2020-2021学年四川省仁寿第一中学南校区高二11月月考数学（理）试题 Word版

- 1 - 四川省仁寿第一中学南校区 2020-2021 学年高二 11 月月考 数学（理）试题 本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并用 2B 铅笔将考号准确填涂 2、作答选择题时，选出答案后用 2B 铅笔在答题卡对应题目选项答案信息涂黑；如需改动， 用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案。 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上；如需改动，先划掉原答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。 一、单项选择题（每题 5 分，共 60 分） 1、已知向量    2, / /, , 8a m b m a b    ，且 rrrr ,则 m  ( D ) A. 4 B.4 C. 2 D. 4 2、下列说法正确的是( B ) A．垂直于同一条直线的两条直线平行 B．垂直于同一个平面的两条直线平行 C．平行于同一个平面的两条直线平行 D．平行于同一个直线的两个平面平行 3、如图是正方体截去阴影部分所得的几何体，则该几何体的侧视图是( C ) 4、直线 : tan 60 3 0l x y    则直线l 的倾斜角 为( C ) - 2 - A．30 B． 60 C．120 D．150 5、设 OABC 是四面体，G1 是△ABC 的重心，G 是 OG1 上的一点，且 OG＝3GG1，若OG → ＝xOA → ＋yOB → ＋zOC → ，则(x，y，z)为( A ) A. 1 4 ，1 4 ，1 4 B. 3 4 ，3 4 ，3 4 C. 1 3 ，1 3 ，1 3 D. 2 3 ，2 3 ，2 3 （文科）若点 A(1,1),B(2,-3) 分别在直线 : 1 0l ax y   的两侧，则实数 a 的取值范围 是( B ) A．（-2，0） B．（0,2） C．（2,5） D．（-3，2） 6、设 ,m n 是两条不同的直线, , ,   是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 , / /m n  ,则 ,m n 为异面直线; ②若 / / , / /    ,则 / /  ; ③若 ,m m     ， ,则  ; ④若 , , / /m n m n   ,则  . 则上述命题中真命题的序号为( C ) A.①② B.③④ C.②③ D.②④ 7、直线 ( 2) m( 3) 0 )x x y m R     （ 过下面哪个定点（ C ） A．（4，0） B．（0,4） C．（2,5） D．（3，2） 8、已知 , ,A B C 为球O 的球面上的三个点，圆 1O 为 ABC 的外接圆，若圆 1O 的面积为 4π ， 1AB BC AC OO   ，则球 O 的表面积为( D ) A. 32π B.36π C. 48π D. 64π 9、已知向量 ,a b ,且 2 , 5 6 ,CD 7 2 ,AB a b BC a b a b               则一定共线的三点是 ( A ) A、 A,B,D B、 A,B,C C、 B,C,D D、 A,C,D (文科)在正三棱柱 1 1 1ABC A B C 中,侧棱长为 2 ,底面三角形的边长为 1,则 1BC 与侧面 1 1ACC A 所成角的大小为( A ) A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 - 3 - 10、已知直线 2 0ax y a    在两坐标轴上的截距相等，则实数 (a  D ) A．1 B． 1 C． 2 或 1 D．2 或 1 11、动点 P 在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的对角线 1BD 上,过点 P 作垂直于平面 1 1BB D D 的直 线, 与正方体表面相交于点 , .M N 设 , ,BP x MN y  则函数  y f x 的图象大致是 ( D ) A. B. C. D. 12、在直三棱柱 A1B1C1—ABC 中，∠BAC= 2  ，AB=AC=AA1=1，已知 G 与 E 分别为 A1B1 和 CC1 的中点，D 与 F 分别为线段 AC 和 AB 上的动点（不包括端点），若 GD⊥EF，则线段 DF 的 长度的取范围为（ A ） A． )1, 5 1[ B． )2,5 1[ C． )2,1[ D． )2, 5 1[ 解析：建立直角坐标系，以Ａ为坐标原点，ＡＢ为ｘ轴，ＡＣ为ｙ轴，ＡＡ１为ｚ轴，则 1( ,0,0)F t （ 10 1t  ）， 1(0,1, )2E ， 1( ,0,1)2G ， 2(0, ,0)D t （ 20 1t  ）.所以 1 1( , 1, )2EF t   ， 2 1( , , 1)2GD t   . 因 为 GD EF ， 所 以 1 22 1t t  ， 由 此 推 出 2 10 2t  . 