∥平面 PAB； （Ⅱ）求三棱锥 A PFB 的体积； 5 19．（本小题满分 12 分）如图，在三棱锥 A BCD 中，顶点 A 在底面 BCD上的投影O 在棱 BD上， 2AB AD  ， 2BC BD  ， 90CBD   ， E 为CD 的中点． （1）求证： AD  平面 ABC ； （2）求二面角 B AE C  的余弦值； 20.（本小题满分 12 分）已知点  0 0,M x y 在圆 2 2: 4O x y  上运动，且存在一定点  6,0N ，点  ,P x y 为线段 MN 的中点. （1）求点 P 的轨迹C 的方程； （2）过  0,1A 且斜率为 k 的直线l 与点 P 的轨迹C 交于不同的两点 ,E F ，是否存在 实数 k 使得 12OE OF   ，并说明理由. 21.（本小题满分 12 分）如图，四边形 ABCD 为正方形， E ， F 分别为 AD ， BC 的中点， 以 DF 为折痕把 DFC△ 折起，使点C 到达点 P 的位 6 置，且 PF BF⊥ ． （1）证明：平面 PEF ⊥平面 ABFD ； （2）求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值． 22．（本小题满分 12 分）已知圆 2 2: 6 6 3 0C x x y y     ，直线 : 2 0  l x y 是圆 E 与圆C 的公共弦 AB 所在直线方程，且圆 E 的圆心在直线 2y x 上． （1）求圆 E 的方程； （2）过点  1,0Q  分别作直线 MN ， RS ，交圆 E 于 M ， N ， R ， S 四点，且 MN RS⊥ ，求四边形 MRNS 面积的最大值与最小值． 7 8 阆中中学 2020 年秋高 2019 级期中教学质量检测（仁智） 数学参考答案（理科） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D D A D C C B C C A D D 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 13. 9 14. 2 15. 154  16. 8.118 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(1)设圆心的坐标为 C (a，－2a)， 则 2 2( 2) ( 2 1)a a    ＝ | 2 1| 2 a a  . 化简，得 a2－2a＋1＝0，解得 a＝1. 所以 C 点坐标为(1，－2)，半径 r＝|AC|＝ 2 2(1 2) ( 2 1)    ＝ 2 . 故圆 C 的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2. (2)①当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x＝2，此时直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2， 满足条件. ②当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝k（x—2），即 kx-y-2k=0 由题意得 2 2 1 1 k k    ，解得 k＝ 3 4 ，则直线 l 的方程为 y＝ 3 4 （x-2）. 综上所述，直线 l 的方程为 x＝2 或 3x-4y-6＝0. 18.（Ⅰ）如图，连接 OF ，OG ∵O 是 BD中点， F 是 PD 中 点， 9 ∴ / /OF PB ，而OF  平面 PAB ， PB  平面 PAB ， ∴ / /OF 平面 PAB ， 又∵O 是 AC 中点，G 是 BC 中点， ∴ / /OG AB ，而OG  平面 PAB ， AB Ì平面 PAB ， ∴ //OG 平面 PAB ，又OG OF O ∴平面 / /OFG 平面 PAB ，即 / /FG 平面 PAB . （Ⅱ）∵ PD  底面 ABCD ，∴ PD AO ，又四边形 ABCD 为菱形， ∴ BD AO ，又 AD DB D ，∴ AO  平面 PDB ，而 F 为 PD 的中点， ∴ 1 1 1 1 32 2 sin 60 22 4 4 3 3A PFB A PDB P ABCDV V V             . 19.（1）因为顶点 A 在底面 BCD 上的射影O 在棱 BD上， 所以 AO  平面 BCD ，因为 AO  平面 ABD ，所以平面 ABD  平面 BCD ， 因为 90CBD   ，所以 BC BD ，因为平面 ABD  平面 BCD BD ， BC 平面 BCD，所以 BC ⊥平面 ABD ，又 AD 平面 ABD ，所以 BC AD ， 由 2AB AD  ， 2BD  ，得 2 2 2BD AB AD  ，所以 AD AB ， 因为 AB BC B  且 AD  平面 ABC ， AB Ì平面 ABC ， BC 平面 ABC ， 所以 AD  平面 ABC . （2）连接 OE ， 因为O 为 BD的中点， E 为 CD 的中点， / /OE BC ，所以OE BD ， 10 如图，以O 为坐标原点，分别以OE ，OD ，OA为 x 轴，y 轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系， (0,0,0), (0,0,1), (0, 1,0) , (2, 1,0) , (0,1,0), (1,0,0)O A B C D E  ， (2, 1, 1) , (0, 1, 1) , (1,0, 1)AC AB AE          ， 设 ( , , )n x y z 为平面 ABE 的一个法向量， 则 0 0 n AB y z n AE x z              .