2020-2021学年四川省绵阳东辰国际学校高二上学期期中考试数学（文）试题 word版

- 1 - 秘密★启用前 四川省绵阳东辰国际学校 2020-2021 学年高二上学期期中考试 数学（文）试题 考试时间：120 分钟；满分：150 分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分. 在每小题的四个选项中，只有一个是符合题目 要求的. 1. 直线 3 3 0( )x y m m R    的倾斜角为（ ） A. 30° B. 60 C. 120 D. 150 2. 下列双曲线中，渐近线方程为 2y x  的是（ ） A. 2 2 14 yx   B. 2 2 14 x y  C. 2 2 12 yx   D. 2 2 12 x y  3. 若直线 2 2 0  ax y 与直线8 4 0x ay   平行，则 a 的值为（ ） A. 4 B. 4 C. 4 或 4 D. 2 4. 给出下面一个程序如右： 此程序运行的结果是（ ） A．5,8 B．8,5 C．8,13 D．5,13 5. P 在圆 2 2 1x y  上变动时，它与定点  3,0Q  的连线 PQ 的中点的轨迹方程是（ ） A． 2 23 4x y   B． 2 23 1x y   C． 2 22 3 4 1x y   D． 2 22 3 4 1x y   6．已知点 ( 2,1)P  在抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的准线上，其焦点为 F ，则直线 PF 的斜率 是（ ） A． 1 3  B． 3 2  C． 2 D． 1 4  7. 椭圆 2 2 149 24 x y  的焦点为 1 2,F F ，点 P 在椭圆上，若 1 6PF  ，则 1 2PF F△ 的面积为（ ） - 2 - A．24 B．28 C． 40 D．48 8. 直线 l： 2 1 0mx y m    与圆 C： 2 2( 2) 4x y   交于 A，B 两点，则当弦 AB 最短时 直线 l 的方程为（ ） A. 2 4 3 0x y   B. 4 3 0x y   C. 2 4 3 0x y   D. 2 4 1 0x y   9. 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 3 2 ，直线l 与椭圆C 交于 ,A B 两点，且线段 AB 的中点为  2,1M  ，则直线l 的斜率为（ ） A. 1 3 B. 3 2 C. 1 2 D. 1 10．已知 P 为椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     上一点， 1F ， 2F 分别为C 的左、右焦点，且 1 2PF PF ，若 2 1tan 7PF F  ，则C 的离心率为（ ） A. 5 2 8 B. 4 2 7 C. 3 2 5 D. 2 2 3 11．已知圆  2 2: 2 2C x y   ，直线 : 2l y kx  ，若直线l 上存在点 P ，过点 P 引圆的两条 切线 1 2,l l ,使得 1 2l l ,则实数 k 的取值范围是（ ） A.   0,2 3 2 3,     B. [ 2 3 , 2 3 ] C.  ,0 D. 0 ) ， 12. 已知 1 2,F F 分别为双曲线 2 2 14 3 x y  的左右焦点， P 为双曲线右支上一点， 2F 关于直线 1PF 的对称点为 1,M F 关于直线 2PF 的对称点为 N ，则当| |MN 最小时， 1 2sin F PF 的值为 （ ） A. 1 2 B. 3 2 C. 3 3 D. 1 3 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.请将答案写在答题卡上. 13. 若双曲线 2 2 15 4 x y  的左焦点在抛物线 2 2 ( 0)y px p  的准线上，则 - 3 - p =_____. 14. 执行如图的程序框图，如果输入 10p  ，则输出的 S _________． 15．已知 P 是椭圆 2 2 14 x y  上的一点，F 为右焦点，点 A 的坐标为 (0, 6) ，则 AFP 周长 的最大值为_______. 16．已知圆  22: 1 6C x y   ， AB 为圆C 上的两个动点，且 2 2AB  ，G 为弦 AB 的 中点.直线 : 2 0l x y   上有两个动点 PQ ，且 2PQ  .当 AB 在圆C 上运动时， PGQ 恒 为锐角，则线段 PQ 中点 M 的横坐标取值范围为________． 三、解答题：本题共 6 个小题，17 题 10 分，其余每小题 12 分，共 70 分. 17．已知一个圆经过坐标原点和点(2，0)，且圆心 C 在直线 2y x 上． （1）求圆 C 的方程； （2）过点 ( 2,2)P  作圆 C 的切线 PA 和 PB，求直线 PA 和 PB 的方程． 18．已知坐标平面上两个定点  0,4A ，  0,0O ，动点  ,M x y 满足： 3MA OM ． （1）求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； （2）记(1)中的轨迹为C ，过点 1 ,12N     的直线l 被C 所截得的线段的长为 2 2 ，求直线l 的 方程． - 4 - 19．