又 1 2( , ,0)DF t t  ， 2 2 1 2DF t t  2 2 2 2 2 2 15 4 1 5( )5 5t t t      ，从而有 .1||5 1  DF （文科 12）数学家欧拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直 线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉 线.已知 ABC△ 的顶点 ( ), (2, 4)0 0,A B ，且 AC BC ，则 ABC△ 的欧拉线的方程为（ B ） A. 2 3 0x y   B. 2 3 0x y   C. 2 3 0x y   D. 2 3 0x y   - 4 - 二、填空题（每题 5 分，共 20 分） 13、已知 a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，则 c＝________．2 （文科）若 ,x y 满足约束条件 0, 2 6, 2, x y x y x y         则 3z x y  最大值是________． 8 14 、 若 直 线 1 : ( 6) 2l y k x   与 直 线 2l 关 于 点 2,1（ ） 对 称 ， 则 直 线 2l 恒 过 定 点 ___________. (-2,4) 15、如图所示，扇形的中心角为 90°，弦 AB 将扇形分成两个部分,这两部分各以 AO 为轴旋 转一周，求这两部分旋转所得旋转体体积 1V 和 2V 之比为__________.1:1 16、在四面体 ABCD 中,面 BAC，CAD，DAB 都是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，且腰长为 a ,过 D 做截面 DEF 交面 ABC 于 EF,若 EF//BC,且将四面体的体积二等分，则面 DEF 与面 BCD 的夹角正切值为________. 5 2-6 7 （文科 16）．设 m∈R，过定点 A 的动直线 x＋1+my＝0 和过定点 B 的动直线 mx－y－m＋3 ＝0 交于点 P(x，y)，则 3 |PA|+|PB|的最大值是___ _____． 2 13 三、解答题（共 70 分） 17、(本小题 10 分) 已知直线 1 : 6 0l x my   ， 2 :( 2) 3 2 0l m x y m    . (1)若 1 2l l ，求 m 的值； (2)若 1 2l l// ，求 m 的值. 解：（1）∵直线 l1：x+my+6＝0，l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0， 由 l1⊥l2 ，可得 1×（m﹣2）+m×3＝0，解得 1 2m  ． （2）由题意可知 m 不等于 0, - 5 - 由 l1∥l2 可得 2 3 2 1 8 m m m    ，解得 m＝﹣1． 18、如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形， 90BAD CDA     ， PA  面 ABCD， 1, 2PA AD DC AB    . (1)证明:平面 PAC⊥平面 PBC； (2)求点 D 到平面 PBC 的距离. 解（1）证明：在直角梯形 ABCD 中，由 90BAD CDA     ， 1, 2AD DC AB   ， 得 2, 2AC BC  ，∴ 2 2 2AC BC AB  ，∴ AC BC ， 又 PA  面 ABCD ，∴ PA BC ， PA AC A ，∴ BC ⊥平面 PAC ， BC 平面 PBC ， ∴平面 PAC ⊥平面 PBC ； （2）由（1）得 BC PC ， 3PC  ， 1 1 63 22 2 2PBCS PC BC       ， 1 1 11 12 2 2DBCS DC AD       ， 1 1 1 113 3 2 6P BDC DBCV S PA       ． 设点 D 到平面 PBC 的距离为 h ， 则 1 1 6 6 3 3 2 6D PBC PBCV S h h h     1 6P DBCV   ，∴ 6 6h  ， ∴点 D 到平面 PBC 的距离为 6 6 ． 19、(本小题 12 分) 已知直线l 经过直线 2x＋y－5＝0 与 x－2y＝0 的交点 P. - 6 - (1)点 A(5，0)到直线l 的距离为 3，求直线l 的方程； (2)点 A(5，0)到直线l 的距离的最大值时，求直线l 的方程． 解：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， 所以 |10＋5λ－5| （2＋λ）2＋（1－2λ）2 ＝3，解得λ＝1 2 或λ＝2. 所以直线 l 的方程为 x＝2 或 4x－3y－5＝0. (2)由 2x＋y－5＝0， x－2y＝0， 解得交点 P(2，1)，如图，过 P 作任一直线 l，设 d 为点 A 到直线 l 的距离， 则 d≤|PA|(当 l⊥PA 时等号成立)． 所以 dmax＝|PA|＝ 10.