2020-2021学年四川省南充市阆中中学高二上学期期中考试数学（理）试题 Word版

1 四川省南充市阆中中学 2020-2021 学年高二上学期期中考试 数 学 试 卷 （理） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第 I 卷（选择题） 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1． 在空间直角坐标系中，点 ( 1,1,3) 关于 y 轴的对称点的坐标为 A． ( 1, 1,3)  B． (1,1, 3) C． (1, 1, 3)  D． (1,1,3) 2． 直线 3 1 0x y   的倾斜角  A．30° B． 60 C．120 D．150 3． 右上图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是 A． B． C． D． 2 4． 若两直线 平行，则它们之间的距离为 A．1 B． C． D． 5． 圆      2 2 22 1 2: 1 1 4 1 4C x y C x y      与圆 ： 的公切线的条数为 A．4 B．3 C．2 D．1 6． 已知点    2, 3 , 3, 2A B   ，直线 : 1 0l mx y m    与线段 AB 相交，则直线 l 的 斜率 k 的取值范围是 A． 3 4k  或 4k   B． 34 4k   C． 1 5k   D． 3 44 k   7． 已知 ABC 的边长为 2，按照斜二测画法作出它的直观图 ' ' 'A B C ，则直观图 ' ' 'A B C 的面积为 A． 6 3 B． 3 C． 6 4 D． 3 6 2 8． 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积和表面积分别为 A． 4 3  ， 3 2  B． 2 3  ， 3 2  C． 4 3  ， 4 2  D． 2 3  ， 4 2  3 9． 点 (4, 2)P  与圆 2 2 4x y  上任一点连线的中点的轨迹方程是 A． 2 2( 2) ( 1) 1x y    B． 2 2( 2) ( 1) 4x y    C． 2 2( 4) ( 2) 4x y    D． 2 2( 2) ( 1) 1x y    10．过点 (3,1) 作一直线与圆 2 2( 1) 9x y   相交于 M、N 两点，则 MN 的最小值为 A． 2 5 B．2 C．4 D．6 11．若直线 1ax by  与圆 2 2 1x y  有两个公共点，则点  ,P a b 与圆 2 2 1x y  的 位置关系是 A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能 12．直线 y x b  与曲线 21x y  有且仅有一个公共点，则 b 的取值范围是 A． 2b   B． 1 1b   或 2b   C． 1 或1 D．以上都不对 第 II 卷（非选择题） 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13．已知 x，y 满足 2 2 x y x x y       ，则 2z x y   的最大值为 ____________. 14．经过点 A(1,1)且在两条坐标轴上的截距相等的直线方程是________． 15. 若圆 1C ： 2 2 0x y ax by c+ + + + = 与圆 2C ： 2 2 4x y  关于直线 2 1y x  对称， 则 c  ______. 16．若直线 :l y x m  上存在满足以下条件的点 P :过点 P 作圆 2 2: 1O x y  的两条 4 切线（切点分别为 ,A B ）,四边形 PAOB 的面积等于3，则实数 m 的取值范围是 _______. 三、解答题（共 70 分） 17．（10 分）已知直线 l 的方程为3 4 2 0x y+ = . （1）求过点 2,2 且与直线 l 垂直的直线方程； （2）求直线 1 0x y   与 2 2 0x y   的交点，且求这个点到直线 l 的距离. 18．（12 分）已知圆C 经过  1,5A  ，  5,5B ，  6, 2D  三点． （1）求圆C 的标准方程； （2）求经过点  3,2E  且和圆C 相切的直线 l 的方程． 19．（12 分）直线 l 经过两条直线 1 : 4 0l x y   和 2 : 2 0l x y   的交点，且与直线 2 1 0x y   平行. （1）求直线 l 的方程； 5 （2）求直线 l 与坐标轴围成的三角形面积. 20．（12 分）已知直线      : 2 1 1 7 4 0l m x m y m m       R ，圆    2 2: 1 2 25C x y    ． （1）求证：不论 m 取什么实数，直线 l 与圆C 恒相交于两点； （2）当直线 l 被圆C 截得的线段最短时，求线段的最短长度及此时 m 的值． 21．（12 分）已知点 ( 4,0), (2,0)A B ，动点 P 满足| | 2| |PA PB . （1）求点 P 的轨迹C 的方程； （2）求经过点 (2, 2)M  以及曲线C 与 2 2 4x y  交点的圆的方程. 22．（12 分）已知过点  0,2M 且斜率为 k 的直线l 与圆C ： 2 21 1x y   交于 A ， B 两点. （1）求斜率 k 的取值范围； （2）O 为坐标原点，求证：直线OA与OB 的斜率之和为定值. 