2020-2021学年四川省射洪中学校高二上学期期中考试数学理试题 word版

- 1 - 射洪中学校 2020-2021 学年高二上学期期中 考试理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．直线 3 0x y  的倾斜角是 ( ) A．30 B． 45 C． 60 D． 75 2．下列结论正确的是（ ） A．若 ,a b c d  ，则 a c b d   B．若 ,a b c d  ，则 a d b c   C．若 ,a b c d  ，则 ac bd D．若 a b ，则 1 1 a b  3．命题“ ，使得 ”的否定是（ ） A． ，都有 B． ，使得 C． ，都有 2 1x  D． ，使得 4．“ lg lga b ”是“ a be e ”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 - 2 - 5．已知椭圆 2 2 2 1( 5)25 x y aa    的两个焦点为 1 2,F F ，且 1 2| | 10F F  ，弦 MN 过点 2F ，则 1F MN 的周长为（ ） A．10 B．20 C．10 2 D． 20 2 6．已知 3x  ，则 4 3x x   的最小值为（ ） A．2 B．4 C．5 D．7 7．在空间直角坐标系Oxyz 中,若点  2 4 , 3,2 1M a a b c   关于 y 轴的一个对称点 M  的坐 标为 (4, 2,15) ,则 a b c  的值( ) A．等于10 B．等于 0 C．等于 11 D．不确定 8．有下列四个命题： ①“若 1xy  ，则 x，y 互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题； ③“若 1m £ ，则 2x 2x m 0   有实根”的逆否命题；④“若 A B B ，则 A B ”的逆命题． 其中真命题是( ) A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④ 9．过圆 2 2:( 2) ( 1) 25C x y    上一点 ( 1, 3)P   作切线l ，直线 :3 0m x ay  与切线l 平 行，则 a 的值为（ ） A． 3 5 B．2 C．12 5 D．4 10．若直线 y=x+b 与曲线 23 4y x x   有公共点，则 b 的取值范围是（ ） A．[1 2,1 2]  B．[1 2,3] C．[1 2 2,3] D．[ 1,1 2]  - 3 - 11．已知 1 2,F F 是椭圆的左、右焦点，点 P 在椭圆上，线段 2PF 与圆相切于点Q ，且点Q 为 线段 2PF 的中点，则椭圆的离心率为（ ） A． 5 3 B． 3 5 C． 5 4 D． 2 5 12．  ,0F c 为双曲线 2 2 2 2: 1x yE a b   的左焦点，过点 F 的直线与圆 2 2 23 4x y c  交于 A 、 B 两点，（ A 在 F 、B 之间）与双曲线 E 在第一象限的交点为 P ，O 为坐标原点，若 FA BP  ， 且 23 100OA OB c    ，则双曲线 E 的离心率为（ ） A． 5 B． 5 2 C． 5 2 D．5 第 II 卷 非选择题（90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．经过点 P(－2，－1)和点 Q(3，a)的直线与倾斜角是 45°的直线平行，则 a＝____. 14．若点  ,P a b 与  1, 1Q b a  关于直线l 对称，则l 的倾斜角 为_______ 15．已知实数 ,x y 满足 2 2 4 5 2 x y x y y x         ，则 1 yz x   的取值范围为__________． 16．已知 ( ) sin cosf x a x b x  的最大值为 ab ，则 4 4 2 2 1 9 1a b a b   的最小值为_______________. 三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10 分）设函数 1( )f x a x   和 2( ) ln( 4 3)g x x x    的定义域分别为集合 A 和 B ． （Ⅰ）当 2a  ，求函数 ( ) ( )y f x g x  的定义域； - 4 - (Ⅱ)若 ABCA U  )( ，求实数 a 的取值范围． 18．（12 分） ABC 的三个顶点为 (3,0), (-1,2), (1,2)A B C ，求： （Ⅰ） BC 边上的中线 AD 所在直线的方程； （Ⅱ） ABC 的外接圆方程. 19．（12 分）已知椭圆 C 中心在原点O ，焦点在 x 轴上，其长轴长为焦距的 2 倍，且过点 31, 2M      ， F 为其左焦点. （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； (Ⅱ)过左焦点 F 的直线 L 与椭圆C 交于 A ， B 两点，当 18 5AB  时，求直线 L 的方程． - 5 - 20．（12 分）如图，正方形 ACDE 所在的平面与平面 ABC 垂直， M 是CE 和 AD 的交点， AC BC ，且 AC BC ． (Ⅰ)求证： AM  平面 EBC ； (Ⅱ)求二面角 A EB C  的大小． 21．（12 分）已知动圆过定点 (4,0)A ，且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8． （Ⅰ）求动圆圆心的轨迹 C 的方程； (Ⅱ)已知点 ( )–1,0B ，长为 4 6 的线段 PQ 的两端点在轨迹 C 上滑动．当 x 轴是 PBQ 的 角平分线时，求直线 PQ 的方程． 22．