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数 学 试 卷（文）
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项
是符合题目要求的．）
1．若复数 2
1 iz ,其中 i 为虚数单位,则 z （ ）
A．1 i B．1 i C． 1 i D． 1 i
2．若函数 ( )f x x 在点 0x x 处的瞬时变化率是 3
3 ,则 0x 的值是（ ）
A． 3
4 B． 1
2 C．1 D．3
3．函数 lny x x 在区间 0,e 上的最大值为（ ）
A．1 e B． 1 C． e D．0
4．已知 ( ) sinf x x x ,则 ( )f x （ ）
A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数
5．设 0 0f x ,则曲线 y f x 在点 0 0,x f x 处的切线（ ）
A．不存在 B．与 x 轴平行或重合
C．与 x 轴垂直 D．与 x 轴斜交
6．数列 na 满足 1 1
1 1, 12 n
n
a a a ，则 2017a （ ）
A． 1
2 B．-1 C．2 D．3
7．用反证法证明命题“自然数 a,b,c,中恰有一个偶数”时,需假设（ ）
A．a,b,c,都是奇数 B．a,b,c,都是偶数
C．a,b,c,都是奇数或至少有两个偶数 D．a,b,c,至少有两个偶数
8．若大前提: , Ra b , 2a b ab ,小前提: 1 12x xx x
,结论: 1 2x x
,以上推理过程中
的错误为（ ）
A．大前提 B．小前提 C．结论 D．无错误
9．设 0 1 0 2 1 1( ) cos , ( ) '( ), ( ) '( ), , ( ) '( ), Nn nf x x f x f x f x f x f x f x n ,则 2019 ( )f x （ ）
A． sin x B． sin x C． cos x D． cos x
10．已知函数 ( )f x 的导函数为 '( )f x ,且满足 ( ) 2 '(1) lnf x xf x ,则 '(1)f （ ）
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A． e B． －1 C．1 D．e
11．函数 ( )y f x 的导函数 '( )y f x 的图象如图所示,则函数 ( )y f x 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知定义在 R 上的函数 ( )f x 满足 '( ) ( )f x f x .若 1 2x x ,则（ ）
A． 1 2
2 1e ( ) e ( )x xf x f x B． 1 2
2 1e ( ) e ( )x xf x f x
C． 1 2
2 1e ( ) e ( )x xf x f x D． 1
2e ( )x f x 与 2
1e ( )x f x 的大小关系不确定
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．设 Ra ，若复数 (1 i)( i)a 在复平面内对应的点位于实轴上，则 a _________.
14．蜂蜜被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看做是一个正六边形，如
图为一组蜂巢的截面图.其中第一个图有 1 个六边形，第二个图有 7 个六边形，第三个图
有 19 个六边形，按此规律，以 ( )f n 表示第 n 幅图的六边形总数.则 (4)f __________；
( )f n __________.
15．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是_________.
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16．给出下列结论：
① (sin )' cosx x ; ② (sin )' cos3 3
;
③若 2
1( )f x x
,则 2'(3) 27f ; ④ (2e )' 2ex x ;
⑤ 4
1(log )' ln 4x x
.
其中正确的有___________个.
三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（本小题满分 10 分）
数列 na 的通项公式为 2 2( 5 5)na n n ，计算得 1 2 31, 1, 1a a a ，你可以猜想出什么
结论？你的猜想正确吗？
18．（本小题满分 12 分）
已知点 P 和点Q 是曲线 2 3y x x 上的两点,且点 P 的横坐标是1,点 Q 的横坐标是 4 ,
求:
（1）割线 P Q、 的斜率;
（2）在点 P 处的切线方程
19．（本小题满分 12 分）
已知复数 1 2 iz , 1 2 5 5iz z (其中 i 为虚数单位).
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（1）求复数 2z ;
（2）若复数 2
3 2(3 )[( 2 3) ( 1)i]z z m m m 所对应的点在第四象限,求实数 m 的取值
范围.
20．（本小题满分 12 分）
已知函数 3 2( )f x x ax bx c 在 2
3x 与 1x 处都取得极值.
