2020-2021学年浙江省东阳中学高二上学期期中考试数学试题 Word版

- 1 - 浙江省东阳中学 2020-2021 学年高二上学期期中考试试卷 （数学） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 1．如图所示的组合体，其结构特征是（ ） A．由两个圆锥组合成的 B．由两个圆柱组合成的 C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的 D．由一个圆锥和一个圆柱组合成的 2．设命题 p ：所有矩形都是平行四边形，则 :p （ ） A．所有矩形都不是平行四边形 B．有的平行四边形不是矩形 C．有的矩形不是平行四边形 D．不是矩形的四边形不是平行四边形 3．设 2:0 log 1, : 2 1xp x q   ，则 p 是 q 成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知双曲线 2 2 12 x y m   与椭圆 2 2 14 x y  有相同焦点，则 m ＝（ ） A．1 B．3 C．4 D．5 5. 设 ,m n 是两条不同的直线， ,  是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A．若 m ∥ ， n ∥ ，则 m ∥ n ， B．若  ∥  ， m ⊂  ， n ⊂  ，则 m ∥ n C．若 m ⊥ ， m ⊥ n ，则 n ∥ D．若 m ⊥ ， m ∥ n ， n ∥  ，则  ⊥  - 2 - 6. 如图，在直棱柱 1 1 1ABC A B C 中, 1,AB BC CC AB BC   , E 为 BC 的中点, F 为 1 1B C 的中点, 则异面直线 AF 与 1C E 所成角的正切值为（ ） A. 5 2 B. 2 3 C. 2 5 5 D. 5 3 7. 圆锥的表面积为 9 ，它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为（ ） A．1 B． 3 C．2 D． 2 8．已知抛物线 2 4y x 的焦点为 F， ( 1,0)A  ，点 P 是抛物线上的动点，则当 PF PA 的值最小时， PF =（ ） A．1 B．2 C． 2 2 D．4 9．椭圆的焦点 1 2( 2 2,0), (2 2,0)F F ，长轴长为 2a ，在椭圆上存在点 P ，使 1 2 90F PF   ， 对于直线 y a ，在圆 2 2( 1) 2x y   上始终存在两点 ,M N 使得直线上有点 Q ，满足 90MQN   ，则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A． 2 2 ,13      B． 2 12      ， C． 2 2 2,2 3       D． 2 20, 3      10．已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2，M，N 分别是棱 1,BC CC 的中点，动点 P 在正方 形 1 1BCC B （包括边界）内运动，若 1PA ∥面 AMN ， 则线段 1PA 的长度范围是（ ） A． 2, 5   B． 2,3 C． 3 2 ,32       D． 3 2 , 52       二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分. 11．命题 :p “若 a＞b，则 a c b c   的逆否命题是 ， 且命题 :p 是 （真、假）命题． - 3 - 12．双曲线 2 2 112 4 x y  的离心率为 ，渐近线方程为 ． 13. 在空间四边形 ABCD 中，若 ( 3,5,2), ( 7, 1, 4)AB CD       ,点 ,E F 分别为线段 ,BC AD 的 中点，则 AB  ， EF  的坐标为 ． 14．一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图是全等的等腰三角形， 则该几何体的体积是 ，该几何体的外接球的表面积 是 ． 15．正四面体 ABCD 的棱长为 a，点 E、F 分别是 BC、AD 的中点，则 AE AF  的值为 ． 16．一个三棱锥的 6 条棱中有 5 条棱长是 1，一条棱长是 x，则该三棱锥 的体积最大值是 ． 17．椭圆 2 2 14 3 x y  的左焦点为 F，直线 1y kx  与椭圆相交于 A、B 两点，当 FAB 的周长 最大时， FAB 的面积为 ． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18．已知椭圆 2 2 2: 1( 1)xE y aa    的离心率为 2 2 ． （1）求椭圆 E 的方程； （2）若直线 : 0l x y m   与椭圆交于 E F、 两点，且线段 EF 的中点在圆 2 2+ 1x y  ， 求 m 的值． 19．如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，AB⊥AC，AB＝AC＝2， 1 4AA  ，点 D 是 BC 的中点． （1）求证：平面 1ADC ⊥平面 1 1BCC B ； （2）求平面 1ADC 与平面 1A BA 所成的锐二面角, - 4 - （是指不超过 90°的角）的余弦值． 