安徽省滁州市定远县重点中学2020-2021学年高二10月月考数学（理）试题 Word版含答案

2020-2021 学年度第一学期 10 月考试 高二数学（理）试题 一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知两点  2 3M ， ，  3 2N  ， ，直线 l 过点  1 1P ， 且与线段 MN 相交，则直线的 斜率 k 的取值范围是（ ） A. 34 4k   B. 4k   或 3 4k  C. 3 44 k  D. 3 44 k   2.已知某运动员每次投篮命中的概率都为 40%，现采用随机模拟的方法估计该 运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生 0 到 9 之间取整数值的 随机数，指定 1，2，3，4 表示命中；5，6，7，8，9，0 表示不命中；再以每 三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下 20 组随机 数，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ） 137 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 A.0.40 B.0.30 C.0.35 D.0.25 3.据全球权威票房网站 Mojo 数据统计，截至 8 月 20 日 14 时，《战狼 2》国内累计票房 50 亿，截至目前，《战狼 2》中国市场观影人次达 1.4 亿，这一数字也创造了全球影史“单 一市场观影人次”的新记录，为了解《战狼 2》观影人的年龄分布情况，某调查小组随机 统计了 100 个此片的观影人的年龄(他们的年龄都在区间 10,60 内)，并绘制了如图所示 的频率分布直方图，则由图可知，这 100 人年龄的中位数为( ) A. 33 B. 34 C. 35 D. 36 4.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 3，则正视图中 x 的值为（ ） A. 9 2 B. 3 C. 2 D. 3 2 5. 已 知 点 ( , )P x y 是 直 线 4 0( 0)kx y k    上 一 动 点 ， ,PA PB 是 圆 2 2: 2 0C x y y   的两条切线， ,A B 是切点.若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 k 的 值为（ ） A. 2 B. 21 2 C. 2 2 D.2 6.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出 的值为（ ） A.5 B.11 C.14 D.19 7.已知直线l 为圆 2 2 4x y  在点  2, 2 处的切线，点 P 为直线l 上一动点，点 Q 为圆  2 21 1x y   上一动点，则 PQ 的最小值为 （ ） A. 2 B. 2 12  C. 1 2 D. 2 3 1 8.设点  ,i i iP x y 在直线 :i i i il a x b y c  上，若    1,2i i ii a b c i   ，且 1 2 2PP  恒 成立，则 1 2c c 的值（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9. ,  是两个平面， ,m n 是两条直线，有下列四个命题： ①如果 , , / /m n m n   ，那么  . ②如果 , / /m n  ，那么 m n . ③如果 / / ,m   ，那么 / /m  . ④如果 / / , / /m n   ，那么 m 与 所成的角和 n 与  所成的角相等. 其中正确的命题为（ ） A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②④ 10.如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，棱长为 1， E F、 分别为 1 1C D 与 AB 的中点， 1B 到平面 1A FCE 的距离为（ ） A. 3 2 B. 6 3 C. 10 5 D. 30 5 11.某校高一年级有甲、乙、丙三位学生，他们前三次月考的物理成绩如下表： 第一次月考物理成绩 第二次月考物理成绩 第三次月考物理成绩 学生甲 80 85 90 学生乙 81 83 85 学生丙 90 86 82 则下列结论正确的是( ) A. 甲、乙、丙第三次月考物理成绩的平均数为 86 B. 在这三次月考物理成绩中，甲的成绩平均分最高 C. 在这三次月考物理成绩中，丙的成绩方差最大 D. 在这三次月考物理成绩中，乙的成绩最稳定 12.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明， 下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称 为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及 黄色，其面积称为朱实，黄实，利用 2×勾×股+（股﹣勾）2=4×朱实+黄实=弦 实，化简，得勾 2+股 2=弦 2 ， 设勾股中勾股比为 1： ，若向弦图内随机抛 掷 1000 颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为 （ ） A.866 B.500 C.300 D.134 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.