（1）求 ,a b 的值;
（2）若对任意 1,2x ,不等式 2( )f x c 恒成立,求实数 c 的取值范围.
21．（本小题满分 12 分）
在边长为 60cm 的正方形铁皮的四角剪去相等的正方形，再把它的边延实线折起(如图)，
做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？
22．（本小题满分 12 分）
已知函数
2 1( ) ex
ax xf x .
（1）求曲线 ( )y f x 在点 (0, 1) 处的切线方程;
（2）证明：当 1a 时, ( ) e 0f x .
数学（文）答案
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1.答案：B
解析： 2 2(1 i) 1 i1 i (1 i)(1 i)z , 1 iz ,选 B．
2.答案：A
解 析 ： 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0
( )( ) 1
( )
x x x x x x x x xy
x x x x x x x x x
, 当 0x
时,
0
1
2
y
x x
,∴
0
1 3
32 x
,∴ 0
3
4x .
3.答案：B
解析：∵ lny x x ，∴ 1 1' 1 xy x x
，令 ' 0y ,得 1x .当 (0,1)x 时， ' 0y ；当 1,ex
时， ' 0y .∴ ( )f x 在 0,e 上的最大值为 (1) 1f .
4.答案：B
解析：因为 ( ) sin ( )f x x x f x ,所以函数 ( )f x 是奇函数.又 '( ) 1 cos 0f x x ,故函数
( )f x 为增函数.因为当 0x 时, sinx x ,所以 ( )f x 有零点.所以选 B．
5.答案：B
解析：
6.答案：A
解析：因为 1 1
1 1, 12 n
n
a a a ，
所以 2 3
1 2
1 11 1, 1 2a aa a
，
4 5
3 4
1 1 11 , 1 12a aa a
，
6
5
11 2a a
，所以 3 ( N , N )n k na a n k
.
所以 2017 1 3 672 1
1
2a a a .
7.答案：C
解析：用反证法证明命题“自然数 a，b，c，中恰有一个偶数”时，需假设：a，b，c 都是奇数
或至少有两个偶数。故选：C．
8.答案：B
解析：根据基本不等式可知,大前提正确,而小前提,没有写出 x 的取值范围,故小前提错误,从而
结论错误.
9.答案：A
解析：∵
1 2( ) (cos )' sin , ( ) ( sin )' cos ,f x x x f x x x
3 4( ) ( cos )' sin , ( ) (sin )' cosf x x x f x x x 由此可知 ( )nf x 的值周期性重复出现,且周期
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为 4,故 2019 4 504 3 3( ) ( ) ( ) sinf x f x f x x .故选 A．
10.答案：B
解析： 1'( ) 2 '(1)f x f x
,令 1x ,得 '(1) 2 '(1) 1f f ,解得 '(1) 1f ,故选 B．
11.答案：D
解析：根据题意,已知导函数的图象有三个零点,且每个零点的两边导函数值的符号相反,因此函
数 ( )f x 在这些零点处取得极值,排除 A,B;记导函数 '( )f x 的零点从左到右分别为 1 2 3, ,x x x ,又在
1( , )x 上 '( ) 0f x ,所以函数 ( )f x 在 1( , )x 上单调递减,排除 C,故选 D．
12.答案：A
解 析 ： 因 为 '( ) ( )f x f x , 所 以 '( ) ( ) 0f x f x , 故 可 构 造 函 数 ( )( ) ex
f xF x , 则
2
'( ) e ( ) e '( ) ( )'( ) 0(e ) e
x x
x x
f x f x f x f xF x ,即函数 ( )F x 在 R 上单调递增.又 1 2x x ,所以
1 2( ) ( )F x F x ,即
1 2
1 2( ) ( )
e ex x
f x f x ,故 1 2
2 1e ( ) e ( )x xf x f x .
13.答案：-1
解析： (1 i)( i) ( 1) ( 1)ia a a ,由已知得 1 0a ,解得 1a .
14.答案： 237;3 3 1n n
解析：由于 (2) (1) 7 1 6f f ，
(3) (2) 19 7 2 6f f ，
所以 (4) 19 3 6 37f ，
因此，当 2n 时，有 ( ) ( 1) 6( 1)f n f n n ，
所以 ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 2) (2) (1) (1)f n f n f n f n f n f f f
26 ( 1) ( 2) 2 1 1 3 3 1n n n n .
