2020-2021学年四川省南充市阆中中学高二（仁智班）上学期期中考试数学（文）试题 Word版

1 南充市阆中中学 2020-2021 学年高二（仁智班）上学期期中考试 数学试题（文） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1．在空间直角坐标系中，点 ( 1,1,3) 关于 y 轴的对称点的坐标为 A． ( 1, 1,3)  B． (1,1, 3) C． (1, 1, 3)  D． (1,1,3) 2. 若两直线 03y43 x 与 02y6  mx 平行，则它们之间的距离为 A．1 B． 2 1 C． 5 2 D． 5 4 3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是 4．直线 3 1 0x y   的倾斜角  A．30° B． 60 C．120 D．150 5．将一个总体分为甲、乙、丙三层，其个体数之比为 5∶4∶1，若用分层抽样的方法抽 2 取容量为 250 的样本，则应从丙层中抽取的个体数为 A．25 B．35 C．75 D．100 6．已知 m，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是 A．若 //m  ， //n  ，则 //m n B．若  ，   ，则 //  C．若 m  ， n   ， //m  ， n// ，则 //  D．若 m  ， n  ，且  ，则 m n 7．《算法统宗》是我国古代数学名著，由明代数学家程大 位所著，该著作完善了珠算口诀，确立了算盘用法， 完成了由筹算到珠算的转变，对我国民间普及珠算起 到了重要的作用.如果所示的程序框图的算法思路源 于该著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图，若 输出的 m 的值为 0，则输入的 a 的值为 A. 21 8 B． 45 16 C． 93 32 D．189 64 8．在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， E 为棱 1CC 的中点， 则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为 A． 2 2 B． 3 2 C． 5 2 D． 7 2 3 9．在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 2AB AC BC   ， 1 1AA  ，则点 A 到平面 1A BC 的距离为 A． 3 4 B． 3 2 C． 3 3 2 D． 3 10.已知 A ， B ，C ， D 是同一球面上的四个点，其中 ABC 是正三角形， AD  平面 ABC ， 2 12AD AB  ，则该球的表面积为（ ） A． 64 3 B．96 C．192 D． 48 11.若动点    1 1 2 2, , ,A x y B x y 分别在直线 1 : 7 0l x y   和 2 : 5 0l x y   上移动， 则 AB 中点 M 到原点距离的最小值为( ) A．3 2 B． 2 3 C．3 3 D． 4 2 12.直线 y x b  与曲线 21x y  有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是（ ） A． 2b   B． 1 1b   或 2b   C． 1 或1 D．以上都不对 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 13.若 ,x y 满足约束条件 2 2 0 3 0 , 2 x y x y x          则 2z x y  的最大值为_______________. 4 14.若六进制数 )6(051m （ m 为正整数）化为十进制为 293，则 m ______________. 15.已知直线 2 0ax y   与圆心为C 的圆   2 21 4x y a    相交于 ,A B 两点，且 ABC 为等边三角形，则实数 a ______________. 16. 学生到工厂劳动实践，利用 3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体 ABCD 1111 DCBA 挖去四棱锥 O—EFGH 后所得几何体,其中 O 为长方体的中心，E，F，G，H 分别为所在棱的中点， 16cm 4cmAB = BC = , AA = ， 3D 打印所用原料密度为 0.9 g/cm3，不考虑打印损耗， 制作该模型所需原料的质量为___________. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，其中第 1 小题 10 分，其余各小题 12 分，解答时应写出必要的文字说明、 证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12 分）已知直线 l 的方程为3 4 2 0x y+ = . （1）求过点 2,2 且与直线 l 垂直的直线方程； （2）求直线 1 0x y   与 2 2 0x y   的交点，且求这个点到直线 l 的距离. 18．（本小题满分 12 分）已知圆 C 经过点 A(2，－1)，和直线 x＋y＝1 相切，且圆心在直 线 y＝－2x 上. （1）求圆 C 的方程； 5 （2）已知直线 l 经过（2,0）点，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程. 19．（12 分）已知直线      : 2 1 1 7 4 0l m x m y m m      R ，圆    2 2: 1 2 25C x y    ． （1）求证：不论 m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交于两点． （2）当直线l 被圆C 截得的线段最短时，求线段的最短长度及此时 m 的值． 20．（本小题满分 12 分）已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是菱形， PD  平面 ABCD ， 2AD PD  ， 60DAB   ，F，G 分别为 PD，BC 中点， AC BD O . （Ⅰ）求证： FG∥平面 PAB； （Ⅱ）求三棱锥 A PFB 的体积； 21．