（12 分）已知椭圆C ：   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的离心率为 1 2 ，点 31, 2A     在椭圆C 上， 直线 1l 过椭圆C 的右焦点与上顶点，动直线 2l ： y kx 与椭圆C 交于 M ， N 两点，交 1l 于 P 点. - 6 - （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； (Ⅱ)已知O 为坐标原点，若点 P 满足 1 4OP MN ，求此时 MN 的长度. 理科数学参考答案 1．A 2．B 3．C 4．A 5．D 6．D 7．C 8．C 9．D 10．C 11．A 12．D 13．4 14． 45 15． 1 ,23      16．17 17．（1） 2a  时，函数   1 1 2 f x a x x     ，    2ln 4 3g x x x    ， ∴函数      21 ln 4 3 2 y f x g x x x x         ， 应满足 2 2 0, 4 3 0, x x x       解得 2, 1 3, x x     即1 2x  所以函数 y 的定义域为  1,2 ． - 7 - （2）∵  ,A a  ，  1,3B  ，∴   ,1 3,R B    ð ， 若  RA B A ð ，则 1a  ，∴实数 a 的取值范围是 ,1 ． 18．（I）线段 BC 中点坐标为  0,2D ，直线 AD 过 ,A D 两点，由截距式得直线 AD 的方程为 13 2 yx   . （II）由于 ,B C 两点关于 y 轴对称，故圆心在 y 轴上，设圆心坐标为  0,O b ，则 OA OB ， 即  22 2 23 1 2b b    ，解得 1b   .所以圆的半径为 2 23 1 10OA    .所以 ABC 的 外接圆方程为 2 2( 1) 10x y   . 19．（1）由题知 2a c ，设椭圆的标准方程   2 2 2 2 1 0x y a ba b     ， 即 2 2 24c b c  ，∴ 2 23b c ，即 2 2 2 2 14 3 x y c c   ， 2 2 9 1 4 14 3c c   ， 2 4 14c  ， ∴ 2 1c  ， 1c  ，∴椭圆的标准方程： 2 2 14 3 x y  . （2）设直线 L ：   2 2 1 14 3 y k x x y      ，∴  222 1 14 3 k xx   ， 即   2 2 2 23 4 8 4 12 0k x k x k     ， 2 1 2 2 8 3 4 kx x k     ， 2 1 2 2 4 12 3 4 kx x k   ，  22 1 2 181 6 4 5A k x x xB       ，即  2 2 12 1 18 3 4 5 k k   ，∴ 2 2k   . 即 L ： 2 1 0x y   或 2 1 0x y   . 20．∵四边形 是正方形 ， - 8 - ，∵平面 平面 ， 平面 ， ∴可以以点 为原点，以过 点平行于 的直线为 轴，分别以直线 和 为 轴 和 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ． 设 ，则 ， ∵ 是正方形 的对角线的交点， ． (Ⅰ) ， ， ， ， 平面 ． (Ⅱ)设平面 的法向量为 ， 则 且 ， 且 ． 即 取 ，则 ， 则 ． 又∵ 为平面 的一个法向量，且 ， - 9 - ， 设二面角 的平面角为 ，则 ， ． ∴二面角 等于 ． 21．（1）由题意，动圆过定点 (4,0)A ， 设圆心 ( , )C x y ，线段 MN 的中点为 E，连接CE ，则CE y ， 则由圆的性质得 2 MNME  ，所以 2 2 2 2CA CM ME EC   ， 所以 2 2 2( 4) 4x y x    ，整理得 2 8y x ． 当 0x  时，也满足上式，所以动圆的圆心的轨迹方程为 2 8y x ． （2）设 1 1( , )P x y ， 1 1( , )Q x y ，由题意可知 2 1 18y x ， 2 2 28y x ． （ⅰ）当 PQ 与 x 轴不垂直时， 1 2 0y y  ， 1 2 0y y  ， 由 x 轴平分 PBQ ，得 1 2 1 21 1 y y x x    ， 所以 1 2 2 2 1 2 08 8 y y y y    ，所以 1 2 1 2( )(8 ) 0y y y y    ，整理得 1 28 0y y   ， 设直线 :PQ x my n  ，代入 C 的方程得： 2 8 8 0y my n   ． 则 1 2 8y y n   ，所以8 8 0n  ，解得 1n  ， 由于 2 2 2 1 21 1 64 32 4 6PQ m y y m m        ，解得 2 1 2m  ， - 10 - 因此直线 PQ 的方程为 2 1 02x y   ． （ⅱ）当 PQ 与 x 轴垂直时， 4 6PQ  ，可得直线 PQ 的方程为 3x  ． 综上，直线 PQ 的方程为 2 1 02x y   或 3x  ． 【点睛】 22．（1）由题意得 1 2 ce a   ， 2 2 2 3 1 2 1a b       ，结合 2 2 2a b c  ，解得 2 4a  ， 2 3b  ， 2 1c  ， 故所求椭圆C 的方程为 2 2 14 3 x y  . （2）易知定直线 1l 的方程为 3 3 0x y   . 联立 2 2 14 3 y kx x y    ，整理得 2 23 4 12k x  ，解得 2 12 3 4x k    ， 无妨令 M 点的坐标为 2 2 12 12,3 4 3 4kk k        . ∵ 1 4OP MN ，由对称性可知，点 P 为 OM 的中点，故 2 2 12 12 3 4 3 4( , )2 2 kk kP   ， - 11 - 又 P 在直线 1l ： 3 3 0x y   上，故 2 2 12 12 3 4 3 43 3 02 2 kk k     ， 解得 1 0k  ， 2 2 3 3k  ， 故 M 点的坐标为 2,0 或 6 4 3,5 5       ，所以 2OM  或 2 21 5 ，所以 MN 的长度为 4 或 4 21 5 .