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肥东二中 2019-2020 学年度第二学期期中考试
高二年级肥东二中与共建班数学试卷（理）
一、选择题（每题 5 分，共 60 分）
1.下列求导运算正确的是（ ）
A. （cosx）'＝sinx B. （3x）'＝3xlog3e
C. D. （x2cosx）′＝﹣2xsinx
【答案】C
【解析】
【分析】
利用基本初等函数的求导公式和运算法则进行求解即可.
【详解】对于选项 A：因为（cosx）'＝﹣sinx，故选项 A 不正确；
对于选项 B：因为（3x）'＝3xln3，故选项 B 不正确；
对于选项 C：因为（lgx）′＝ ，故选项 C 正确；
对于选项 D：因为（x2cosx）′＝2xcosx﹣x2sinx，故选项 D 不正确.
故选：C
【点睛】本题考查基本初等函数的导数公式和运算法则；考查运算求解能力；熟记基本初等
函数的导数公式和运算法则；属于基础题.
2.对抛物线 ，下列描述正确的是 ( )
A. 开口向上，焦点为(0，2) B. 开口向上，焦点为
C. 开口向右，焦点为(2，0) D. 开口向上，焦点为
【答案】A
【解析】
【分析】
先将抛物线化成标准形式，然后给找到开口方向和焦点.
【详解】抛物线方程 ，化成标准方程形式 ，可得其开口向上，焦点坐标为 .
故选 A 项.
【点睛】本题考查由抛物线方程求其图像的开口和焦点坐标.属于简单题.
3.若函数 在区间 上的平均变化率为 4，则 m 等于（ ）
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A. B. 3 C. 5 D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】
根据平均变化率为 计算，即可得出结果.
【详解】因为 ，
所以 .
故选：B.
【点睛】本题考查了导数的基本概念，考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.
4.计算定积分 ＝（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
，
∴定积分 ，
本题选择 B 选项.
点睛：定积分的计算方法：
(1)用微积分基本定理求定积分，关键是求出被积函数的原函数．此外，如果被积函数是绝对
值函数或分段函数，那么可以利用定积分对积分区间的可加性，将积分区间分解，代入相应
的解析式，分别求出积分值相加．
(2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分．
(3)若 y＝f(x)为奇函数，则 .
5.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 ＋y2＝1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个
焦点在 BC 边上，则△ABC 的周长是( )
A. 2 B. 6 C. 4 D. 12
【答案】C
【解析】
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【分析】
根据椭圆定义，椭圆上的点到两焦点距离之和为长轴长即可得解.
【详解】设另一焦点为 ，由题 在 BC 边上，
所以 的周长
故选：C
【点睛】此题考查椭圆的几何意义，椭圆上的点到两焦点距离之和为定值，求解中要多观察
图形的几何特征，将所求问题进行转化，简化计算.
6.函数 的单调递减区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
对函数 进行求导，利用导数 解不等式即可求解.
【详解】 ， ，
根据单调性与不等式的关系可得 ，解得 .
所以函数 的单调递减区间是 .
故选：A.
【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，考查运算求解能力，属于基础题.
7.下列椭圆中最扁的一个是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
只需分别计算各选项中 的值， 越小，椭圆越扁，进而可得出结果.
【详解】由 得 ；由 得 ；由 得 ；由
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得 ；
因为 ，
所以最扁的椭圆为 .
故选 B
【点睛】本题主要考查椭圆的特征，熟记椭圆的简单性质即可，属于基础题型.
8.与曲线 相切，且与直线 垂直的直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由导数的几何意义可得所求直线的斜率 ，根据两直线垂直可求得 ，即可求得切
线方程.
【详解】设切点为 ，
由导数的几何意义可得所求直线的斜率 ，
又直线 的斜率为 ，
所以 ，
解得 ，则 ， ，
所以所求直线的方程为 ，
即 .
故选：C.
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查计算能力，属于基础题.
9.设 F1，F2 为椭圆 的两个焦点，点 P 在椭圆上，若线段 PF1 的中点在 y 轴上，则
的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
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由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=6，
由中位线定理可得 PF2⊥x 轴，
令 x=2，可得 y=
即有|PF2|= ，|PF1|= ，
则
故选 C．
10.设 ，若函数 ， ，有大于零的极值点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
题意即 有大于 0 的实根,数形结合令 ,则两曲线交点在第一象限,结
合图像易得 ,选 A.
