2020-2021 学年度第一学期高二年级 10 月月考
高二理科数学
满分：150 分 考试时间：120 分钟
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第 I 卷（选择题）
一、单选题（共 12 题，每题 5 分，共 60 分）
1．若集合 2 3 0M x x x ∣ ， 2log 2N x x ∣ ，则 M N （ ）
A．{ 2} B． (0,4) C． ( ,4) D．[0,4)
2．已知向量 ( ,1)a m ， (2, 3)b ，若 2a b b ，则 m （ ）
A． 19
4
B．19
4
C． 2
3
D． 2
3
3．不等式 3 1 12
x
x
的解集是（ ）
A． 3 24x x
∣ B． 3 24x x
∣
C． 3 24x x x
∣ 或 D．{ 2}x x ∣
4． ABC△ 中角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．若 2cos 2 2
B a c
c
，则 ABC△ 的形状为（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
5．已知 ( , )( 3) 3 4 ( , )7 (5 ) 8 0x y m x y m x y x m y ∣ ∣ ，则直线 ( 3) 3 4m x y m
与坐标轴围成的三角形面积是（ ）
A．2 B．4 C．128
7
D．2 或128
7
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． 7
3
B． 8
3
C．3 D．10
3
7．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图为直角梯形O A B C ，且 2O A ， 1O C ，A B 平行于 y
轴，则这个平面图形的面积为（ ）
A．5 B．5 2 C． 5
2
D． 5 2
2
8．若实数 x，y 满足
3 0
2
2 0
x y
x
x y
，则 2 4z x y 的最小值为（ ）
A． 12 B． 3 C．3 D．24
9．从正方体六个表面中，任取两个面是平行的概率为（ ）
A． 1
4
B． 1
3
C． 1
5
D． 1
6
10．已知函数 1
2
12 log , 18( )
2 ,1 2x
x x
f x
x
，若 ( ) ( )( )f a f b a b ，则 b a 的取值范围为（ ）
A． 30, 2
B． 70, 4
C． 90, 8
D． 150, 8
11．若直线 : 3l y kx 与直线 3 0x y 相交，且交点在第一象限，则直线 l 的倾斜角的取值范围是
（ ）
A． 0 ,60 B． 30 ,60 C． 30 ,90 D． 60 ,90
12．若 P 为直线 3 0x y 上一个动点，从点 P 引圆 2 2 2 0x y x 的两条切线 PM，PN（切点为 M，
N），则线段 MN 的长度的取值范围是（ ）
A．[ 7,2) B．[ 7,2] C． 14 ,22
D． 14 ,22
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（共 4 题，每题 5 分，共 20 分）
13．一个圆锥的底面面积是 S，侧面展开图是半圆，则该圆锥的侧面积是__________．
14．已知正四棱柱的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是 3 5cm ，则这个正四棱柱的体积是______ 3cm ．
15．圆心在直线 4y x ，且与直线 1 0x y 相切于点 3, 2P 的圆的标准方程为___________．
16．已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2 3 ，其内有 2 个不同的小球，球 1O 与三棱锥 1 1A CB D 的
四个面都相切，球 2O 与三棱锥 1 1A CB D 的三个面和球 1O 都相切，则球 2O 的表面积等于________．
三、解答题（本大题共 6 题，其中 17 题 10 分，18 题至 22 题均为 12 分，共 70 分．解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤．）
17．（本题满分 10 分）
已知两点 2,1A ， 4,3B ，两直线 1 : 2 3 1 0l x y ， 2 : 1 0l x y ．求：
（1）过点 A 且与直线 1l 平行的直线方程；
（2）过线段 AB 的中点以及直线 1l 与 2l 的交点的直线方程．
18．（本题满分 12 分）
已知 ABC△ 的三个顶点 1,0A ， 1,0B ， 3,2C ，其外接圆为圆 H．