20．已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  上横坐标为 2 的一点 P 到焦点的距离为 3. （1）求抛物线 C 的方程； （2）设直线 OA，OB 的斜率分别为 1 2,k k ，且 1 2 2k k   ，证明：直线 l 经过定点，求出定点 的坐标. 21．如图，在边长为 8 的菱形 ABCD 中， 120ABC   ，将 ABD 沿 BD 折起，使点 A 到达 1A 的位置，且二面角 1A BD C  为 60°． （1）求证： 1AC BD ； （2）若点 E 为 1AC 中点，求直线 BE 与平面 1A DC 所成角的正弦值． - 5 - 22．如图, A 为椭圆 2 2 12 x y  的下顶点,过点 A 的直线 l 交抛物线 2 2 ( 0)x py p  于 ,B C 两 点, C 是 AB 的中点. (1) 求证:点 C 的纵坐标是定值; (2)过点 C 作与直线 l 倾斜角互补的直线 l 交椭圆于 ,M N 两点.问： p 为何值时, BMN 的面积 最大？并求面积的最大值. - 6 - 东阳中学 2020 年下学期期中考试答案（高二数学） 一．选择题（共 10 小题） 1．D． 2．C 3．A 4．A 5．D． 6．C 7．B 8．B 9. A 10．D [难题解析] 8．解：抛物线的准线方程为 x＝﹣1． 设 P 到准线的距离为|PQ|，则|PQ|＝|PF|． ∴ PF PQ PA PA  ＝sin∠PAQ． ∴当 PA 与抛物线 y2＝4x 相切时，∠PAQ 最小，即 PF PA 取得 最小值． 设过 A 点的直线 y＝kx+k 与抛物线相切（k≠0），代入抛物线方程得 k2x2+（2k2﹣4）x+k2＝0， ∴△＝（2k2﹣4）2﹣4k4＝0，解得 k＝±1． 即 x2﹣2x+1＝0，解得 x＝1，把 x＝1 代入 y2＝4x 得 y ＝±2． ∴P（1，2）或 P（1，﹣2）． ∴|PF|＝2． 故选：B． 9．A 解：要使在椭圆上存在点 P，使∠F1PF2＝90°，设∠F1PF2＝2α， 只需最大的角大于等于 90°即可，当 P 坐标为（0，b）或（0，﹣b）时，角最大， - 7 - 当α＝45°，此时 sinα＝ 2 2 ，故 2 2e  . ∵在圆 C 上存在两点 M，N，在直线 y＝a 上存在一点 Q，使得∠MQN＝90°， 即在直线 y＝a 上存在一点 Q，使得 Q 到圆的圆心（0，1）的距离等于 a﹣1＝2， ∴只需（0，1）到直线 y＝a 的距离小于或等于 2，即 a﹣1≤2，所以 a≤3， 即 2 2 2 2 3 ce a a    ，综上，故 2 2[ ,1)3e ，故选：A． 10．解：取 B1C1 的中点 E，BB1 的中点 F，连结 A1E，A1F，EF，取 EF 中点 O，连结 A1O， ∵点 M，N 分别是棱长为 2 的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中棱 BC，CC1 的中点， ∴AM∥A1E，MN∥EF， ∵AM∩MN＝M，A1E∩EF＝E， ∴平面 AMN∥平面 A1EF， ∵动点 P 在正方形 BCC1B1（包括边界）内运动，且 PA1∥面 AMN， ∴点 P 的轨迹是线段 EF， ∵A1E＝A1F＝ 5 ，EF＝ 2 ， ∴A1O⊥EF， ∴当 P 与 O 重合时，PA1 的长度取最小值为 A1O＝   2 2 2 3 25 2 2       ， 当 P 与 E（或 F）重合时，PA1 的长度取最大值为 A1E＝A1F＝ 5 ． - 8 - ∴PA1 的长度范围为 3 2 , 52       ． 故选：D． 二．填空题（共 7 小题） 11．若 a c b c ≤ ，则 a b≤ ；真 12． 2 3 3 ， 3 3y x  ． 13． 38 ； ( 2, 3, 3)   14． 4 3 ; 9π 15． 2 4 a 16． 1 8 17． 12 2 7 [难题解析] 17:解：如图所示，设椭圆的右焦点为 F′． 则 当 △ FAB 的 周 长 ＝ |AF|+|BF|+|AB| ＝ 2a ﹣ |AF′|+2a ﹣ |BF′|+|AB|＝8+|AB|﹣（|AF′|+|BF′|）≤8+|AB|﹣|AB|＝8． 当且仅当直线 AB 经过椭圆的右焦点 F′时取等号． 此时直线 AB 的斜率 k＝1． ∴直线 AB 的方程为：y＝x﹣1． 设 A（x1，y1），B（x2，y2）． 联立 2 2 12 y x m x y     ，化为：7y2+6y﹣9＝0， ∴y1+y2＝ 6 7  ，y1y2＝ 9 7  ， ∴|y1﹣y2|＝12 2 7 ． - 9 - ∴， △ FAB 的面积＝ 1 2 ×|FF′|×|y1﹣y2|＝ 12 2 7 ． 故答案为： 12 2 7 ． 三．