直线 l 的方程为 3x-y-5=0 20 、(本小题 12 分) 已知轴对称平面五边形 ADCEF（如图 1），BC 为对称轴，ADCD， AD = AB =1，CD =BC = 3 ，将此图形沿 BC 折叠成直二面角， 连接 AF、DE 得到几何体（如图 2） - 7 - A B C D E F A B F E C D (1) (2) - 8 - (1)证明：AF//平面 DEC； （2）求二面角 E—AD—B 的正切值。 解：（Ⅰ） 以 B 为坐标原点，分别以射线 BF、BC、BA 为 x 轴、 y 轴、z 轴的正方向建立如 图所示的坐标系.由已知与平面几何知识得， 3 3 3 3(0,0,1), (1,0,0), (0, , ), ( , ,0)2 2 2 2A F D E ， ∴ 3 3(1,0, 1), ( ,0, )2 2AF DE     ，∴ 2 3AF DE  ，∴AF∥DE， 又 DCEAFDCEDE 平面且平面  , AF ∥ DEC平面 …………………………6 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得 FEDA 、、、 四点共面， 3 1(1,0, 1), (0, , )2 2AF AD    ，设 n  平 面 ADEF ， ( , , )n x y z ，则 (1,0, 1) ( , , ) 0 0 3 1 3 0(0, , ) ( , , ) 02 2 x y z x z y zx y z            ，不妨令 1y   ，故 ( 3, 1, 3)n   ，由已知易得平面 ABCD 的一个法向量为 1 (1,0,0)n  ， ∴ 1 21cos , 7n n   ，∴二面角 E-AD-B 的正切值为 2 3 3 .…………………………12 分 - 9 - （文科）20 、(本小题 12 分) 如图所示，四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均为 2 17 .点 , , ,G E F H 分别是棱 , , ,PB AB CD PC 上共面的四点，平面GEFH  平面 ABCD ， BC 平面GEFH ； (1)证明： / /GH EF ； (2)若 2EB  ，求四边形GEFH 的面积。(18 ) 21、 (本小题 12 分) 如图，已知梯形 ABCD 中， //AD BC ， 90DAB   ， 2 4AB BC AD   ，四边形 EDCF 为矩形， 2DE  ，平面 EDCF 平面 ABCD． （1）求证：DF∥平面 ABE； （3）若点 P 在线段 EF 上，且直线 AP 与平面 BEF 所成角的正弦值为 2 21 63 ，求线段 AP 的 长． 【详解】（1）如下图所示，设CE DF O ，取 BE 的中点 M ，连接 AM 、 OM ， - 10 - 四边形 EDCF 为矩形，CE DF O ， O 为CE 的中点， M 为 BE 的中点， //OM BC 且 1 2OM BC ， //AD BC ， 1 2AD BC ， //OM AD 且OM AD ， 所以，四边形 ADOM 为平行四边形，则 //AM OD ，即 //AM DF ， AM  平面 ABE ， DF  平面 ABE ， //DF 平面 ABE ； （2）四边形 EDCF 为矩形，则 DE CD ，平面 ABCD  平面CDEF CD ，平面 ABCD  平面 CDEF ， DE  平面 CDEF ， DE  平面 ABCD ， 取 D 为原点， DA 所在直线为 x 轴， DE 所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则  2,0,0A 、  2,4,0B 、  0,0,2E 、  2,4,2F  ， 点 P 在线段 EF 上，设    2,4,0 2 ,4 ,0EP EF         ， - 11 -      2,0,2 2 ,4 ,0 2 2,4 ,2AP AE EP               ， 由题意得  2 2 4 2 21cos , 632 2 16 4 21 AP n AP n AP n                  ， 整理得 25 2 7 0    ，  0,1  ，解得 1  ，此时  4,4,2AP   ，则 6AP  . （文科）己知 O 为坐标原点，倾斜角为 的直线l 与 x，y 轴的正半轴分别相交 于点 A，B，△AOB 的面积为 8 ． （I ）求直线l 的方程； （II）直线 3': 3l y x  ，点 P 在 'l 上，求|PA|+|PB|的最小值． 解：（I）由题意可得：直线 l 的斜率 k=tan =﹣ ，设直线 l 的方程为：y=﹣ x+b． 可得直线 l 与坐标轴的正半轴交点为 A ，B（0，b），其中 b＞0． ∴S△OAB= b×b=8 ，解得 b=4 ． ∴直线 l 的方程为：y=﹣ x+4 ． （II）由（I）可得：A（4，0），B（0，4 ）． 设点 A 关于直线 l′的对称点 A′（m，n）， 解得∴A′（2，﹣2 ）． ∵|PA|+|PB|=|PA′|+|PB′|， ∴当 A′，B，P 三点共线时，|PA|+|PB|取得最小值． - 12 - ∴（|PA|+|PB|）min=|A′B|=4 ． 