（1）求圆 H 的方程；
（2）若直线 l 过点 C，且被圆 H 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程．
19．（本题满分 12 分）
如图，在 ABC△ 中，已知 5 6AB ，D 是 BC 边上的一点， 120ADC ， 14AC ， 6DC ．
（1）求角 B 的大小；
（2）求 ABD△ 的面积．
20．（本题满分 12 分）
设数列 na 的前 n 项和为 22nS n ， nb 为等比数列，且 1 1a b ， 2 2 1 1b a a b ．
（1）求数列 na 和 nb 的通项公式；
（2）设 n
n
n
ac b
，求数列 nc 的前 n 项和 nT ．
21．（本题满分 12 分）
某品牌饮料原来每瓶成本为 10 元，售价为 15 元，月销售 8 万瓶．
（1）据市场调査，若售价每提高 1 元，月销售量将相应减少 2000 瓶，要使月总利润不低于原来的月总
利润（月总利润=月销售总收入-月总成本），该饮料每瓶售价最多为多少元？
（2）为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每瓶售价 ( 16)x x 元，并投入 33 ( 16)4 x
万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每瓶售价每提高 1 元，月销售量将相应减少 2
0.45
( 15)x
万
瓶，则当每瓶售价 x 为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．
22．（本题满分 12 分）
已知点 0 0,E x y 在圆 2 2( 2) 40x y 上运动， 2,6F ，点 ,G x y 为线段 EF 的中点．
（1）求点 ,G x y 的轨迹方程；
（2）记 ,G x y 的轨迹图形中心为 H，若 B 点为 1,0 ，C 点为 3,2 对于线段 BH 上的任意点 P，若在
以 C 为圆心的圆上都存在不同的两点 M，N，使得点 M 是线段 PN 的中点，求圆 C 的半径 r 的取
值范围．
高二年级 10 月月考理科数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D B B B A B B A C B C C
13． 2S 14．54
15． 2 2( 1) ( 4) 8x y
16．
1．D
【详解】
解：∵ 2 3 0M x x x ∣ ，∴ {0,3}M ，
∴ 2log 2N x x ∣ ，∴ { 0 4}N x x ∣ ，
∴ 0,4M N ，故选：D．
2．B
【详解】
由题意 2 (2 2,5)a b m ，∵ (2 )a b b ，
∴ 2(2 2) 15 0m ，解得 19
4m ．
故选：B．
3．B
【详解】
∵ 3 1 12
x
x
，∴ 3 1 1 02
x
x
，
∴ 3 1 2 02
x x
x
，即 4 3 02
x
x
，
∴ (4 3)( 2) 0
2 0
x x
x
，解得 3 24 x ，
故选 B．
4．B
5．A
【解析】
因为 ( , )( 3) 3 4 ( , )7 (5 ) 8 0x y m x y m x y x m y ∣ ∣ 中，
所以 3 1 3 4
7 5 8
m m
m
，解得 2m ．
所以直线方程为 2 0x y 它与坐标轴的交点为 2,0 与 0, 2 ．
直线 2 0x y 与坐标轴围成的三角形面积是 1 2 2 22
．
故选：A．
6．B
7．【答案】B
【详解】
根据斜二测画法的规则可知：
水平放置的图形 OABC 为一直角梯形，
由题意可知上底为 2OA ，高为 2 2AB ，下底为 2 1 3BC ，
∴该图形的面积为 1 (3 2) 2 2 5 22S ，
故选 B．
8．A
【解析】
解：由约束条件
3 0
2
2 0
x y
x
x y
作出可行域如图，
联立 2
2 0
x
x y
，解得 (2, 4)A ．
化 2 4z x y 为
2 4
x zy ．
由图可知，当直线
2 4
x zy 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，
z 有最小值为 2 2 4 4 12 ．
故选：A．
9．C
10．B
【详解】
函数 ( )f x 的图象如下图所示．
设 f a f b k ，则 (2,4]k ．
由 1
2
2 log a k ， 2b k ，得
21
2
k
a
， 2logb k ，
∴
2
2
1log 2
k
b a k
．
设函数
2
2
1( ) log 2
x
g x x
， (2,4]x ，
∵ g x 在 2,4 上单调递增，
∴ (2) ( ) (4)g g x g ，即 70 ( ) 4g x ，
