2020-2021学年四川省宜宾市叙州区第一中学高二上学期第二次月考数学（理）试题 Word版

1 宜宾市叙州区第一中学 2020-2021 学年高二上学期第二次月考 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．命题“ 0 (0, )x   , 0 0 1lg x x  ”的否定是 A． (0, )x   , 1lg x x  B． (0, )x   , 1lg x x  C． 0 (0, )x   , 0 0 1lg x x  D． 0 (0, )x   , 0 0 1lg x x  2．已知 x，y∈R，且 x>y>0，则下式一定成立的是 A． 1 1 0x y y   B．2x－3y>0 C．( 1 2 )x－( 1 2 )y－x0 3．抛物线 2 16y x 的准线为 A． 8x  B． 8x   C． 4x  D． 4x   4．设 xR ，则“ 2 0x  ”是“ 1 1x   ”的 A．充要条件 B．充分而不必要条件 22 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．若倾斜角为 的直线l 与直线3 2 0x y   平行，则sin2＝ A． 3 5 B． 3 5- C． 4 5  D． 4 5 6．直线 1l ：  3 4 0a x y    与直线 2l ：  1 4 0x a y    垂直，则直线 1l 在 x 轴上的截距是 A． 4 B．2 C． 2 D．4 7．我国于 2010 年 10 月 1 日成功发射嫦娥二号卫星，卫星飞行约两小时到达月球，到达月球以后，经过几 次变轨将绕月球以椭圆型轨道飞行，其轨迹是以月球的月心为一焦点的椭圆。若第一次变轨前卫星的近月 点到月心的距离为 m,远月点到月心的距离为 n，第二次变轨后两距离分别为 2m,2n.则第一次变轨前的椭圆 离心率比第二次变轨后的椭圆离心率 A、变大 B、变小 C、不变 D、与 m n 的大小有关 8．已知直线 y＝kx－3 经过不等式组 2 0 2 4 4 x y x y y         所表示的平面区域，则实数 k 的取值范围是 A． 7 3,2 2     B． 7, 2       ∪ 3 ,2    C． 7 7,2 4     D． 7, 2       ∪ 7 ,4    9．已知命题 :p a R  ，且 10, 2a a a    ，命题 0 0 0: ,sin cos 3q x R x x    ，则下列判断正确的是 A． p 是假命题 B． q是真命题 C．  p q  是真命题 D． p q  是真命题 10．若双曲线 E : 2 2 12 2 x y m m   ( 1)m 的焦距为10，则该双曲线的离心率为 3 A． 4 3 B． 5 3 C． 5 4 D． 25 16 11．过圆 422  yx 外一点 P 作该圆的切线，切点为 BA、 ，若 060APB ,则点 P 的轨迹是 A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 12．过抛物线  2: 2 0E x py p  的焦点 F 作两条互相垂直的弦 AB，CD，设 P 为抛物线上的一动点， (1,2)Q ， 若 1 1 1 | | | | 4AB CD   ，则| | | |PF PQ 的最小值是 A．1 B．2 C．3 D．4 第 II 卷 非选择题（90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．函数   2 4xf x x  在区间 1,5 上的值域是________________. 14．由直线 : 2 4 0l x y   上的任意一个点向圆 2 2:( 1) ( 1) 1C x y+ + - = 引切线，则切线长的最小值为 ________. 15．已知 P 是抛物线 2 4y x 上的动点，点 P 在 y 轴上的射影是 M ，点 A 的坐标为 2,3 ，则 PA PM 的最小值是__________． 16．如图所示， ,OA OB   为两个不共线向量， M 、 N 分别为OA、 OB 的中点，点C 在直线 MN 上，且 ),( RyxyOBOAxOC  则 2 2x y 的最小值为________. 三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 44 17．（10 分）已知命题 p：方程 2 2 12 x y m   表示焦点在 y 轴上的椭圆；命题 q： x R  ， 24 4 4 3 0x mx m    .若 p q￢ 为真，求 m 的取值范围． 18．（12 分）在 ABC 中， ( 1,2)A  ，边 AC 上的高 BE 所在的直线方程为 7 4 46 0x y   ，边 AB 上中线 CM 所在的直线方程为 2 11 54 0x y   . （1）求点 C 坐标； （2）求直线 BC 的方程. 19．（12 分）某新建居民小区欲建一面积为 700 平方米的矩形绿地，在绿地四周铺设人行道，设计要求绿地 长边外人行道宽 3 米，短边外人行道宽 4 米.怎样设计绿地的长与宽，才能使人行道的占地面积最小？（结 果精确到 0.1 米） 20．（12 分）已知在直角梯形 'ABC D 中， 90A B     ， 1, ' 2AD AB BC   ，将 'C BD 沿 BD 折 起至 CBD ，使二面角C BD A  为直角. (1)求证：平面 ADC  平面 ABC ； 5 (2)若点 M 满足 AM AC  ,  0 1  ，，当二面角 M BD C  为 45°时，求  的值. 21．（12 分）已知圆 2 2( 3) ( 4) 16x y    ，直线 1 : 0l kx y k   ，且直线 1l 与圆交于不同的两点 ,P Q ， 定点 A 的坐标为 (1,0) . （1）求实数 k 的取值范围； （2）若 ,P Q 两点的中点为 M ，直线 1l 与直线 2 : 2 4 0l x y   的交点为 N ，求证：| | | |AM AN 为定值. 22．（12 分）椭圆C 一个焦点为 (1,0)F ，离心率 2 2e  ． （1）求椭圆C 的方程式． （2）定点 (0,2)M ， P 为椭圆 C 上的动点，求| |MP 的最大值；并求出取最大值时 P 点的坐标求． （3）定直线 : 2l x  ， P 为椭圆C 上的动点，证明点 P 到 (1,0)F 的距离与到定直线l 的距离的比值为常数， 并求出此常数值． 