又 2(1) 3 1 3 1 1 1f ，所以 2( ) 3 3 1f n n n .
15.答案：15
解析：由题意可得 T 为求1 2 3 k 的值.
对于1 2 105k ,解得 14k .
所以输出的结果为14 1 15 .
16.答案：4
解 析 ： 因 为 (sin )' cosx x , 所 以 ① 正 确 ; 3sin 3 2
, 而 3( )' 02
, 所 以 ② 错
误; 2 3
2
1'( ) ( )' ( )' 2f x x xx
,则 2'(3) 27f ,所以③正确;因为 (2e )' 2ex x ,所以④正确;因为
4
1(log )' ln 4x x
,所以⑤正确.故正确的有 4 个.
17.答案：猜想： 1na
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猜想不正确，
当 5n 时， 2 2
5 (5 5 5 5) 25a .
解析：
18.答案：1.由题意得 1, 3 , 4,9P Q
∴ 4k
2. ∵ 2 1y x ,切线斜率 1k ,切点 1, 3P
∴在点 P 处的切线方程为: 4 0x y
解析：
19.答案：(1)∵ 1 2 5 5iz z ,
∴ 2
1
5 5i 5 5i 5(1 i)( 2 i) 3 i2 i ( 2 i)( 2 i)z z
.
(2) 2
3 2(3 )[( 2 3) ( 1)i]z z m m m
2i[( 2 3) ( 1)i]m m m
2( 1) ( 2 3)im m m ,
∵ 3z 所对应的点在第四象限,
∴ 2
( 1) 0,
2 3 0,
m
m m
解得 1 1m .
∴实数 m 的取值范围是 ( 1,1) .
解析：
20.答案：(1) 3 2 2( ) , '( ) 3 2f x x ax bx c f x x ax b .
由 2 4 4'( ) 0, '(1) 3 2 03 3 3f a b f a b ,
得 1 , 22a b .
(2)由(1)知 2'( ) 3 2 (3 2)( 1), 1,2f x x x x x x , '( ), ( )f x f x 随 x 的变化情况如下表:
x 21, 3
2
3
2( ,1)3
1
1,2
'( )f x
+ 0 - 0 +
( )f x 极大值 极小值
- 8 -
∴ ( )f x 在 21, 3
上单调递增,在 2( ,1)3
上单调递减,在 1,2 上单调递增,
∴当 2
3x 时, 2 22( )3 27f c 为极大值,而 (2) 2f c ,则 (2) 2f c 为最大值,
要使 2( )f x c 对任意 1,2x 恒成立,则只需 2 (2) 2c f c ,
解得 1c 或 2c .
∴实数 c 的取值范围为 ( , 1) (2, ) .
解析：
21.答案：设箱底边长为 cmx ，则无盖的方底箱子的高 30 cm2
xh
，
其容积 3 21( ) 30 (0 60)2V x x x x .
∴ 23'( ) 602V x x x ，
令 '( ) 0V x ，即 23 60 02 x x ，解得 40x ( 0x 舍去)，
当 (0,40)x 时， '( ) 0V x ；当 (40,60)x 时， '( ) 0V x .
∴函数 ( )V x 在 40x 处取得极大值，
结合实际情况，这个极大值就是函数 ( )V x 的最大值，且 (40) 16000V .
故当箱底边长为 40cm 时，箱子容积最大，最大容积是 316000cm .
解析：
22.答案：(1)
2 (2 1) 2'( ) , '(0) 2ex
ax a xf x f .
因此曲线 ( )y f x 在 (0, 1) 处的切线方程是 2 1 0x y .
(2)当 1a 时, 2 1( ) e ( 1 e )ex xf x x x .
令 2 1( ) 1 exg x x x ,则 1'( ) 2 1 exg x x .
当 1x 时, '( ) 0, ( )g x g x 单调递减;当 1x 时, '( ) 0g x ,
( )g x 单调递增,所以 ( ) ( 1) 0g x g ,因此 ( ) e 0f x .
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