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太和一中 2020－2021 学年第一学期高二年级期中数学试卷（奥赛班）
满分：150 分 考试时间：120 分钟
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．某工厂生产 A ， B ，C 三种不同型号的产品，某月生产这三种产品的数量之比依次为
2: :3a ，现用分层抽样方法抽取一个容量为 120 的样本，已知 B 种型号产品抽取了 60 件，
则 a （ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形，MD⊥ABCD，NB⊥ABCD．且 MD＝NB＝1．则
下列结论中：
①MC⊥AN
②DB∥平面 AMN
③平面 CMN⊥平面 AMN
④平面 DCM∥平面 ABN
所有假命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．已知直线 a 、b ，平面 、 、 ，下列命题正确的是（ ）
2
A．若 ， ， a ，则 a B．若 a ， b ， c ，
则 / / / /a b c
C．若 a ， / /b a ，则 / /b D．若 ， a ， / /b ，则 / /b a
4.已知正方体的8 个顶点中，有 4 个为一侧面是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个正三
棱锥与正方体的全面积之比为 （ ）
A.1: 3 B．1: 2 C． 2: 2 D．3: 6
5 . 执行如图所示的程序框图，若输出的 120S ，则判断框内应填入的条件是( )
A． 4k B． 5k C． 6k D． 7k
6 .直线 1y kx 与圆 2 2 1 0x y kx y 的两个交点恰好关于 y 轴对称，则 k 等于（ ）
A． 0 B．1 C． 2 D． 3
7．已知点 2,0A , 0,0O ,若直线 1y k x 上至少存在三个点 P ,使得 AOP 是直
角三角形,则实数 k 的取值范围是（ ）
A． 1 1,2 2
B． 1 1, ,2 2
C． 3 3,2 3
D． 3 3,0 0,3 3
3
8．线段 AB 长为 2a ，两端 A ， B 分别在一个直二面角的两个面内， AB 和两个面所成角
分别为 45， 30°，那么 A ， B 在棱上射影间的距离为（ ）．
A． 2a B．
2
a C． a D． 2
2 a
9．某四棱锥的三视图如图所示，点 E 在棱 BC 上，且 2BE EC ，则异面直线 PB 与 DE
所成的角的余弦值为（ ）
A． 10
5
B． 10
5
C． 3
2
D． 1
5
10．已知直线 :l 2 3y k x ，圆 :O 2 2 4x a y b ，且点 ,a b 是圆
2 22 3 4x y 上的任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A．对任意的实数 k 与点 ,a b ，直线l 与圆 O 相切
B．对任意的实数 k 与点 ,a b ，直线l 与圆 O 相交
C．对任意的实数 k ，必存在实数点 ,a b ，使得直线 l 与圆 O 相切
D．对任意的实数点 ,a b ，必存在实数 k ，使得直线 l 与圆 O 相切
11.在平面直角坐标系 中，若直线 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1
为半径的圆与圆 有公共点，则实数 k 的最大值为（ ）
4
A．0 B． C． D．3
12 在三棱锥 P ABC 中， AB BC ， P 在底面 ABC 上的投影为 AC 的中点 D ，
1DP DC .有下列结论：
①三棱锥 P ABC 的三条侧棱长均相等；
② PAB 的取值范围是 ,4 2
；
③若三棱锥的四个顶点都在球 O 的表面上，则球O 的体积为 2
3
；
④若 AB BC ， E 是线段 PC 上一动点，则 DE BE 的最小值为 6 2
2
.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．运行下面的程序，执行后输出的 s 的值是________
i＝1
WHILE i0，∴8a-3=5，a=1，
故圆的方程为(x-1)2+y2=1.
（2）设 AC 的斜率为 k1，BC 的斜率为 k2，
则直线 AC 的方程为 y=k1x+t，直线 BC 的方程为 y=k2x+t+6，
由方程组 1
2 6
y k x t
y k x t
，得 C 点的横坐标为
1 2
6
Cx k k
，
∵|AB|=t+6-t=6，
1 2 1 2
1 6 1862S k k k k
，
由于圆 M 与 AC 相切，所以
2
1
12
1
11 , 21
k tk tk
,
同理
2
2
1 ( 6)
2( 6)
tk t
，
2
1 2 2
3 6 1
6
t t
k k t t
，
2
2 2
6 6 16 16 1 6 1
t t
S t t t t
，
5 2, 2 3 1t t ，
28 6 1 4t t ，
∴ 27 15[ , ]4 2s .
22 试题解析：（Ⅰ）①当 k 不存在时， 4 ABMN 不符合题意
14
②当 k 存在时，设直线 l ： 4y kx
| | 2 3MN 圆心O 到直线 l 的距离 22 3 1d
2
| 4 | 1
1 k
，解得 15k
综上所述，满足题意的直线 l 方程为 15 4y x
（Ⅱ）根据圆的对称性，点G 落在与 y 轴垂直的直线上
令 ( 2,0)N ，则直线
: 1 2 42 4
x yPN y x 与圆
2 2: 4O x y 联立得：
25 16 12 0x x ，
6
5Mx
，
6 8( , )5 5M
， : 3 2BM y x
所以直线 : 2 0AN x y 与 BM 的交点 G （-1,1），
猜想点G 落在定直线 1y 上．
下证：
2 2
4
4
y kx
x y
得：
2 2(1 ) 8 12 0k x kx
2 2
1 2 2
1 2 2
(8 ) 48(1 ) 0
8
1
12
1
k k
kx x k
x x k
直线 AN ：
1
1
22 yy
x x
，直线 BM ：
2
2
22 yy
x x
消去 x 得：
1 2
2 1
( 2)2
2 ( 2)
y xy
y y x
15
要证：G 落在定直线 1y 上，只需证：
1 2
2 1
( 2)1 2
1 2 ( 2)
y x
y x
即证：
1 2
2 1
( 2)1
3 ( 6)
kx x
kx x
即证： 1 2 1 1 2 26 3 6kx x x kx x x
即证： 1 2 1 24 6( ) 0kx x x x
即证： 2 2
12 84 6 01 1
kk k k
显然成立．
所以直线 AN 与 BM 的交点在一条定直线上．
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