已知双曲线 C 和椭圆 2 2 14 1 x y  有公共的焦点，且离心率为 3 ． （1）求双曲线 C 的方程． （2）经过点 (2,1)M 作直线 l 交双曲线 C 于 A，B 两点，且 M 为 AB 的中点，求直线 l 的方 程并求弦长． 20．已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点 F 到直线 4 3 4 0x y   的距离为 8 5 . （1）求抛物线C 的方程； （2）直线 2y mx  与抛物线C 交于 A ， B 两点，O 为坐标原点，设直线OA的斜率为 1k ， 直线OB 的斜率为 2k ，求 1 2k k 的值. 21．已知抛物线  2: 2 0C y px p  ，Q 为C 上一点且纵坐标为 4，QP y 轴于点 P ，且 1 2QP QF ，其中点 F 为抛物线的焦点. （1）求抛物线C 的方程； （2）已知点 1 22M     ， ， A , B 是抛物线C 上不同的两点，且满 8 5AM BMk k   ，证明直 线 AB 恒过定点，并求出定点的坐标. - 5 - 22. 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的长轴长为 4，焦距为 2 2 . （1）求椭圆C 的方程； （2）过动点 (0, )( 0)M m m  的直线交 x 轴与点 N ，交C 于点 ,A P ( P 在第一象限)，且 M 是 线段 PN 的中点.过点 P 作 x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长 QM 交C 于点 B . （ⅰ）设直线 ,PM QM 的斜率分别为 1 2,k k ，证明 2 1 k k 为定值； （ⅱ）求直线 AB 的斜率的最小值. 绵阳东辰学校高 2019 级高二上期期中测试 数学答案（文科） 1~5：CABCD 6~10:DAACA 11~12:DB 13：6 14：45 15：10 16： ( ,0) (3, )   15.解：如图所示，设椭圆的左焦点为 'F ，由题意可知 2, 1, 3a b c   ，则 ( 3,0)F ，因 为 A 的坐标为 (0, 6) ，所以 ' 3AF AF  ， 由椭圆的定义可得 ' 2 4PF PF a   ，因为 ' 'PA PF AF  ， 所以 AFP 周长为 '4 3 4 3 10AF PA PF AF PA PF          ， 当且仅当 ', ,A P F 三点共线时取等号，所以 AFP 周长的最大值为 10，故答案为：10 16.解： 圆  22: 1 6C x y   的半径为 6, 2 2,AB G 为弦 AB 的中点， 2CG  ，G 的轨迹是以C 为圆心，以 2 为半径的圆， 设 PQ 中点为  , 2M a a  ， 2PQ  ，且当 AB 在圆C 上运动时， PGQ 恒为锐角， 则以C 为圆心以 2 为半径的圆与以 M 为圆心以 1 为半径的圆外离， 则  22 3 3a a   ，即 2 3 0a a  ，解得 0a  或 3a  ， - 6 - 线段 PQ 中点 M 的横坐标取值范围为   ,0 3, U ，故答案为    ,0 3, U . 17.解：(1)根据题意，设圆心 C 的坐标为（m，2m），又由圆经过坐标原点和点（2，0），则 有       2 2 2 20 2 0 2 2 0m m m m       ，解可得：m=1， 则圆心的坐标为（1，2），半径    2 22 1 0 2 0 5r      ， 则圆的方程为：   2 21 2 5x y    ； （2）由（1）的结论，圆 C 的方程为：   2 21 2 5x y    ； 过点 P（-2，2）作圆 C 的切线 PA 和 PB，则 PA、PB 的斜率都存在， 设切线的方程为 y-2=k(x+2），即 y-kx-2k-2=0， 则有 2 3 5 1 kd k    ，解可得： 5 2k   ，则直线 PA 和 PB 的方程为 y-2= 5 2  （x+2）． 18.解：(1)由 3MA OM 得 2 2 2 2( 0) ( 4) 3x y x y     ， 化简得： 2 21 9( )2 4x y   ，轨迹为圆 （2）当直线l 的斜率不存在时，直线 1: 2l x   符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设 l 的方程为： 11 ( )2y k x   ，即 1 1 02kx y k    ， 由圆心到直线的距离等于 2 3| | 9 12 2 24 21 k d k       ，解得 4 3k   ， 直线l 方程为 4 3 1 0x y   所求的直线l 的方程为： 4 3 1 0x y   或 1 2x   . 19.解：（1）由题意得椭圆 2 2 14 1 x y  的焦点为 F1（ 3 ，0），F2（ 3 ，0）， 设双曲线方程为 2 2 2 x y a b   1，a＞0，b＞0， 则 c2＝a2+b2＝3，∵e 3c a   ∴c 3 a，解得 a2＝1，b2＝2，∴双曲线方程为 x2 2 2 y  1． （2）把 A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入双曲线 x12 1 2  y12＝1，x22 1 2  y22＝1， - 7 - 两式相减，得（x1﹣x2）（x1+x2） 1 2  （y1﹣y2）（y1+y2）＝0， 把 x1+x2＝4，y1+y2＝2 代入，得 4（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）＝0， ∴kAB 1 2 1 2 y y x x   4，∴直线 L 的方程为 y＝4x﹣7，把 y＝4x﹣7 代入 x2 2 2 y  1， 消去 y 得 14x2﹣56x+51＝0，∴x1+x2＝4，x1x2＝ 51 14 ，k＝4， ∴|AB| 2 2 1 2 1 21 ( ) 4 17k x x x x     • 51 119016 4 14 7    ． 