已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1 的底面是直角三角形, ACB = 90, 030ABC , 6 点 B1 在 底 面 上 的 射 影 D 为 BC 的 中 点 , 21  BCBB （1）求 BB1 与平面 ABC 所成角度数 （2）求证:平面 11 AACC 平面 BCC1B1; 22．（本小题满分 12 分）已知点  0 0,M x y 在圆 2 2: 4O x y  上运动，且存在一定点  6,0N ，点  ,P x y 为线段 MN 的中点. （1）求点 P 的轨迹C 的方程； （2）过  0,1A 且斜率为 k 的直线l 与点 P 的轨迹C 交于不同的两点 ,E F ，是否存在 实数 k 使得 12OE OF   ，并说明理由. 7 阆中中学 2020 年秋高 2019 级期中教学质量检测（仁智） 数学参考答案（文科） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D D A A D C C B C A B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 13. 12 14. 2 15. 154  16. 8.118 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．（1） 4 3 2 0x y   （2）1 【详解】解：(1)设与直线3 4 2 0x y+ = 垂直的直线方程为 4 3 0x y c   ,把 ( 2,2) 代入，得 8 6 0c    ，解得 2c  , ∴所求直线方程为 4 3 2 0x y   . (2)解方程组 1 0, 2 2 0, x y x y        得 1, 0, x y    ∴直线 1 0x y   与 2 2 0x y   的交点为 (1,0) ,点 (1,0) 到直线3 4 2 0x y+ = 的距离 | 3 1 4 0 2 | 1 9 16 d       . 18.(1)设圆心的坐标为 C (a，－2a)， 则 2 2( 2) ( 2 1)a a    ＝ | 2 1| 2 a a  . 化简，得 a2－2a＋1＝0，解得 a＝1. 8 所以 C 点坐标为(1，－2)，半径 r＝|AC|＝ 2 2(1 2) ( 2 1)    ＝ 2 . 故圆 C 的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2. (2)①当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x＝2，此时直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2， 满足条件. ②当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝k（x—2），即 kx-y-2k=0 由题意得 2 2 1 1 k k    ，解得 k＝ 3 4 ，则直线 l 的方程为 y＝ 3 4 （x-2）. 综上所述，直线 l 的方程为 x＝2 或 3x-4y-6＝0. 19．（1）详见解析（2） 3 4m   ．此时，弦长为 4 5 【详解】（1）直线  : 4 2 7 0l x y m x y      ，必过直线 4 0x y   与直线 2 7 0x y   的 交点．联立方程 4 0 2 7 0 x y x y        ，解得 3 1 x y    ，所以直线过定点  3,1P ．    2 23 1 1 2 25    ，即点 P 在圆内， 直线与圆 C 恒相交于两点。 （2）当直线l 被圆C 截得的线段最短时，直线 l 垂直 CP ． 1 2 1 3 1 2CPk    ，直线 l 的斜率 2k  ，则 2 1 21 m m   ，解得 3 4m   ． 此时，弦长 222 2 25 5 4 5r CP     。 20.（Ⅰ）如图，连接 OF ，OG ∵O 是 BD 中点， F 是 PD 中点， ∴ / /OF PB ，而 OF  平面 PAB ， PB  平面 PAB ， ∴ / /OF 平面 PAB ， 又∵O 是 AC 中点，G 是 BC 中点， 9 ∴ / /OG AB ，而OG  平面 PAB ， AB Ì平面 PAB ， ∴ //OG 平面 PAB ，又OG OF O ∴平面 / /OFG 平面 PAB ，即 / /FG 平面 PAB . （Ⅱ）∵ PD  底面 ABCD ，∴ PD AO ，又四边形 ABCD 为菱形， ∴ BD AO ，又 AD DB D ，∴ AO  平面 PDB ，而 F 为 PD 的中点， ∴ 1 1 1 1 32 2 sin 60 22 4 4 3 3A PFB A PDB P ABCDV V V             . 21.（1） 060 （2）提示：证 AC 垂直于面 11BBCC 22.（1）由中点坐标公式，得 0 0 6 2 2 xx yy     即： 0 2 6x x  ， 0 2y y . ∵点  0 0,M x y 在圆 2 2 4x y  上运动，∴ 2 2 0 0 4x y  ， 即   2 22 6 2 4x y   ，整理，得  2 23 1x y   . ∴点 P 的轨迹 C 的方程为 2 23 1x y   . （2）设  1 1,E x y ，  2 2,F x y ，直线l 的方程是 1y kx  ，代入圆 2 23 1x y   . 可得   2 21 2 3 9 0k x k x     ，由 232 24 0k k     ，得 3 04 k   ， 且   1 2 2 2 3 1 kx x k    ， 1 2 2 9 1x x k   ，∴     2 1 2 1 2 1 2 1 21 1 1y y kx kx k x x k x x       2 2 9 1 k k     2 2 3 11 k k k    2 2 8 6 1 1 k k k    . 10 2 1 2 1 2 2 8 6 10 121 k kOE OF x x y y k          . 解得 1 2k  或 1，不满足 0  .∴不存在实数 k 使得 12OE OF   .