22、（本小题 12 分） 一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图和侧视图是腰长为 6 的两个全等的等腰直角三 角形. （Ⅰ）请画出该几何体的直观图，并求出它的体积； （Ⅱ）用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为 6 的正方体 ABCD—A1B1C1D1? 如何组拼？ 试证明你的结论； （Ⅲ）在（Ⅱ）的情形下,设正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 CC1 的中点为 E, 求平面 AB1E 与平面 ABC 所成二面角的余弦值. 答案及解析： 4.解：（Ⅰ）该几何体的直观图如图 1 所示，它是有一条 侧棱垂直于底面的四棱锥. 其中底面 ABCD 是边长为 6 的 正方形，高为 CC1=6，故所求体积是 - 13 - 72663 1 2 V ------------------------4 分 （Ⅱ）依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的 3 倍， 故用 3 个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为 6 的正方体， 其拼法如图 2 所示. ------------------------6 分 证明:∵面 ABCD、面 ABB1A1、面 AA1D1D 为全等的 正方形，于是 DDAACAABBCABCDC VVV 1111111   故所拼图形成立.---8 分 （Ⅲ）方法一：设 B1E，BC 的延长线交于点 G， 连结 GA，在底面 ABC 内作 BH⊥AG，垂足为 H， 连结 HB1，则 B1H⊥AG，故∠B1HB 为平面 AB1E 与 平面 ABC 所成二面角或其补角的平面角. --------10 分 在 Rt△ABG 中， 180AG ，则 5 12 180 126 BH ， 5 182 1 2 1  BBBHHB ， 3 2cos 1 1  HB HBHBB ，故平面 AB1E 与平面 ABC 所成二面角的余弦值为 3 2 .---14 分 A BC D D1 A1 B1C1 图 2 A B C D D1 A1 B1C1 E H x y z G 图 3 - 14 - 方法二：以 C 为原点，CD、CB、CC1 所在直线分别为 x、y、z 轴建立直角坐标系（如图 3）， ∵正方体棱长为 6，则 E（0，0，3），B1（0，6，6），A（6，6，0）. 设向量 n=（x，y，z），满足 n⊥ 1EB ，n⊥ 1AB ， 于是      066 036 zx zy ，解得      zy zx 2 1 . --------------------12 分 取 z=2，得 n=（2，-1，2）. 又 1BB （0，0，6）， 3 2 18 12 |||| ,cos 1 1 1  BBn BBnBBn 故平面 AB1E 与平面 ABC 所成二面角的余弦值为 3 2 . ----------------14 分 (文科) 如图，四棱锥 P－ABCD 中，PD⊥底面 ABCD，AB∥CD，∠BAD＝π 3 ，AB＝ 1，CD＝3，M 为 PC 上一点，且 MC＝2PM， AD＝2，PD＝3. (1)证明：BM∥平面 PAD； (2)求直线 DM 与平面 PBC 所成角的正弦值； 3 5 (3)求三棱锥 M-PBA 的体积。 3 6 22.答案(1)证明：如上图，过点 M 作 ME∥CD，交 PD 于点 E，连接 AE. 因为 AB∥CD，故 AB∥EM. 又因为 MC＝2PM，CD＝3，且△PEM∽△PDC， - 15 - 故EM DC ＝PM PC ＝1 3 ，解得 EM＝1. 由已知 AB＝1，得 EM 綊 AB，故四边形 ABME 为平行四边形，因此 BM∥AE， 又 AE⊂平面 PAD，BM⊄ 平面 PAD， 所以 BM∥平面 PAD. (2)连接 BD，由已知 AD＝2，AB＝1，∠BAD＝π 3 ， 可得 DB2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cos∠BAD＝3，即 DB＝ 3. 因为 DB2＋AB2＝AD2，故△ABD 为直角三角形，且∠ABD＝π 2 . 因为 AB∥CD，故∠BDC＝∠ABD＝π 2 . 因为 DC＝3，故 BC＝ DC2＋DB2＝2 3. 由 PD⊥底面 ABCD，得 PD⊥DB，PD⊥DC， 故 PB＝ PD2＋DB2＝2 3，PC＝ PD2＋DC2＝3 2， 则 BC＝PB，故△PBC 为等腰三角形， 其面积为 S△PBC＝1 2 ·PC· BC2－ 1 2 PC 2＝1 2 ×3 2× 12－9 2 ＝3 15 2 . 设点 D 到平面 PBC 的距离为 h，则三 V 三棱锥 D－PBC＝1 3 ·S△PBC·h＝ 15 2 h. 而直角三角形 BDC 的面积为 S△BDC＝1 2 ·DC·DB＝1 2 ×3× 3＝3 3 2 ， 三棱锥 P－BDC 的体积为 V 三棱锥 P－BDC＝1 3 ·S△BCD·PD＝1 3 ×3 3 2 ×3＝3 3 2 .因为 V 三 - 16 - 棱锥 D－PBC＝V 三棱锥 P－BDC，即 15 2 h＝3 3 2 ，故 h＝3 5 5 .所以点 D 到平面 PBC 的距离为3 5 5 .