20.解：（1）抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点 ,02 pF      因为焦点 ,02 pF      到直线 4 3 4 0x y   的距离为 8 5 ， 所以 2 2 4 4 82 54 3 p    ，解得 2p  或 6p   （舍去）.所以抛物线C 的方程为 2 4y x . （2）设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，依题意 0m  ， 联立方程组 2 4 , 2, y x y mx      消去 y 得 2 2 (4 4) 4 0m x m x    ， 所以   ，由韦达定理可得 1 2 2 4 4mx x m   ， 1 2 2 4x x m  ， 又因为 1 1 2y mx  ， 2 2 2y mx  ，所以 1 2 1 2 1 2 y yk k x x    1 2 1 2 2 2mx mx x x      2 21 2 1 2 1 2 2 4 4 42 22 2 24 mmmx x x x m m x x m       ，故 1 2 2k k  . 21.解：（1）设  0,4Q x ，根据抛物线的定义可得 0 2QF px  又QP y 轴于点 P ，则 0QP x ， 1 2QP QF ，所以 0 0 1 2 2 px x     ，则 0 2 px  所以 ,42 pQ     ，由 Q 在抛物线 C 上，16 2 2 pp   ，解得 4p  - 8 - 所以抛物线C 的方程为 2 8y x （2）证明：点 1 22M     ， 在抛物线 2 8y x 上.设 AB ： x my n  ，    1 1 2 2, , ,A x y B x y 由 2 8 x my n y x     得 2 8 8 0y my n   1 2 1 28 8y y m y y n   ， 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 8 2 8 2 AM BM y y y yk k y yx x                 1 2 1 2 1 2 1 2 8 328 8 64 32 8 2 2 2 +4 8 16 +4 5 y y m y y y y y y n m              所以   64 32 5 8 16 4 8m n m      ，整理得 3 2n m  将 3 2n m  代入 x my n  得 3 2x my m   ，即  2 3x m y   . 所以直线 AB 恒过定点  2 3 ， 22.解：（1）设椭圆的半焦距为 c.由题意知 2 4,2 2 2a c  ， 所以 2 22, 2a b a c    .所以椭圆 C 的方程为 2 2 14 2 x y  . （2）（ⅰ）设 0 0 0 0( , )( 0, 0)P x y x y  ，由 M(0,m)，可得 0 0( ,2 ), ( , 2 ).P x m Q x m 所以直线 PM 的斜率 0 0 2m m mk x x   ，直线 QM 的斜率 0 0 2 3m m mk x x      . 此时 3k k    .所以 k k  为定值–3. （ⅱ）设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y .直线 PA 的方程为 y=kx+m，直线 QB 的方程为 y=–3kx+m. 联立 2 2 , { 1,4 2 y kx m x y     整理得 2 2 2(2 1) 4 2 4 0k x mkx m     . 由 2 0 1 2 2 4 2 1 mx x k   ，可得 2 1 2 0 2( 2) (2 1) mx k x   ， - 9 - 所以 . 同理 2 2 2 22 2 0 0 2( 2) 6 ( 2),(18 1) (18 1) m k mx y mk x k x       . 所以 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 0 0 0 2( 2) 2( 2) 32 ( 2) (18 1) (2 1) (18 1)(2 1) m m k mx x k x k x k k x           ， 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 0 0 0 6 ( 2) 2( 2) 8 (6 1)( 2) (18 1) (2 1) (18 1)(2 1) k m m k k my y m mk x k x k k x               ， 所以 2 2 1 2 1 6 1 1 1(6 ).4 4AB y y kk kx x k k      由 00, 0m x  ，可知 k>0，所以 16 2 6k k   ，等号当且仅当 6 6k  时取得. 此时 2 6 64 8 m m   ，即 14 7m  ，符号题意. 所以直线 AB 的斜率的最小值为 6 2 .