取 1x  ，得 (1, 1,1)n   ， 设平面 ACE 的一个法向量 ( , , )m a b c ，则 0 2 0 m AE a c m AC a b c              ，取 1c  ，则 (1,1,1)m  . 设 二面角 B AE C  的平面角为 ， 则 | | 1 1cos | | | | 33 3 m n m n          ， 所以二面角 B AE C  的余弦值为 1 3 . 20.（1）由中点坐标公式，得 0 0 6 2 2 xx yy     即： 0 2 6x x  ， 0 2y y . ∵点  0 0,M x y 在圆 2 2 4x y  上运动，∴ 2 2 0 0 4x y  ， 即   2 22 6 2 4x y   ，整理，得 2 23 1x y   . ∴点 P 的轨迹C 的方程为 2 23 1x y   . （2）设  1 1,E x y ，  2 2,F x y ，直线 l 的方程是 1y kx  ，代入圆 2 23 1x y   . 可得   2 21 2 3 9 0k x k x     ，由 232 24 0k k     ，得 3 04 k   ， 11 且   1 2 2 2 3 1 kx x k    ， 1 2 2 9 1x x k   ，∴     2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 1y y kx kx k x x k x x       2 2 9 1 k k     2 2 3 11 k k k    2 2 8 6 1 1 k k k    . 2 1 2 1 2 2 8 6 10 121 k kOE OF x x y y k          . 解得 1 2k  或 1，不满足 0  .∴不存在实数 k 使得 12OE OF   . 21.（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以 BF⊥平面 PEF. 又 平面 ABFD，所以平面 PEF⊥平面 ABFD. （2）作 PH⊥EF，垂足为 H.由（1）得，PH⊥平面 ABFD. 以 H 为坐标原点， 的方向为 y 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 H−xyz. 由（1）可得，DE⊥PE.又 DP=2，DE=1，所以 PE= .又 PF=1， EF=2，故 PE⊥PF. 可得 . 则 为平面 ABFD 的法向量. 设 DP 与平面 ABFD 所成角为 ，则. 3sin 4 HP DP HP DP           所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 . 12 22.（1）圆 E 的圆心在直线 2y x 上，设圆心 ( ,2 )E a a ，由题意得 CE l ， 2 3 1 03 a aa     ， 即 (0,0)E ，E 到 l 的距离 2 2 2 2 d   ，所以 E 的半径 2 2 2 2 1( ) 2 7 32r d AB     ，所以 圆 E 的方程： 2 2 9x y  ； （2）当过点 ( 1,0)Q  的互相垂直的直线 MN ， RS 为 x 轴，垂直于 x 轴时， 2| | 2 6MN r  ，这时 直线 RS 的方程为 1x   ，代入到圆 E 中，| | 2 2y  ， 所以| | 4 2RS  ，四边形 MRNS 的面积 1 1| | | | 6 4 2 12 22 2s MN RS      ； 当过点 ( 1,0)Q  的互相垂直的直线 MN ， RS 不垂直于 x 轴时， 设直线 MN 为： 1 1x my x my     ，则直线 RS 为： ( 1) 0y m x mx y m       ， 所以圆心 E 到直线 MN 的距离 2 1 1 h m   ，圆心 E 到直线 RS 的距离 2 | | 1 mh m    ， 2 2 2 1| | 2 2 9 1MN r h m      ， 2 2 2 1| | 2 9 2 81 1 mRS m m      ， 设 2 1 (0 1)1t tm    ，当 0t  或 1 时，正好是 x 轴及垂直 x 轴， 面积 21 2 9 2 8 2 722s t t t t         ， 当 1 2t  时， s 最大且 17s  ， 0t  或 1 时， s 最小12 2 ， 四边形 MRNS 面积的最大值 17，最小值12 2 ． 13