∴ 70, 4b a
，故选：B．
11．C
【解析】
联立方程 3
3 0
y kx
x y
得交点 3 3 3 3,1 1
k
k k
，由交点在第一象限知：
3 3 01
3 3 01
k
k
k
解得 3
3k ，
即 3tan 3
， 是锐角，故30 90 ，
选 C．
12．C
【详解】
设圆 2 2: 2 0C x y x ， 2 2( 1) 1x y ，圆心 1,0C ， 1r ，
要使| |MN 的长度最小，则 MCN 最小，即 MCP 最小 ．
因为 | |tan | |PMMCP PMr
，
所以当| |PM 最小时，| |MN 最小．
又因为 2| | | | 1PM PC ，
所以当| |PC 最小时，| |MN 最小．
因为 min
4| | 2 2
1 1
PC
，
所以 1 2cos 42 2
MCP ，
2 3cos 2cos 1 4MCN MCP ．
则 2 2
min
3 14| | 1 1 2 1 1 4 2MN
．
当点 P 在直线 3 0x y 无限远取值时， 180MCN ，| |MN 直径 2，
所以 14 | | 22 MN ．故选：C．
13． 2S
【解析】
底面 2 S ， Sr ，底面周长 2 r ，
2l r ， 2l r ，侧面积 2S ．
14．54
【解析】
Aa 设正四棱柱的高为 h 得到 29 3 5 6h h ，
故得到正四棱柱的体积为 9 6 54V ．故答案为 54．
15． 2 2( 1) ( 4) 8x y
【解析】
试题分析：可设圆标准方程： 2 2 2( ) ( )x a y b r ，
则根据题意可列三个条件， 4b a ， | 1|
2
a b r ， 2 2(3 ) ( 2)r a b ，
解方程组可得 1a ， 4b ， 2 2r ，即得圆方程．
试题解析：设 2 2 2( ) ( )x a y b r ，
则 4b a ， | 1|
2
a b r ， 2 2(3 ) ( 2)r a b ，
解得 1a ， 4b ， 2 2r ，
所以 2 2( 1) ( 4) 8x y ．
16．【详解】
因为正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 2 3 ，
所以三棱锥 1 1A CB D 是边长为 2 6 的正四面体， 1 1CB D△ 的高为3 2 ，
设底面 1 1CB D 的中心为 O ，连接 CO ，
则 2 3 2 2 23CO ， 24 8 4AO ，
则球 1O 是三棱锥 1 1A CB D 的内切球设其半径为 1R ，
则有
1 1 1 1 1 1 1
1 143 3A CB D CB D CB DV S AO S R △ △ ，
所以 1
1 14R AO ，所以球 1O 的体积为 4
3
，
又球 2O 与三棱锥 1 1A CB D 的三个面和球 1O 都相切，
则设面 MNP∥平面 1 1CB D ，
且球 1O 和球 2O 均与平面 MNP 相切于点 E，如下图所示，
则球 2O 是三棱锥 A MNP 的内切球设其半径为 2R ，
故 12 2AE AO R ，
因此在正四面体 A MNP 中， 2
1 1
4 2R AE ，
所以球 2O 的表面积为 .
17．（1） 2 3 7 0x y ； （2） 3 0x y ．
【试题解析】
（1）设与 1 : 2 3 1 0l x y 平行的直线方程为： 2 3 0x y c ，
将 2,1A 代入，得 4 3 0c ，解得 7c ，
故所求直线方程是： 2 3 7 0x y ．
（2）∵ ( 2,1)A ， (4,3)B ，∴线段 AB 的中点是 1,2M ，
设两直线的交点为 N，联立 2 3 1 0
1 0
x y
x y
，
解得交点 2,1N ，
则 2 1 11 2MNk
，
故所求直线的方程为： 2 ( 1)y x ，即 3 0x y ．
18．（1） 2 2( 3) 10x y ；
（2） 3x 或 4 3 6 0x y ．
【解析】
（1）方程为 2 2( 3) 10x y ；
（2）线段 AB 的垂直平分线方程为 0x ，线段 BC 的垂直平分线方程为 3 0x y ，
所以 ABC△ 外接圆圆心 0,3H ，半径 2 21 3 10 ，
圆 H 的方程为 2 2( 3) 10x y ，
设圆心 H 到直线 l 的距离为 d，
因为直线 l 被圆 H 截得的弦长为 2，所以 2( 10) 1 3d ．
当直线 l 垂直于 x 轴时，显然符合题意，即 3x 为所求；
当直线 l 不垂直于 x 轴时，设直线方程为 2 3y k x ，
则
2
| 3 1| 3
1
k
k
，解得 4
3k ，
综上，直线 l 的方程为 3x 或 4 3 6 0x y ．
19．（1） 45B ；（2） 75 25 3
2
．
【解析】
（1）在 ACD△ 中， 120ADC ， 14AC ， 6DC ，
