2020-2021学年四川省泸县第二中学高二上学期第二次月考数学（理）试题 Word版

- 1 - 泸县第二中学 2020-2021 学年高二上学期第二次月考 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．若直线l 经过点 (2,3)A ， (3,4)B ，则直线l 的倾斜角为 A． 30° B． 45 C． 60 D． 90 2．已知 a b c  ， 0ac  ，则下列关系式一定成立的是 A． 2c bc B．   0bc a c  C． a b c  D． 2 2a b 3．命题“关于 x 的方程 ax2－x－2＝0 在(0，＋∞)上有解”的否定是 A．∃x∈(0，＋∞)，ax2－x－2≠0 B．∀x∈(0，＋∞)，ax2－x－2≠0 C．∃x∈(－∞，0)，ax2－x－2＝0 D．∀x∈(－∞，0)，ax2－x－2＝0 4．如果椭圆 上一点 到焦点 的距离为 6，则点 到另一个焦点 的距离为 A．10 B．6 C．12 D．14 5．已知命题 1:sin 2p x  ，命题 : 2 6q x k k Z   ， ，则 p 是 q 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 - 2 - C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6．若 2a   ，则 16 2a a   的最小值为 A．8 B． 6 C． 4 D． 2 7．在空间直角坐标系中，已知点 (1, 2, 3)P ，过点 P 作平面 yoz 的垂线 PQ，则垂足 Q 的坐 标为 A． (0, 2,0) B． (0, 2, 3) C． (1,0, 3) D． (1, 2, 0) 8．下列命题正确的是 A．到 x 轴距离为 3 的点的轨迹方程是 x＝3 B．方程 1y x  表示的曲线 C 是直角坐标平面上第一、三象限的角平分线 C．方程|x﹣y|+（xy﹣1）2＝0 表示的曲线是一条直线和一条双曲线 D．3x2﹣2y2﹣3x+m＝0 通过原点的充要条件是 m＝0 9．与圆  22C x y 5 9： ＋ ＋ ＝ 相切，且在 x 轴与 y 轴上的截距都相等的直线共有 A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条 10．当直线 ( 2) 4y k x   和曲线 21 4y x= + - 有两个交点时，实数 k 的取值范围是 A．     4 3,12 5 B．     4 3,3 1 C． )12 5,0( D． ),12 5(  11．已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左焦点，A，B 分别为 C 的左， 右顶点.P 为 C 上一点，且 PF⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 E.若 直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为 - 3 - A． 1 3 B． 1 2 C． 2 3 D． 3 4 12．设 1 2,F F 分别是双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b     的左、右焦点．圆 2 2 2 2x y a b   与 双曲线C 的右支交于点 A ，且 1 22 3AF AF ，则双曲线离心率为 A．12 5 B． 13 5 C． 13 2 D． 13 第 II 卷 非选择题（90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．直线3 4 1 0x y   与3 4 7 0x y   的距离为__. 14．已知直线 1 2:l y x ，则过圆 2 2 2 4 1 0x y x y     的圆心且与直线 1l 垂直的直线 2l 的 方程为________. 15．已知 x，y 满足不等式组 0, 0 1 0 2 4 0 x y x y x y           ，则 1 1 yz x   的最小值为________. 16．在矩形 ABCD 中， 1AB  ， 2AD  ，动点 P 在以点C 为圆心且与 BD 相切的圆上，若 ADABAP   ，则   的最小值为______. 三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10 分）已知集合  | 2 2A x a x a     ( 0a  ),  2| 3 4 0B x x x    . (1)若 3a  ，求 A B ； (2)若“ x A ”是“ x B ”的必要条件，求实数 a 的取值范围． - 4 - 18．