如图所示， 1 1 1 1ABCD A B C D 是棱长为 a 的正方体， ,M N 分别是下底面的棱 1 1 1 1,A B B C 的中点， P 是上底面的棱 AD 上的一点， 3 aAP  ，过 , ,P M N 的平面交上底 面于 PQ ， Q 在CD 上,则 PQ  __________________. 14.已知线段 PQ 两端点的坐标分别为  1,1P 和  2,2Q ，若直线 0:  myxl 与线段 PQ 有交点，则实数 m 的取值范围是 . 15.若 k 进制数 132(k)与二进制数 11110(2)相等，则 k＝____________． 16.天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的慨率均为 0 040 .现采用随机模拟试验的方 法估计这三天中恰有两天下雨的概率: 先利用计算器产生 0 到 9 之间取整数值的随机数, 用1,2,3,4 表示下雨，用5,6,7,8,9,0 表示不下雨，再以每三个随机数作为一组, 代表这三 天的下雨情况，经随机模拟试验产生了如下 20 组随机数: 488 932 812 458 989 431 257 390 024 556 734 113 537 569 683 907 966191925 271 据此估计,这三天中恰有两天下雨的概率近似为__________. 三、解答题(共 6 小题,共 70 分) 17.（10 分）已知直线    : 2 1 1 7 4 0l m x m y m      ， m R ，圆    2 2: 1 2 25C x y    . （1）证明：直线l 恒过一定点 P ； （2）证明：直线l 与圆 C 相交； （3）当直线l 被圆 C 截得的弦长最短时，求 m 的值. 18.（12 分）为了解消费者购物情况，某购物中心在电脑小票中随机抽取 n 张进行统计，将 结 果 分 成 6 组 ， 分 别 是 ：        0,100 , 100,200 , 200,300 , 300,400 ，    400,500 , 500,600 ，制成如下所示的频率分布直方图（假设消费金额均在 0,600 元 的区间内）. （1）若在消费金额为 400,600 元区间内按分层抽样抽取 6 张电脑小票，再从中任选 2 张，求这 2 张小票来自 400,500 元和 500,600 元区间（两区间都有）的概率； （2）为做好春节期间的商场促销活动，商场设计了两种不同的促销方案. 方案一：全场商品打八五折. 方案二：全场购物满 100 元减 20 元，满 300 元减 80 元，满 500 元减 120 元，以上减免只 取最高优惠，不重复减免.利用直方图的信息分析：哪种方案优惠力度更大，并说明理由. 19.（12 分）如图所示，该几何体是由一个直三棱柱 和一个正四棱 锥 组合而成， ， ． （Ⅰ）证明：平面 平面 ； （Ⅱ）求正四棱锥 的高 ，使得二面角 的余弦值是 ． 20.（12 分）2015 年 12 月，华中地区数城市空气污染指数“爆表”，此轮污染为 2015 年以来最严重的污染过程，为了探究车流量与 2.5PM 的浓度是否相关，现采集到华中某 城市 2015 年 12 月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与 2.5PM 的数据如表： 时间 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 车 流 量 x （ 万 辆） 1 2 3 4 5 6 7 2.5PM 的浓度 y （微克/立方 米） 28 30 35 41 49 56 62 (1)由散点图知 y 与 x 具有线性相关关系，求 y 关于 x 的线性回归方程；（提示数据： 7 1 1372i i i x y   ） (2)利用(1)所求的回归方程，预测该市车流量为 12 万辆时 2.5PM 的浓度. 参考公式：回归直线的方程是 ˆˆ ˆy bx a  ， 其中      1 1 22 2 1 1 ˆ ˆˆ, n n i i i ii i n n i ii i x y nx y x x y y b a y bx x nx x x                   . 21.（12 分）已知直线    : 1 2 3 6 0m a x a y a      ， : 2 3 0n x y   . （1）当 0a  时，直线 l 过 m 与 n 的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线 l 的方 程； （2）若坐标原点O 到直线 m 的距离为 5 ，判断 m 与 n 的位置关系. 22.（12 分）如图1，在 Rt ABC 中， 90ABC   ， D 为 AC 中点， AE BD 于 E （不同于点 D ），延长 AE 交 BC 于 F ，将 ABD 沿 BD 折起，得到三棱锥 1A BCD ， 如图 2 所示． （Ⅰ）若 M 是 FC 的中点，求证：直线 DM 平面 1A EF ． （Ⅱ）求证： 1BD A F ． （Ⅲ）若平面 1A BD  平面 BCD ，试判断直线 1A B 与直线 CD 能否垂直？请说明理 由． 参考答案 1.B 2.B 3.B 4.B 5.D 6.C 7.B 8.C 9.A 10.B 11.D 12.D 13. 2 2 3 a 14. 1,1 15.4 16. 0.3 17.