6 参考答案 1-5．BADDA 6-10．ACBAC 11-12．BB 13． 1 14． 0x y－ ＝ 或 2 0x y＋ － ＝ 15． 16 5  16． 5 52 ,2   17．解：(1)设与直线3 4 2 0x y+ = 垂直的直线方程为 4 3 0x y c   ,把 ( 2,2) 代入，得 8 6 0c    ，解得 2c  , ∴所求直线方程为 4 3 2 0x y   . (2)解方程组 1 0, 2 2 0, x y x y        得 1, 0, x y    ∴直线 1 0x y   与 2 2 0x y   的交点为 (1,0) ,点 (1,0) 到直线3 4 2 0x y+ = 的距离 | 3 1 4 0 2 | 1 9 16 d       . 18．解：（1）设所求圆的一般方程为 2 2 0x y Dx Ey F     ，则 1 25 5 0 25 25 5 5 0 36 4 6 2 0 D E F D E F D E F                  ，解得 4, 2, 20D E F      ， 所以所求圆的一般方程为 2 2 4 2 20 0x y x y     ，即 2 2( 2) ( 1) 25x y    ， 所以圆C 的标准方程为 2 2( 2) ( 1) 25x y    ， （2）由（1）可知圆C ： 2 2( 2) ( 1) 25x y    的圆心 (2,1)C ，半径为 5， 若直线l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 3x   ，圆心 (2,1)C 到直线l 的距离 5d  ，与圆相切， 符合题意， 若直线l 的斜率存在时，设直线 l 的斜率为 k ，则直线 l 的方程为 2 ( 3)y k x   ，即 3 2 0kx y k    ，则有 2 5 1 5 1 kd k    ，解得 12 5k  ， 所以直线 l 的方程为12 5 46 0x y   ， 7 综上，直线l 的方程为 3x   或12 5 46 0x y   19．解：（1）直线 l 经过直线 1 : 4 0l x y   与直线 2 : 2 0l x y   的交点 P ， 解方程组 4 0 2 0 x y x y        ，解得 1 3 x y    ，即  1,3P ， l 平行于直线 2 1 0x y   ， 设直线 l 的方程为 2 0x y m   ， 把  1,3P 代入，得 2 3 0m   ，解得 1m  ， 直线 l 的方程为 2 1 0x y   ． （2）在直线 :2 1 0l x y   中， 令 0x  ，得 1y  ；令 0y  ，得 1 2x   ． 直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积： 1 1 112 2 4S      ． 20．（1）直线  : 4 2 7 0l x y m x y      ，必过直线 4 0x y   与直线 2 7 0x y   的交 点．联立方程 4 0 2 7 0 x y x y        ，解得 3 1 x y    ，所以直线过定点  3,1P ．    2 23 1 1 2 25    ，即点 P 在圆内， 直线与圆 C 恒相交于两点。 （2）当直线 l 被圆C 截得的线段最短时，直线l 垂直 CP ． 1 2 1 3 1 2CPk    ，直线 l 的斜率 2k  ，则 2 1 21 m m   ，解得 3 4m   ． 8 此时，弦长 222 2 25 5 4 5r CP     。 21．(1)设 ( , )P x y ,因为 ( 4,0), (2,0)A B ,| | 2| |PA PB ,所以 2 2 2 2( 4) 2 ( 2)x y x y     ,整理 得 2 2 8 0x y x   ,所以曲线C 的方程为 2 2 8 0x y x   . (2)设所求方程为  2 2 2 24 8 0x y x y x      ,即 2 2(1 ) (1 ) 8 4 0x y x        ,将 (2, 2)M  代入上式得 2 2(1 ) 2 (1 ) ( 2) 8 2 4 0            ,解得 1 2   , 所以所求圆的方程为 2 2 8 8 03 3x y x    . 22．解：（1）直线 l 的方程为：  2 0y k x   即 2 0kx y   . 由 2 21 1x y   得圆心  1,0C ，半径 1r  . 直线与圆相交得 d r ，即 2 2 1 1 k k    . 解得 3 4k   .所以斜率 k 的取值范围为 3 4k   . （2）联立直线与圆方程：  2 2 2 1 1 y kx x y      . 消去 y 整理得   2 21 4 2 4 0k x k x     . 设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，根据韦达定理得 1 2 2 1 2 2 4 2 1 4 1 kx x k x x k          . 则 1 2 1 2 OA OB y yk k x x    9 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 8 4 2 2 2( )2 2 12 2 2 4 1 k kx kx x x kk k kx x x x x x k              2 2 1 1k k    . ∴直线OA与OB 的斜率之和为定值 1.