2020-2021学年浙江省绍兴市高二上学期期中考试数学试题（平行班） Word版

1 浙江省绍兴市 2020-2021 学年高二上学期期中考试 数学试题（平行班） 2020.11 命题教师 王屠军 一．选择题（本大题共 10 题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1.如果直线l 的倾斜角为 6  ，则该直线的斜率为 （ ） 2 1.A 3 3.B 2 3.C 3.D 2. 若边长为 2 的正 111 CBA 是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（ ） 3.A 6.B 32.C 62.D 3. 已知双曲线方程为： 12 2 2  yx ，则下列叙述正确的是 （ ） .A 焦点 )0,1(F .B 渐近线方程： xy 2 .C 离心率为 2 .D 实轴长为 22 4. 3k 是方程 143 22  k y k x 表示椭圆的（ ）条件 （ ） .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件 5.若实数 yx, 满足线性约束条件       1243 0 0 yx y x ，则 yxz )2 1(2  的最大值为 （ ） 3.A 4.B 8.C 16.D 6.设 P 是直线l 外一定点，过点 P 且与l 成 60 角的异面直线 （ ） .A 有无数条 .B 有两条 .C 至多有两条 .D 仅一条 7.下列命题正确的是 ) ( .A 若三条直线两两平行，则过直线 a 的平面中，有且只有一个平面与 b ， c 平行 .B 平面 内有无数个点到平面  的距离相等，则  // .C 如果平面 不垂直平面  ，那么平面 内一定不存在直线垂直平面  .D 如果一条直线和一个平面的一条斜线垂直，那么它也和该斜线在这个平面内的射影垂直 8.已知圆 )0(02: 22  aayyxM 截直线 0 yx 所得线段的长度是 22 ，则圆 M 与 2 圆 1)1()1(: 22  yxN 的位置关系是 （ ） .A 内切 .B 相交 .C 外切 .D 相离 9. 如图，在边长为 2 的正方形 ABCD中， FE, 分别是 CDBC, 的中点，H 为 EF 的中点， 沿 FAEFAE ,, 将正方形折起，使 DCB ,, 重合于点O ，在构成的四面体 AEFO  中，下列 结论错误的是 （ ） .A AO 平面 EOF .B 直线 AH 与平面 EOF 所成角的正切值为 22 .C 异面直线OH 与 AE 所成角的余弦值为 10 10 .D 四面体 AEFO  的内切球表面积为 10. 已知点 P 是正四面体 ABCV  侧面VBC 上一点，且点 P 到底面 ABC 的距离与它到顶 点V 的距离相等，则动点 P 的轨迹是 （ ） .A 线段 .B 圆的一部分 .C 椭圆的一部分 .D 双曲线的一部分 二．填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 11. 原命题：若 ,,,022 Ryxyx  则 0,0  yx . 则原命题的逆否命题为：____________________________;并判断该命题的真假为________. 12. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图 是腰长为 4 的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的 侧面积为_________________； 体积为_______________。 13. 直线 :1l ,013  yax 与 :2l 01)1(2  yax 若 21 //ll ，则实数 _____a ；若 1l 2l ,则实数 .______a 14. 已 知 直 线 :l ,01  mymx 则 此 直 线 必 过 定 点 ;__________ 设直线l 与圆 5)1(: 22  yxC 交于 BA, 两点，则弦 AB 的中点 M 的轨迹 方程为 ._________________ 15.在棱长为 2 的正方体 1111 DCBAABCD 中，P 是 11BA 的中点，过点 1A 作与平面 1PBC 平 行的截面，则此截面的面积是 _______. 16.设直线l : 1 xy 与椭圆 :C )0(12 2 2 2  ba b y a x 相交于 BA, 两点，与 x 轴相交于左 焦点 F ，且 FBAF 3 ,则椭圆的离心率 ._____e 3 17.点 P 在椭圆 :1C 134 22  yx 上，F 为右焦点，点Q 在圆 :2C 0218622  yxyx 上，则 PFPQ  的最小值为 .________ 三．解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. (本题满分 14 分）在 ABC 中，已知 )2,3(),1,1( BA （1）若直线l 过点 ),0,2(M 且点 BA, 到l 的距离相等，求直线l 的方程。 （2）若直线 m ： 062  yx 为 C 的平分线，求直线 BC 的方程。 19. （ 本题 满分 15 分 ）如 图， 在 三棱 锥 ABCP  中 ， PCAB  , ,CBCA  M 是 AB 的中点，点 N 在棱 PC 上， 点 D 是 BN 的中点， 求证：（1） //MD 平面 PAC , )2( 平面 ABN 平面 PMC . 20. （本题满分 15 分）已知双曲线C : )0,0(12 2 2 2  bab y a x 的离心率为 3 ，点 )0,3( 是双曲线的一个顶点。 （1）求双曲线的方程； （2）经过双曲线的右焦点 2F 作倾斜角为 30 的直线，直线与双曲线交于不同的两点 BA, ， 求 AB 的长。 4 21.(本题满分 15 分) 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD⊥底面 ABCD，PD=DC,E 是 PC 的中点，作 EF⊥PB 交 PB 于点 F. (1)求直线 PA 与平面 ABCD 所成角的大小; (2)求证：PB⊥平面 EFD; (3)求二面角 C-PB-D 的大小. 22．（本小题满分 15 分）如图,已知椭圆C ： )0(12 2 2 2  ba b y a x 的上顶点为 (0,1)A , 离心率为 2 2 . （1）求椭圆 C 的方程； （2）过点 A 作圆   2221: ryxM  的两条切线,记切 点分别为 TS, ，令 ,1r 求此时两切点连线 ST 的方程； (3)若过点 A 作圆   2221: ryxM  的两条切线分别与 椭圆 C 相交于点 ,B D (不同于点 A ).当 r 变化时,试问直线 BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明 理由。 5 2020 学年高二期中考试数学试卷答案 一．选择题（本大题共 10 题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1~10. BDBBD ACBDC 二．填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。 11. 若 ,0x 或 0y ， Ryx , ，则 022  yx ； 也可以说成：若 yx, 不全为零，则 ;022  yx 真命题. 12. 21616 ； .3 64 13. ;3 .5 3 14. );1,1( 4 1)1()2 1( 22  yx 15. .62 16. .2 2 17. .652  三．解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. 解：（1） 点 BA, 到 L 的距离相等，直线 L 过线段 AB 的中点或 ABl // 。 ①当直线l 过线段 AB 的中点 )2 1,2( N 时，斜率不存在，则l 的方程为 ;2x 4...... 分 ② 当 ABl // 时，斜率 2 3 13 12   ABkk ，则 l 的方程为 ),2(2 30  xy 即 0623  yx 综上l 的方程为 2x 或 .0623  yx 8...................... 分。 (2) 直线 m 为 C 的平分线，所以点 A 关于直线 m 的对称点 'A ),( ba 在直线 BC 上，则有         2 1 1 1 062 1 2 12 a b ba ， 解 得      1 5 b a ， 即 )1,5(' A ,  直 线 BC 的 斜 率 6 2 1 35 )2(1  k ，直线 BC 的方程为 )5(2 11  xy ，即 .072  yx 14........ 分 19. 解（1）在 ABN 中 M 是 AB 的中点， D 是 BN 的中点所以由中位线知 ANMD// , 又因为 AN 平面 PAC , MD 平面 PAC ,所以 //MD 平面 .PAC 7......... 分 (2) 在 ABC 中 ， ,CBCA  M 是 AB 的 中 点 ， 所 以 .MCAB  又 因 为  PCPCAB , 平面 MCPMC, 平面 PMC , CMCPC  ,所以 AB 平面 PMC.又 因为 AB 平面 ABN ,所以平面 ABN 平面 .PMC 15.......... 分 20. 解;(1)因为双曲线 )0,0(1: 2 2 2 2  bab y a xC 的离心率为 3 ，点 )0,3( 是双曲线的 一个顶点，所以 , 3 3      a a c 解得 6,3  bc ，所以双曲线的方程为 .163 22  yx 5....... 分 （2）双曲线 163 22  yx 的右焦点为 )0,3(2F ，所以经过双曲线右焦点 2F 且倾斜角为 30 的直线方程为 )3(3 3  xy ，联立双曲线方程整理得 02765 2  xx ，设 ),,(),,( 2211 yxByxA 则 由 韦 达 定 理 得        5 27 5 6 21 21 xx xx ， 所 以 3 11AB .5 316)5 27(4)5 6( 2  15....... 