2020-2021学年浙江省温州十五校联合体高二上学期期中联考数学试题 word版

- 1 - 绝密★考试结束前 浙江省温州十五校联合体 2020-2021 学年高二上学期 期中联考数学学科 试题 考生须知： 1．本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟； 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字； 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题纸。 选择题部分（共 40 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.用一个平面去截圆锥，则截面不可能是 A. 椭圆 B. 圆 C. 三角形 D. 矩形 2.一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条 A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面 3.椭圆 2 2+ 13 y x  的焦点坐标是 A．  2,0 ， 2,0 B．  2,0 ，  2,0 C．  0, 2 ，  0, 2 D．  0,2 ， 0, 2 4．原命题“若实数 a, b, c 成等比数列，则 b ac2 ”，则 A．逆命题与否命题假，逆否命题真 B．逆命题假，否命题和逆否命题真 C．逆命题和否命题真，逆否命题假 D．逆命题、否命题、逆否命题都真 5.如图 1 所示，正方形 ' ' ' 'O A B C 的边长为 1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则 原图形的面积是 A. 21 cm B. 22 2 cm C. 23 2 cm D. 22 cm4 图 1 - 2 - 2 2 + 14 3 x y  6. “直线 l 与平面α内无数条直线平行”是“直线 l 与平面α平行”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7.方程 2| | 1 1 ( 2)x y    所表示的曲线是 A.一个圆 B. 两个圆 C.一个半圆 D.两个半圆 8.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，过点 C 做直线 l，使得直线 l 与直线 BA1 和 B1D1 所成的角均为 o70 ， 则这样的直线 l A.不存在 B. 2 条 C.4 条 D. 无数条 9.如图 2 所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 M 是棱 BC 的中点，点 P 是平面 DCC1D1 内的动 点，若直线 AP 与平面 DCC1D1 所成的角等于直线 MP 与平面 DCC1D1 所成的角， 则点 P 的轨迹是 A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 射线 10.已知椭圆 C： 的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，点 M 是椭圆 C 在第二象 限内的点，若 I 是 1 2MF F△ 的内心， G 是 1 2MF F△ 的重心，记 1 2 I F F△ 与 2GF M△ 的面积分 别为 1S ， 2S ，则 A． 1 2S S B． 1 2S S C． 1 2S S D． 1S 与 2S 大小不 确定 非选择题部分（共 110 分） 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分. 11.椭圆 2 2 : 19 4 x yC   的离心率为 ▲ ，长轴长 ▲ . 12.某三棱锥的三视图如图 3 所示，则俯视图的面积为 ▲__, 该几何体的体积是 ▲__. 13.过圆 2 2 8x y  上任意一点 P 作 x 轴垂线，垂足为 Q，则线段 PQ 的 中点 M 的轨迹方程为 ▲ . 14.已知圆锥的侧面积为 24 cm ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是 ▲ cm,母线长为 ▲ cm. 图 2 图 3 - 3 - 15.不等式 2 1 0kx x   对任意的实数 x 恒成立的充要条件是 k  ▲ . 16.已知椭圆 2 2 19 5 x y  的左右焦点分别为 1 2F F、 ，点 P 在椭圆上，若线段 1PF 的中点在 y 轴上，则 2 1PF F  ▲ ， 1 2| | | |PF PF = ▲ . 17.在正三棱锥 A-BCD 中，AB=AC=AD=5，BC=BD=CD=6. 点 M 是线段 BC 上的点，且 2BM MC . 点 P 是棱 AC 上的动点，直线 PM 与平面 BCD 所成角为 ，则 sin 的最大值为 ▲ . 三、解答题：本大题共 5 小题,共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（满分 14 分）已知 2: 8 15 0p x x   ， 2 2: 2 ( )q x x a a    1 0 0 ． （Ⅰ）若 p 为真命题，求实数 x 的取值范围； （Ⅱ）若 p 为 q 成立的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围． 19. （满分 15 分）如图 4 所示，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，侧面 PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，且平面 PAD  平面 ABCD . （Ⅰ）求证： //AD 平面 PBC ；（Ⅱ）求直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值. 图 4 20. （满分 15 分）已知 1 2( 1,0), (1,0),F F 动点 P 满足 1 2| | | | 4PF PF  ，动点 P 的轨迹为曲 - 4 - A B CD E 线 Γ . （Ⅰ）求点 P 的轨迹方程； （Ⅱ）直线 l 与曲线 Γ 交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点为 M（1,1），求直线 l 的方程. 21.（满分 15 分）如图 5 所示，在三棱锥 D-ABC 中， AD DBC 平面 ， o120BDC  ，且 DA=1，DB=DC=2，E 是 DC 的中点 . （Ⅰ）求异面直线 AE 与 BD 所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角 A-BE-C 的正切值. 图 5 22.