（1）  31P ，；（2）相交；（3） 3 4  解析：（1）直线 l 方程变形为    2 7 4 0x y m x y      ，由 2 7 0{ 4 0 x y x y       ，得 3{ 1 x y   ， ∴ 直线l 恒过定点  31P ， ； （2）∵ 5 5PC   ，∴ P 点在圆C 内部，∴ 直线 l 与圆 C 相交； （3）当l PC 时，所截得的弦长最短，此时有 1l PCk k   ， 而 2 1 1,1 2l PC mk km     ，于是   2 1 12 1 m m    ，解得 3 4m   . 18.解析: （1）由直方图可知，按分层抽样在 400,600 内抽 6 张， 则 400,500 内抽 4 张，记为 , , ,a b c d ，在 500,600 内抽 2 张，记为 E F、 ， 设两张小票来自 400,500 和 500,600 为事件 A ， 从中任选 2 张，有以下选法： ab ac ad aE aF bc bE bF cd cE cF dE dF EF、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 共 15 种. 其中，满足条件的有 aE aF bE bF cE cF dE dF、 、 、 、 、 、 、 ，共 8 种， ∴   8 15P A  . （2）由直方图可知，各组频率依次为 0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05. 方案一购物的平均费用为：  0.85 50 0.1 150 0.2 250 0.25 350 0.3 450 0.1 550 0.05 0.85 275 233.75               （元）. 方案二购物的平均费用为： 50 0.1 130 0.2 230 0.25 270 0.3 370 0.1 430 0.05 228            （元）. ∴方案二的优惠力度更大. 19.证明：（Ⅰ）正三棱柱 中， 平面 ， 所以 ，又 ， ， 所以 平面 ， 平面 ， 所以平面 平面 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知 平面 ，以 为原点， ， ， 方 向为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 ，设正四棱锥 的 高为 ， ，则 ， ， ， ， ， ， ． 设平面 的一个法向量 ， 则 取 ，则 ，所以 ． 设平面 的一个法向量 ，则 取 ，则 ， ，所以 ． 二面角 的余弦值是 ， 所以 ， 解得 ． 20.(1) ˆ 6 19y x  ；(2) 车流量为 12 万辆时， 2.5PM 的浓度为 91 微克/立方米. 解析：（1)由数据可得：  1 1 2 3 4 5 6 7 47x          1 28 30 35 41 49 56 62 437y         7 7 2 1 1 1372, 140i i i i i x y x      1 2 2 1 1372 1204 1 ˆ 6140 1 2 n i ii n ii x y nx y b x nx          4ˆˆ 3 4 6 19a y bx      ，（注:用另一个公式求运算量小些） 故 y 关于 x 的线性回归方程为 ˆ 6 19y x  . (2)当车流量为 12 万辆时，即 12x  时， 6 12 19 9ˆ 1y     .故车流量为 12 万辆时， 2.5PM 的浓度为 91 微克/立方米. 21.（1）3 7 0x y  或 12 0x y   ；（2） / /m n 或 m n 解析： （1）联立 3 6 0{ 2 3 0. x y x y        ， 解得 21,{ 9, x y     即 m 与 n 的交点为（021，-9）. 当直线l 过原点时，直线l 的方程为 3 7 0x y  ； 当直线l 不过原点时，设l 的方程为 1x y b b   ，将（-21，-9）代入得 12b   ， 所 以 直 线 l 的 方 程 为 12 0x y   ， 故 满 足 条 件 的 直 线 l 方 程 为 3 7 0x y  或 12 0x y   . （2）设原点O 到直线 m 的距离为 d ， 则    2 2 6 5 1 2 3 ad a a       ，解得： 1 4a   或 7 3a   ， 当 1 4a   时，直线 m 的方程为 2 5 0x y   ，此时 / /m n ； 当 7 3a   时，直线 m 的方程为 2 5 0x y   ，此时 m n . 22.解析：（Ⅰ）证明：∵ D 、 M 分别为 AC 、 FC 中点， ∴ DM EF ， 又∵ EF  平面 1A EF ， DM  平面 1A EF ， ∴ DM 平面 1A EF ． （Ⅱ）∵ EF BD ， 1A E BD ， 1A E EF E  点， 1A E 、 EF  平面 1A EF ， ∴ BD  平面 AEF ， ∴ 1BD A F ． （Ⅲ）直线 1A B 与直线CD 不能垂直， ∵平面 BCD  平面 1A BD ， 平面 BCD平面 1A BD BD ， EF BD ， EF  平面CBD ， ∴ EF  平面 1A BD ， ∵ 1A B  平面 1A BD ， ∴ 1A B EF ， 又∵ EF DM ， ∴ 1A B DM ， 假设 1A B CD ， ∵ 1A B DM ， DM CD D  点， ∴ 1A B  平面 BCD， ∴ 1A B BD ， 与 1A BD 为锐角矛盾， ∴直线 1A B 与直线CD 不能垂直．