分 21.证明：(1)侧棱 PD⊥底面 ABCD …,则… AD 为直线 PA 在平面 ABCD上的射影，故 PAD 为所求。在等腰 PADRT 中，易得 45PAD …………3 分 (2) 侧 棱 PD ⊥ 底 面 ABCD , BC  平 面 ABCD , PD BC  , 又 BC DC , PD DC D , BC  平 面 PDC , BC DE  , 易 知 DE PC , BC PC C , DE  平 面 PBC , PB  平 面 PBC , ED PB  又 PB EF , DE EF E PB  平面 EFD ………………………9 分 解: (3) 由(2)知 ,EF PB DF PB  , EFD  为二面角 E PB D  的平面 角,也即二面角C PB D  的平面角.在 DEF 中，不妨设 PD DC a  ，则 2 2DE a ， 6 6EF a ， 6 3DF a ，由余弦定理得： 2 2 2 1cos 2 2 EF DF DEEFD EF DF      ，二 面角C PB D  的大小为 60  。………………………15 分 7 22. 解 ：（ 1 ） 由 已 知 可 得 ,           2 1 2 1 1 2 2 2 2 a b a b b , 所 求 椭 圆 的 方 程 为 12 2 2  yx --------------------3 分 (2)法一，数形结合易知，切线 AS 的方程为 ,1y 切线 AT 的方程为 0x ，故 切点 )0,0(),1,1( TS  ,所以切点 ST 连线的方程为 ,xy  即 0 yx 分7........ 法 二 设 圆 上 切 点 ),( 11 yxS ， 过 该 切 点 的 圆 的 切 线 方 程 为 1)1()1( 11  yyxx ，又因为过点 )1,0(A 所以有 01)10()1( 11  yx ，即 111  yx 同理设另一个切点 ),( 22 yxT ，由同构可知 022  yx ，经过不同两点有且 只有一条直线，所以 ST 的直线方程为 0 yx 7....... 分 法三 TS, 在 AM 为直径的圆： 2 1)2 1()2 1( 22  yx 上，由两圆相减得 ST 的 方程为 0 yx 7........ 分 法四，也可直接设切线 ,1 kxy 并讨论斜率去做。（相应给分） （3）法一设切线方程为 1y kx  ，则 r k k    21 |1| ，即 2 2 2(1 ) 2 1 0r k k r     ， (由 0 得 )1,20(  rr 设两切线 ,AB AD 的斜率为 1 2 1 2, ( )k k k k ，则 1 2,k k 是上述方程的两根，所以 1 2 1k k  ； ------------------------------------10 分 联立      22 1 22 yx kxy 可得 04)k21 22  kxx（ ,设 1 1 2 2( , ), ( , )B x y D x y 则由韦达定理得 ,21 4 21 k kx   2 2 1 21 21 k ky   ； 12............ 分 由 1 2 1k k  得 ,2 4 22 k kx   2 2 2 2 2   k ky ， 直线 BD 的斜率 k k xx yy 12 12 12   8 直线 BD 的方程为 )21 4(1 12 12 2 2 2 2 k kxk k k ky   整理得 312  xk ky ， 14.......... 分 故直线 BD 过定点 ).3,0(  15............... 分 法二设切线方程为 1y kx  ，则 r k k    21 |1| ，即 2 2 2(1 ) 2 1 0r k k r     ， 设两切线 ,AB AD 的斜率为 1 2 1 2, ( )k k k k ，则 1 2,k k 是上述方程的两根，所以 1 2 1k k  ； ------------------------------------10 分 可设 BD 的直线方程为 tmxy       22 22 yx tmxy 可得 0224)m21 222  ttmxx（ ,设 1 1 2 2( , ), ( , )B x y D x y , 由韦达定理得 221 21 4 m tmxx  ， 2 2 21 m21 2t2  xx ，-----------------12 分 111 2 2 1 1 21  x y x ykk 代入 111 2 2 1 1  x tmx x tmx 0)1())(1()1 2 2121 2  txxtmxxm（ 将韦达定理代入得 0)1( 21 4)1( 21 )12)1 2 22 2 2      t m tmtm m tm （（ 化简得 3t   或 1t  (舍去) 14........... 分 故 直 线 BD 的 直 线 方 程 为 3y mx  , 直 线 BD 经 过 定 点 ），（ 3-0 . --------------15 分