（12 分）曲线 2 4 3y x x   与坐标轴的交点都在圆 P 上． （1）求圆 P 的标准方程； （2）若圆 P 上恰有一个点到直线 2 0x y a   的距离为 5 ，求 a 的值． 19．（12 分）已知椭圆 E 的焦点在 x 轴上，长轴长为 4，离心率为 3 2 ． （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）直线 1: 2l y x m  椭圆 E 相交于 ,A B 两点，且弦 AB 中点横坐标为 1，求 m 值． 20．（12 分）如图，已知四棱锥 P ABCD 的底面为直角梯形， ADC 为直角， AP  平面 ABCD ， : : 5: 4 : 2BC AD CD  ，且 1CD  . （1）求证： BP AC ； （2）若 AP CD ，求二面角 D PC B  的余弦值. - 5 - 21．（12 分）已知点  2,1M 在抛物线 2:C y ax 上， ,A B 是抛物线上异于 M 的两点，以 AB 为直径的圆过点 M . (1)证明：直线 AB 过定点； (2)过点 M 作直线 AB 的垂线，求垂足 N 的轨迹方程. 22．（12 分）已知椭圆 （0＜b＜2）的离心率等于 抛物线 （p＞0）. （1）若抛物线的焦点 F 在椭圆的顶点上，求椭圆和抛物线的方程； （2）若抛物线的焦点 F 为 ，在抛物线上是否存在点 P，使得过点 P 的切线与椭圆相交 于 A，B 两点，且满足 ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. - 6 - 2020 年秋四川省泸县第二中学高二第二学月考试 理科数学参考答案 1．B 2．B 3．B 4．D 5．B 6．B 7．B 8．D 9．D 10．A 11．A 12．D 13． 6 5 14． 2 3 0x y   15． 1 3 16．1 17．解：(1)当 3a  时,    | 2 2 1,5A x a x a       ,  2| 3 4 0B x x x     4,1  , 所以, A B  4,5  . (2)  | 2 2A x a x a     ( 0a  ),  2| 3 4 0B x x x     4,1  , 因为“ x A ”是“ x B ”的必要条件， - 7 - 所以 B A ，即 2 4 2 1 a a       ， 所以 6, 1, a a     所以 6a  . 所以,当 6a  时，“ x A ”是“ x B ”的必要条件. 18．（1）曲线 2 4 3y x x   与坐标轴的交点分别为  1,0A ，  3,0B ，  0,3C 线段 AB 的中垂线为 2x  ， 线段 AC 的中垂线为 3 1 1 2 3 2y x      ，即 3 4 0x y   ， 联立 3 4 0, 2, x y x      得 2, 2, y x    所以圆心坐标为  2,2 ， 则半径为    2 22 1 2 0 5    ， 所以圆 P 的方程为   2 22 2 5x y    ． （2）因为圆 P 上恰有一个点到直线 2 0x y a   的距离为 5 ，所以圆 P 的圆心到直线 2 0x y a   的距离为 2 5 ，由 2 2 2 2 5 5 a    ，得 8a  ，或 12a   ． 19．（1）椭圆 E 的焦点在 x 轴上，长轴长为 4，离心率为 3 2 ， 可得 2 2 2 2 4 3 2 a c a a b c       ，解得 2, 1a b  .所以椭圆方程为： 2 2 14 x y  ； - 8 - （2）由 2 2 1 2 14 y x m x y       ，得 2 22 2( 1) 0x mx m    ， 设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 1 2 2 , 2 2x x m m     ，得 1m   [解二]：（1）同解法一； （2）设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，中点 1(1, )2 m ，由 2 21 1 2 22 2 14 14 x y x y       ， 得 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1( ), ,4 2 2 4 x x y y y y my y x x x x             ，解得 1m   20．解：（1）证明：∵ AP  平面 ABCD ， AC  平面 ABCD ，∴ AP AC . ∵ : : 5: 4 : 2BC AD CD  ，且 1CD  ，∴ 52, 2AD BC  ， ∴ 55, 2AC AB  ，∴ 2 2 2BC AC AB  ，即 AC AB . 