2020-2021学年四川省高二上学期期中考试数学（理）试题 Word版

1 四川省 2020-2021 学年高二上学期期中考试 数学试题（理科） (时间：120 分钟 满分：150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1．若点  2,1A ，圆的一般方程为 2 2 2 4 1 0x y x y     ，则点 A 与圆位置关系（ ） A．圆外 B．圆内且不是圆心 C．圆上 D．圆心 2．直线 2 5 0x y   的纵截距是（ ） A．5 B．－5 C． 5 2 - D． 5 2 - 3．已知数列 na 满足 1 1a  ， 1 6n na a   ，在 5a  （ ） A．25 B．30 C．32 D．64 4．已知 m n、 是不重合直线，  、 、 是不重合平面，则下列说法 ①若    、 ，则 ∥  ② m n  、 ，则 m ∥ n ③若 ∥  、 ∥  ，则 ∥ ④若 m   、 ，则 m ∥ 正确的是 A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 5．设变量 y,x 满足约束条件 x＋2y≥2， 2x＋y≤4， 4x－y≥－1， 则目标函数 yxz -3= 的最大值是( ) A．－6 B． 2 3 C．6 D．－3 2 6．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体 的三视图，则该几何体的体积为（ ） A．36 B．72 C．108 D．216 7．若点 ( )12 -- ,A 在直线 3 0mx ny   上，其中 m n、 均为正数，则 1 2 m n  的最小值为 （ ） A．2 B． 4 3 C．6 D． 8 3 2 8 ． 在 三 棱 锥 A BCD 中 ， AB  面 , 4, 2 5, 2BCD AB AD BC CD    ， 则 三 棱 锥 A BCD 的外接球表面积是（ ） A． 2 5 B． 5 C． 5 D． 20 9．已知圆  22 1 :( 1) -3 9C x y   和 2 2 2 : -4 2 -11 0C x y x y   ，则这两个圆的公共弦长为 （ ） A． 12 5 B． 24 5 C． 9 5 D． 1 5 1 0 . ABC 中 ， 内 角 C,B,A 的 对 边 分 别 为 ,,, cba 1,2 3 2 cos ,a b c a C   3sin 2C  ， 则 ABC 的面积为（ ） A. 3 2 B. 3 4 C. 3 2 或 3 4 D. 3 或 3 2 1 1 ． 已 知 直 线      : 2 1 1 1 0l k x k y k R      与 圆    2 21 2 25x y    交 于 A ， B 两点，则弦长 AB 的取值范围是（ ） A． 4,10 B． 3,5 C． 8,10 D． 6,10 12. 四棱锥 ABCDS - 中，底面是边长为 22 的菱形 60∠ =BADABCD， ， SA  平面 ABCD , 且 2 2SA  ， E 是边 BC 的中点，动点 P 在四棱锥 ABCDS - 表面上运动，并且总保持 ，ACPE ⊥ 则动点 P 的轨迹周长为（ ） A． 242+ B． 342+ C． 222+ D． 322+ 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上) 13．已知一个圆柱的表面积等于侧面积的 3 2 ，且其轴截面的周长为 16，则该圆柱的体积为______. 14．已知 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 3a  ， 4b  ， 33c  ， 则 BC 边上的高为___________. 15．如图，在四面体 ABCD 中，AB CD ，M 、N 分别是 BC 、 AD 的中点，若 AB 与CD 所成的角的大小为 30°，则 MN 和 CD 所成的角的大小为____________. 3 16. 数列 }{ na 满足 n n n nnn abaaaaa 2,9 1,11-21 51 12   ， ， 则数列 }{ nb 的前 n 项和为 nS =___________. 三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题 10 分）已知直线 1 : 6 0l x my   ， 2 :( 2) 3 2 0l m x y m    . （1）若 1 2l l ，求 m 的值； （2）若 1 2l l// ，求 m 的值. 18.（本小题 12 分）如图，在直三棱柱 111 CBAABC  中，已知 1, CCBCBCAC  ，设 1AB 的中点为 D ， EBCCB 11  ．求证： （1） DE // 平面 CCAA 11 ； （2） 1BC 平面 CAB1 ． 19.（本小题 12 分）已知等差数列{ }na 中， 0d ， 2 3a  ，且 1 3 41, 1, 1a a a   成等比数列. （1）求{ }na 的通项公式； （2）已知 1 1 .n n n b a a   ，{ }nb 前项和为 nS ，若 89  nSn ，求 n 的最大值. 20.（本小题 12 分）在三角形 ABC 中， , ,A B C 的对边分别为 , ,a b c ，已知 3cos sin3a b C c B  . （1）求 B ； （2）若 AD 为 BAC 的平分线，且 2 4BD DC  ，求 c . 4 21.（本小题 12 分）如图所示，三棱柱 111 CBAABC  中，侧面 CCBB 11 是边长为 2 的正方形， 11AACC 是菱形， oCAA 601  ，且平面 CCBB 11 垂直平面 11AACC ， M 为 1 1AC 中点. （1）求证：平面 MBC  平面 1 1 1A B C ； （2）求二面角 CAAB  1 平面角的正弦值. 22.