解答题 18 解：（1）由题意， 2 21 2 2 ae a   得： 2a  则椭圆的方程为 2 2 12 x y  -------------------------------5 分 （2）设点 A、B 的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），线段 AB 的中点为 M（x0，y0）， 由 2 2 12 y x m x y     ，消去 y 得，3x2+4mx+2m2﹣2＝0， △ ＝24﹣8m2＞0，∴ 3 3m   ． ∴x0＝ 1 2 2 x x ＝ 2 3 m ，------------------------------9 分 y0＝x0+m＝ 1 3 m ． ∵点 M（x0，y0）在圆 x2+y2＝1 上， ∴ 1 9 m2+ 4 9 m2＝1， ∴m＝ 3 5 5  ．检验满足 △ ＞0 成立． 故 m 的值为 3 5 5  ． --------------------------------------------14 分 19． 解：（1）关键在于证明 AD⊥平面 BB1C1C----------------------------------------------6 分 （2） (0,2,0)AC  是平面 ABA1 的一个法向量， 设平面 ADC1 的法向量为 n  ＝（2，﹣2，1）， - 10 - 设平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角为θ， ∴cosθ＝|cos＜ AC  ， n  ＞|＝ 2 3 ， ∴平面 ADC1 与 ABA1 所成二面角的余弦值为： 2 3 ．-------------------------------15 分 20．解：（1） 2 4y x -----------------------------------------------6 分 （2）证明：设直线 l 的方程为 x＝my+n， 代入抛物线方程化简得 y2﹣4my﹣4n＝0， ∴ 1 2 1 2 + =4m 4 y y y y n      ． ---------------------------------------------10 分 ∵ 1 2 1 2 1 2 1 2 16 4 2y yk k x x y y n       ，解得 n＝ 2 ∴直线 l 经过定点，且定点为（2，0）．---------------------------------------------15 分 21． 解：（1）连接 AC，交 BD 于点 O，连接 OA1， 因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC⊥BD， 从而 OA1⊥BD，OC⊥BD， 又因为 OA1∩OC＝O，所以 BD⊥平面 A1OC， 因为 A1C ⊂ 平面 A1OC， 所以 BD⊥A1C， ………………………（7 分） （2）由（1）可知，∠A1OC 即 - 11 - 为二面角 A1﹣BD﹣C 的平面角，所以∠A1OC＝60°． 以 O 为坐标原点，为 x，y 轴正方向，建立空间直角坐标系 O﹣xyz， B（4，0，0），D（﹣4，0，0），C（0，4 3 ，0），A1（0，2 3 ，6），E（0，3 3 ， 3）． 所以 BE  ＝（﹣4，3 3 ，3）， 1DA  ＝（4，2 3 ，6）, DC  =(4，4 3 ，0）． 设平面 A1DC 的法向量为 n  ＝（﹣ 3 ，1, 3 3 ） 设直线 BE 与平面 A1DC 所成角为θ， 则 sin BE n BE n         12 13 ． 所以直线 BE 与平面 A1DC 所成角的正弦值为 12 13 ．…（15 分） 22． (1)证明:易知A(0,-1),不妨设 2 ( , )2 tB t p ,则 2 2 )2 ( , 4 t t pC p  ,代入抛物线方程得t2=4p,∴ 1 2Cy  故点C的纵坐标为定值. ------------------6分 法二：用韦达完成. (2)∵点C是AB的中点,∴S △ BMN=S △ AMN. 设直线l的斜率为k, 直线l'的斜率为k',则 1 ( 1) 32 2 k p p     则 3 2 k p    ∴直线l'的方程为 1 3 ( )2 2 y x p p     即 3 2 2 y x p    ,不妨记 3 2 m p   ,则 l :y=mx+2, ---------8分 代入椭圆方程并整理得(2m2+1)x2+8mx+6=0, 设M(x1,y1),N(x2,y2),则 - 12 - 1 2 1 22 2 8 6,2 1 2 1 mx x x xm m      ------------------------------------10分 2 2 2 1 2 2 2 3| MN | 1 | | 2 2 1 ,2 1 mm x x m m         点A到直线l'的距离 2 3 1 d m   , 所以S △ AMN= 1 | MN |2 d = 2 2 2 33 2 2 1 m m   ------------------------------12分 2 2 2 2 4 42 3 3 3 2 3 m m      当且仅当 2 2 42 3 2 3 m m    时取等号,解得 2 7 2m  ,所以 2 2 9 18 7t m   ,从而 2 9 4 14 tp   ,故当 9 14p  时, △ BMN的面积最大. ------------------------------15分