（满分 15 分）已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)y xC a ba b     经过点 1( , 3)2 ，且 (0, 3)F 是C 的一 个焦点，过焦点 F 的动直线 l 交椭圆于 ,A B 两点. （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）y 轴上是否存在定点 P （异于点 F ），使得对任意的动直线l 都有 APF BPF   ， 若存在求出点 P 的坐标，若不存在，请说明理由. - 5 - 2020 学年第一学期“温州十五校联合体”期中联考 高二数学卷评分标准与参考答案 一、选择题(4×10=40 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D C A B B D C A B 9. A【解析】∠APD=∠MPC，从而 PD=2PC，所以点 P 的轨迹是一个圆。（阿波罗尼斯圆） 10. B【解析】设内切圆半径为 r，则 1 2 1 1 12 , 2 3 3S r r S S S      ，故选 B. 二、填空题.（本大题有 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分） 11. 5 3 ，6 ； 12． 22 3 ， ; 13. 2 2 18 2 x y  ； 14． 2 2 2， ； 15． 1( , ]4   ； 16． 8 2 3  ， ； 17． 13 4 17.【解析】由面面角最大角定理， 的最大值即为二面角 A-BC-D 的平面角的大小. 三.解答题：本大题共 5 小题,满分 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18. 解：（Ⅰ）若 p 为真命题，解不等式 2 8 15 0x x   得3 5x  ， 实数 x 的取值范围是[3，5]. ------------------------6 分 （Ⅱ）解不等式 2 22 ( )x x a a    1 0 0 得1 1+a x a   ， ------------------------9 分 ∵ p 为 q 成立的充分不必要条件，∴[3,5]是[1-a,1+a]的真子集. ------------------------11 分 ∴ a a      1 3且等号不同时取到1 5 ，得 a≥4. ∴实数 a 的取值范围是[4,+ ) ------------------------14 分 19. 解：（Ⅰ）证明： / / , ,AD BC BC PBC AD PBC 平面 平面 ------------------------5 - 6 - 分 / /AD PBC 平面 ------------------------7 分 （Ⅱ）取 AD 中点 M，连接 PM，CM，则 PM⊥AD. 又∵平面 PAD⊥底面 ABCD， ∴PM⊥平面 ABCD ∴∠PCM 就是直线 PC 与平面 ABCD 所成的角. ------------------------11 分 由勾股定理可求得 1, 5 6PM CM PC  ， , ∴ 6sin 6 PMPCM PC    . 直线 PC 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 6 6 . ------------------------15 分 20. 解：（Ⅰ）由椭圆的定义可知点 P 的轨迹是以 1 2( 1,0), (1,0)F F 为焦点，长轴长为 4 的椭 圆. ∴ Γ 的方程为 2 2 14 3 x y  . -----------------------6 分 （Ⅱ）（点差法）设 1 1 2 2( , ), ( , ),A x y B x y ∵A、B 是 Γ 上的点， 由 2 2 1 1 2 2 2 2 3 4 12 3 4 12 x y x y      作差得， 1 2 1 2 1 2 1 23( )( ) 4( )( ) 0x x x x y y y y      ------------------------10 分 又线段 AB 的中点为 M（1,1），∴ 1 2 1 2= =2x x y y  从而直线 AB 斜率 2 1 2 1 3 4AB y yk x x    . ------------------------13 分 直线 l 的方程为 31 ( 1) 3 4 7 0.4y x x y      ，即 ------------------------15 分 - 7 - (用韦达定理等其它方法可酌情给分) 21．解：（Ⅰ）取线段 BC 中点 F，连接 EF，AF，则 EF//BD， 从而∠AEF 就是直线 AE 与 BD 所成的角. ------------------------3 分 在△AEF 中，可求得 22, 1,cos 4AE AF EF AEF     ∴异面直线 AE 与 BD 所成角的余弦值为 2 4 . ------------------------7 分 （Ⅱ）可知二面角 A-BE-C 的平面角与二面角 A-BE-D 的平面角互补. ∵ AD DBC 平面 ，作直线 DG⊥BE 于 G，连接 AG，则 AG⊥BE. 从而∠AGD 就是二面角 A-BE-D 的平面角. ------------------------11 分 在△DBE 中，由余弦定理可求得 BE= 7 .由面积法可求得 21 7DG  . ∴ 1 21tan 321 7 ADAGD DG     . ∴二面角 A-BE-C 的正切值为 21 3  . ------------------------15 分 22. 解：（Ⅰ）依题意得， 2 2 2 2 3 1 14 3 a b a b       ，解得 2, 1a b  . ------------------------4 分 椭圆 C 的方程为 2 2 14 1 y x  . ------------------------6 分 （Ⅱ）设存在点 P（0，t）满足题意，设直线 l 的方程为 3y kx  . 设 1 1 2 2( , ), ( , ),A x y B x y 由 2 2 3 4 4 y kx y x      消去 y 得， 2 2( 4) 2 3 1 0k x kx    . 从而 1 2 1 22 2 2 3 1 4 4 kx x x xk k        ， . ------------------------10 D E C B F A D E C B G A - 8 - 分 由 APF BPF   得 0AP BPk k  ， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 2 ( 3 )( ) AP BP y t y t kx t kx t kx x t x xk k x x x x x x               = 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 3( 3 ) 2 1 ( 3 ) 3 2 4 34 4 04 4 k kt k t k tk k x x k x x k x x             ---------------------- -13 分 只需 4 33t  即可满足. 从而 y 轴上存在定点 4(0, 3)3P 满足题意. ------------------------15 分