（本小题 12 分）已知圆 M 与直线 0473  yx 相切于点 )7,1( ，圆心 M 在 x 轴上. （1）求圆 M 的标准方程； （2）过点 M 且不与 x 轴重合的直线与圆 M 相交于 BA, 两点，O 为坐标原点，直线 OBOA, 分别与 直线 8x 相交于 DC, 两点，记 OCDOAB  , 的面积为 21,SS ，求 2 1 S S 的最大值. 5 2020—2021 学年度上学期期中考试 高 2019 级数学试题（理科）答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D A B C A D D B C D D 二、填空题 13.16 14. 8 2 3 15.15 或 75 16. 62)32( 1  nn 三、解答题 17.解：（1）因为 1 2l l ，所以 03)2(  mm ，所以 2 1m （4 分） （2）当 1 2l l// 或重合时， 0)2(3  mm ， 13  mm 或 （8 分） 当 3m 时， 063:,063: 21  yxlyxl ，此时两直线重合，不符合。 当 1m 时， 0233:,06: 21  yxlyxl ，此时两直线平行，满足条件。 综合： 1m （10 分） 18.证明：（1）因为四边形 BB1C1C 为正方形，B1C∩BC1=E，所以 E 为 B1C 的中点， 又 D 为 AB1 的中点，因此 DE∥AC． 又因为 DE⊄ 平面 AA1C1C，AC⊂平面 AA1C1C， 所以 DE∥平面 AA1C1C． （5 分） （2）因为棱柱 ABC-A1B1C1 是直三棱柱，AA1⊥底面 ABC 所以 CC1⊥平面 ABC．因为 AC⊂平面 ABC，所以 AC⊥CC1． 又因为 AC⊥BC，CC1⊂平面 BCC1B1，BC⊂平面 BCC1B1，BC∩CC1=C， 所以 AC⊥平面 BCC1B1．又因为 BC1⊂平面 BCC1B1，所以 B1C⊥AC． （9 分） 因为 BC=CC1，所以矩形 BCC1B1 是正方形，因此 BC1⊥B1C． 因为 AC，B1C⊂平面 B1AC，AC∩B1C=C，所以 BC1⊥平面 AB1C． （12 分） 19.解：（1）因为 1 3 41, 1, 1a a a   成等比数列，所以 )1)(1()1( 41 2 3  aaa （2 分） 因为 ddaaddaaddaa 232,3,3 242321  ，所以 6 )24)(4()2( 2 ddd  ，所以 42 d , 2d 所以 12)2(23)2(2  nndnaan （6 分） （2）因为 12  nan ，所以 121  nan ， )12 1 12 1(2 1 )12)(12( 1  nnnnbn 12)12 11(2 1)12 1 12 1 12 1 32 1...5 1 3 1 3 11(2 1  n n nnnnnSn （9 分） 即 812 9  nn n ，整理可得： 0432  nn ，所以 41-  n ，所以 n 的最大值为 3. （12 分） 20. 解（1）因为 3cos sin3a b C c B  ，所以 BCCBA sinsin3 3cossinsin  又因为 CBCBCBA sincoscossin)sin(sin  ，所以 BCCB sinsin3 3sincos  。因为 0sin C ，所以 3tan,sin3 3cos  BBB ， 3 B . （5 分） （2） BAD 中，由正弦定理得： BDA AB BAD BD  sinsin CAD 中，由正弦定理得： CDA AC CAD CD  sinsin 因为 CADBADCDABDA  sinsin,sinsin ，所以 2 1 AC AB CD BD （10 分） 在 ABC 中，令 xAB  ，则 xAB 2 ，由余弦定理可得： 2 1 62 436cos 22   x xxB ，解得： 113 x ，即 113 c （12 分） 21.解（1）因为平面 CCBB 11 垂直平面 11AACC ，平面 CCBB 11  平面 11AACC 1CC 1111111 , CCCBCCBBCB  面 ,所以 AACCCB 1111 面 。 （2 分） 又 AACCCM 11面 ，所以 CMCB 11 。 （3 分） 又 11AACC 是菱形， oCAA 601  ，所以三角形 11ACC 为等边三角形， M 为 1 1AC 中点.，所以 11CACM  。 （4 分） 7 又 111111111111 BCACBCACCBCA 面，且  ，所以 111 BCACM 面 ，又 BCMCM 面 ,所以 平面 MBC  平面 1 1 1A B C 。 （5 分） （2）过点C 作 1AA 垂线，垂足为 M （ M 为 1AA 中点），连接 MB .由（1）可知 AACCCB 1111 面 ， AACCAA 111 面 ,所以 CMCB 11 , 11// CBBC ,所以 BCAA 1 又因为 CBCCMCMAA  ,1 ,所以 BCMAA 面1 ,所以 1AABM  。 又因为 MCMBMCAACMBAABM  ，面，面 11 ,所以 CMB 为二面角的平面角。 10 分） 三角形CMB 中, 3 2tan  CM BCCMB 所以 7 72 7 2sin CMB （12 分） 22.解：（1）由题可知，设圆的方程为 222)( ryax  ， 1 7 3 1 77)1 22  ara ，（ 解得 44  ra ， ，所以圆的方程为 16)4( 22  yx 。 （4 分） （2）由题意知， 2 AOB ,设直线OA的斜率为 )0( kk ，则直线OA的方程为 kxy  ， 由      0822 xyx kxy 得 08)1( 22  ， 解 得             2 2 1 8 1 8 0 0 k ky kx y x 或 ， 则 点 A 的 坐 标 为 )1 8,1 8( 22 k k k  （6 分） 又直线的斜率为 k 1 同理可得：点 A 的坐标为 )1 8,1 8( 22 2 k k k k  由题可知： )8,8(),8,8( kDkC  （8 分） 所以 OD OB OC OA OCOD OBOA S S . 2 1  8 又因为 2 2 1 1 8 1 8 k k x x OC OA C A  ，同理 2 2 1 k k OD OB  ， （10 分） 所以 4 1 21 1 12 2 2 24 2 2 1    kkkk k S S 当且仅当 1k 时等号成立。 所以 2 1 S S 的最大值为 4 1 （12 分）