由余弦定理 2 2 2 2 cosAC AD DC AD DC ADC ，
得 2 2 26 2 6cos120 14AD AD ，
整理得 2 6 160 0AD AD ，
所以 10AD ，或 16AD （舍去）．
在 ABD△ 中， 5 6AB ， 180 120 60ADB ，
由正弦定理
sin sin
AB AD
ADB B ，得 5 6 10
sin 60 sin B
，
所以 10sin 60 2sin 25 6
B ，
因为 0 120B ，所以 45B ；
（2）在 ABD△ 中， 60ADB ， 45B ，
所以 180 75BAD ADB ABD ，
则 sin75 sin 45 30 sin45 cos30 cos45 sin30
6 2
4
，
又因为 5 6AB ， 10AD ，
所以， ABD△ 的面积
1 1 6 2 75 25 3sin 75 5 6 102 2 4 2ABDS AB AD △ ．
20．（1） 4 2na n ， 1
2
4n nb ；
（2） 1 (6 5)4 59
n
nT n ．
【解析】
解：（1）当 2n 时， 2 2
1 2 2( 1) 4 2n n na S S n n n ，
当 1n 时， 1 1 2a S 满足上式，
故 na 的通项式为 4 2na n ．
设 nb 的公比为 q ，由已知条件 2 2 1 1b a a b 知，
1 2b ， 1
2
2 1
1
2
bb a a
，所以 2
1
1
4
aq a
，
∴ 1
1 1
12 4
n
n nb b q
，即 1
2
4n nb ．
（2）∵ 1
1
4 2 (2 1)42
4
nn
n
n
n
a nc nb
，
∴ 1 2 1
1 2 1 3 4 5 4 (2 1)4n
n nT c c c n
2 2 14 1 4 3 4 5 4 (2 3)4 (2 1)4n n
nT n n
两式相减得： 1 2 3 13 1 2 4 4 4 4 (2 1)4n n
nT n
1 (6 5)4 59
nn
∴ 1 (6 5)4 59
n
nT n ．
21．【答案】（1）50 元；
（2）当每瓶售价 18 元时，下月的月总利润最大，最大总利润为 46.3 万元．
【详解】
解：（1）设每瓶定价为 t 元，依题意，
有[8 ( 15) 0.2]( 10) 5 8t t ，
整理得 2 65 750 0t t ，解得15 50t ．
因此要使销售的总收入不低于原收入，每瓶定价最多为 50 元．
（2）设每瓶定价为 ( 16)x x 元，月总利润为 f x ，则
2
0.45 33( ) ( 10) 8 ( 15) ( 16)( 15) 4f x x x xx
0.45 33( 10) 8 132( 15) 4x xx
1 0.45 4.5 524 15 15
xx x x
1 0.45( 15 15) 4.5( 15 15) 524 15 15
xx x x
1 2.25( 15) 47.84 15x x
1 2.252 ( 15) 47.84 15x x
46.3
当且仅当 1 2.25( 15)4 15x x
，即 2( 15) 9x ，
∴ 15 3x 或 15 3x （舍去），∴ 18x ．
因此当每瓶售价 18 元时，下月的月总利润最大，最大总利润为 46．3 万元．
22．【答案】（1） 2 2( 3) 10x y ；
（2） 10 4 103 5r
【详解】
（2）直线 BH 的方程为3 3 0x y ，
设 ( , )(0 1)P m n m ， ( , )N x y ，
因为点 M 是线段 PN 的中点，所以 ,2 2
m x n yM
，
又 M，N 都在半径为 r 的圆 C 上，
所以
2 2 2
2 2
2
( 3) ( 2)
3 22 2
x y r
m x n y r
，
∴
2 2 2
2 2 2
( 3) ( 2)
( 6 ) ( 4 ) 4
x y r
x m y n r
．
因为关于 x，y 方程组有解，
即以 3,2 为圆心，r 为半径的圆与以 6 ,4m n 为圆心， 2r 为半径的圆有公共点，
所以 2 2 2 2(2 ) (3 6 ) (2 4 ) ( 2 )r r m n r r ，
又3 3 0m n ，
所以 2 2 210 12 10 9r m m r 对 [0,1]m 成立．
而 2( ) 10 12 10f m m m 在 0,1 上的值域为 32 ,105
，
所以 2 32
5r 且 210 9r ．
又线段 BH 与圆 C 无公共点，
所以 2 2 2( 3) (3 3 2)m m r 对 [0,1]m 成立，
即 2 32
5r ，故圆 C 的半径 r 的取值范围为 10 4 10,3 5
．
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