又 AP AB A ， ,AP AB  平面 ABP ∴ AC  平面 ABP .又 BP  平面 ABP ， ∴ BP AC . （2）如图，过点 A 作 AF 垂直 BC 于点 F，由（1）知， AP AD . 又 ,AP AF AF AD  ，∴ , ,AP AD AF 两两垂直， ∴以 A 为坐标原点， , ,AF AD AP 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 A xyz ， - 9 - 则 1(0,0,1), (0,0,0), 1, ,0 , (1,2,0), (0,2,0)2P A B C D    ， ∴ 50, ,0 , ( 1, 2,1), (1,0,0)2BC CP DC           .设平面 BPC 的法向量 1 ( , , )n x y z ， 由 1 1 0, 0 BC n CP n          得 5 0,2 2 0, y x y z       ∴取 1 (1,0,1)n  . 设平面 DPC 的法向量  2 1 1 1, ,n x y z ，由 2 2 0, 0 DC n CP n          得 1 1 1 1 0, 2 0, x x y z      ∴取 2 (0,1,2)n  .设二面角 D PC B  的平面角为 ， 则 1 2 1 2 2 10cos 52 5 n n n n          ，由图可知二面角 D PC B  为钝角， ∴二面角 D PC B  的余弦值为 10 5  . 21．(1)点 M 在抛物线 2:C y ax 上，代入得 1 4a  ，所以抛物线 C 的方程为 2 4x y ， 由题意知，直线 AB 的斜率存在，设直线 AB 的方程为 y kx m  ，设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ， 联立得 2 24 4 4 0x y x kx m y kx m         ，得 1 2 4x x k  ， 1 2 4x x m   ， 由于 MA MB ，所以 0MA MB   ，即     1 2 1 22 2 1 1 0x x y y      ， 即    1 2 1 2 1 2 1 22 5 0x x x x y y y y       .(*) 又因为  1 2 1 2 2y y k x x m    ，  2 2 1 2 1 2 1 2y y k x x km x x m     ， 代入(*)式得 2 24 8 6 5k k m m    ，即   2 22 2 3k m   ， - 10 - 所以 2 2 3k m   或 2 2 3k m   ，即 2 5m k  或 2 1m k   . 当 2 5m k  时，直线 AB 方程为  2 5y k x   ，恒过定点 2,5 ， 经验证，此时 0  ，符合题意； 当 2 1m k   时，直线 AB 方程为  2 1y k x   ，恒过定点 2,1 ，不合题意， 所以直线 AB 恒过定点  2,5 . (2)由(1)，设直线 AB 恒过定点  2,5R  ，则点 N 的轨迹是以 MR 为直径的圆且去掉 2,1 ， 方程为    22 3 8 1x y y    . 22．（Ⅰ）由椭圆的方程得 32, 2 ca e a    ，所以 2 23, 1c b a c    ， ∴椭圆的方程为 2 2 14 x y  ，由题意得，抛物线的焦点应为椭圆的上顶点，即 0,1 点， 所以 2p  ，抛物线的方程为 2 4x y . （Ⅱ）由题意可得 1p  ，抛物线的方程为 2 2x y ， 'y x ， 设抛物线上存在一点  ,p a b ，则抛物线在点 p 处的切线斜率为 k a ， 所以过点 p 的切线的方程为 ( )y b a x a   ，化简为 y ax b  ， 联立直线与椭圆的方程 2 2 14 y ax b x y     ，得  2 2 24 1 8 4 4 0a x abx b     ， 设直线与椭圆的交点坐标为    1 1 2 2, , ,A x y B x y ， 2 1 2 1 22 2 8 4 4,4 1 4 1 ab bx x x xa a      ， - 11 -   1 2 1 2 1 2 1 2OA OB x x y y x x ax b ax b             2 2 1 2 1 21a x x ab x x b          2 2 2 2 2 2 2 1 4 4 8 4 1 4 1 a b a b a b a        ，由 OA OB ，得 0OA OB   ，化简得 2 24 5 4 0a b   ，解得 2b  或 2 5b   ， 2b  代入抛物线的方程可得 2a   ， 将 ,a b 代入检验 208 0   ，所以存在这样的点 ( 2,2)P  满足条件.