66 理科数学参考答案 1．B 2．C 3．D 4．C 5．A 6．C 7．C 8．B 9．C 10．C 11．B 12．C 13． 294, 5      14． 2 15． 10 1 16． 1 8 17 当命题 p 为真时可得 2m  ，∴ p ： 2m  ． 当命题 q 为真时可得  216 16 4 3 0m m    ，解得1 3m  ． ∵ p q￢ 为真，∴ 2 1 3 m m     ，解得1 2m  ． ∴实数 m 的取值范围是 1 2， ． 18．（1） AC 边上的高为 7 4 46 0x y   ，故 AC 的斜率为 4 7 ， 所以 AC 的方程为  42 17y x   ，即 4 7 18 0x y   ， 因为CM 的方程为 2 11 54 0x y   2 11 54 0 4 7 18 0 x y x y        ， ， 解得 6 6 x y    所以  6 6C ， . （2）设  0 0,B x y ， M 为 AB 中点，则 M 的坐标为 0 01 2,2 2 x y      ， 0 0 0 0 1 22 11 54 02 2 7 4 46 0 x y x y          解得 0 0 2 8 x y    ， 所以  2,8B ， 又因为  6,6C ， 所以 BC 的方程为  8 66 62 6y x   即 BC 的方程为 2 18 0x y   . 7 19．设绿地的长边为 x 米，则宽边为 700 x 米，人行道的占地面积为 S 平方米， 所以   700 5600 56006 8 8 6 48 2 6 48 80 21 48S x x xx x x             ， 当且仅当 56006x x  ，即 20 21 3x  时，上式中等号成立， 其中 21 4.58 ，则80 21 48 414.4  ， 因此，当绿地的长为 20 21 30.53  米，宽为 23.0 米时，人行道的占地面积最小为 414.4 平方米. 20．(1)梯形 'ABC D 中，∵ 1, 90AD AB DAB    ，∴ 2BD  . 又∵ ' 45 ' 2DBC BC   ， ,∴ ' 2C D  ,∴ ' 90BDC   . ∴ 90BDC   .折起后，∵二面角C BD A  为直角， ∴平面 CBD 平面 ABD .又平面CBD 平面 ,ABD BD CD BD  , ∴CD  平面 ABD . 又 AB  平面 ABD ， ∴ AB CD .又∵ ,AB AD AD CD D   ,∴ AB  平面 CAD . 又∵ AB  平面 ABC ，∴平面 ADC  平面 ABC . (2)由(1)知，DC  平面 ,ABD AB AD ，∴以 D 为原点， , ,DA AB DC   方向分别为 x 轴、 y 轴、z 轴正方 向，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz . 则      1,1,0 , 0,0, 2 , 1,0,0B C A ,设  , ,M x y z ，由 AM AC  , 88 得 1 0 2 x y z           ，得  1 ,0 2M   .取线段 BD 的中点 E ，连结 AE ， 则 1 1, ,02 2E      ,∵ AD AB ,∴ AE BD .又∵ ,CD AE CD BD D   , ∴ AE  平面 BDC .∴平面 BDC 的一个法向量为 1 1, ,02 2AE       . 设平面 MDB 的一个法向量为  , ,m a b c ，则  0 1 2 0, 0 0, m DM a c m DB a b               取 1c   ，则  2 , 2 ,1m      .∴ 2cos , 2m AE  ， 即  22 2 2 2 2 12 2 2 32 2 2 12               或 1 .∵ 0  ，∴ 1 3   . 21．（1）因为圆 2 2( 3) ( 4) 16x y    与直线 1l 与交于不同的两点， 所以 2 3 4 4 1 k k k     ，即 23 4 0k k  ，解得 4 3k   或 0k  （2）由 0{ 2 4 0 kx y k x y       可得 2 4 5( )2 1 2 1 k kN k k    ， 由 2 2 0{( 3) ( 4) 16 kx y k x y        可得 2 2 2 2(1 ) (2 8 6) 8 9 0k x k k x k k        设 P Q， 两点横坐标分别为 1 2x x， ，则 2 1 2 2 2 8 6 1 k kx x k     得 2 2 2 2 4 3 4 2( )1 1 k k k kM k k      ， 9 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 4 2 2 4 5( 1) ( ) ( 1) ( )1 1 2 1 2 1 k k k k k kAM AN k k k k               2 2 2 2 2 1 1 5 1 101 2 1 k k k k k       22．（Ⅰ）根据题意得 1c  ， 2 2 ce a   ，∴ 2a  ， 1c  ，  故椭圆C 的方程为 2 2 12 x y  ． （Ⅱ）设 P 点坐标为  0 0,x y ，则 2 20 0 12 x y  ，所以 2 2 0 02 2x y  所以      2 2 22 2 2 0 0 0 0 0 0 02 2 2 2 4 6 2 10MP x y y y y y y               ， ∵ 01 1y   ，∴当 0 1y   时， MP 取得最大值 3．∴ MP 最大值为3，此时 P 点坐标为 0, 1 ． （Ⅲ）设 P 点 ,x y ，则 2 2 12 x y  ，所以 2 2 1 2 xy   所以点 P 到  1,0F 的距离为：         2 2 2 22 2 21 1 11 1 1 2 2 4 4 22 2 2 2 xx y x x x x x x              ， 由椭圆的性质可得 2 2x   所以      2 22 1 21 2 22 2x y x x      所以点 P 到直线 2x  的距离为 2 x ，所以  2 2 22 2 2 x x   ， 故 P 到  1,0F 的距离与到定直线的距离之比为常数 2 2 ． 1010