11.设 ， 分别为曲线 的左、右焦点，P 是曲线 与 的一个交
点，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 ， 分别为曲线 的左、右焦点，设 P 是曲线 与 的第一象
限的交点，进而求得三角形 的三条边的长，再利用余弦定理即可求解.
【详解】解：曲线 与曲线 的焦点重合，两曲线共有四个交点，
不妨设 P 为第一象限的交点.
则 ， ，
解得 ， .
又 ，
在 中，由余弦定理可求得 ，
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故选:B.
【点睛】本题主要考查椭圆和双曲线的定义及余弦定理的应用，属于简单题.
12.已知函数 ，则函数 的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性和特殊值进行排除可得结果．
【详解】由题意 ，
所以函数 为偶函数，其图象关于 轴对称，排除 D；
又 ，所以排除 B,C．
故选 A．
【点睛】已知函数的解析式判断图象的大体形状时，可根据函数的奇偶性，判断图象的对称
性：如奇函数在对称的区间上单调性一致，偶函数在对称的区间上单调性相反，这是判断图
象时常用的方法之一．
二、填空题（每题 5 分，共 20 分）
13.曲线 在点 处的切线斜率为______.
【答案】2
【解析】
【分析】
先求出函数的导数，然后将 代入即可求得切线斜率.
【详解】曲线 ，则点 在曲线上.
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则 ，
所以当 时， .
故答案为：2.
【点睛】本题考查导数的几何意义及切线斜率的求法，属于基础题.
14.过点(0,1)且与抛物线 只有一个公共点的直线有________条．
【答案】3
【解析】
过点 的斜率不存在的直线为 满足与 只有一个公共点，当斜率存在时，设直
线为 ,与 联立整理得
当 时，方程是一次方程，有一个解，满足一个交点
当 时由 可得 值有一个，即有一个公共点，所以满足题意的直线有 条．
15.若函数 ，则 __________.
【答案】0
【解析】
【分析】
对函数进行求导，再求出 ，然后即可得 的解析式，再代入进行计算即可得解.
【详解】因为 ，
所以两边同时求导数可得
令 ，则 ，
所以 ，即 ， ，
所以 ， ，
则 ，
故答案为：0.
【点睛】本题考查了函数导数的运算，属于基础题.
16.已知椭圆 的左顶点为 ，过 点作一条直线 分别交椭圆于 、 两点，直线 、
的斜率记为 ， ，则 _________
【答案】
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【解析】
【分析】
根据题意设 ，从而由两点间斜率公式即可得到 关于 y 的式子，结合椭圆的方程代
入化简即可得.
【详解】设 ，则 ，
椭圆 的左顶点为 ，则 ，
过 点作一条直线 分别交椭圆于 、 两点，直线 、 的斜率记为 ， ，所以
，
又点 在椭圆上，所以 ，
代入上式得 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题中的定值问题，考查学生的计算能力，属
于中档题.
三、解答题（17 题 10 分，其余每题 12 分，共 70 分）
17.已知抛物线 y2=2px 的焦点为 F，准线方程是 x=﹣1．
（I）求此抛物线的方程；
（Ⅱ）设点 M 在此抛物线上，且|MF|=3，若 O 为坐标原点，求△OFM 的面积．
【答案】（Ⅰ）y2=4x；（Ⅱ）
【解析】
试题分析：（I）利用准线方程是 x=﹣1，求此抛物线的方程；
（Ⅱ）设点 M 在此抛物线上，且|MF|=3，利用抛物线的定义求出 M 的坐标，即可求△OFM 的面
积．
解：（Ⅰ）因为抛物线的准线方程为 x=﹣1，
所以
得 p=2
所以，抛物线的方程为 y2=4x
（Ⅱ）设 M（x0，y0），因为点 M（x0，y0）在抛物线上，且|MF|=3，
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由抛物线定义知|MF|=x0+ =3
得 x0=2
由 M（2，y0）在抛物线上，满足抛物线的方程为 y2=4x 知 y0=±2
所以△OMP 的面积为 |y0|= = ．
考点：抛物线的简单性质．
18.已知曲线 与 在第一象限内的交点为 P.
（1）求曲线 在点 P 处的切线方程
（2）求两条曲线所围图形 如图所示阴影部分 的面积 S.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
(1)先通过解方程组求交点的坐标,再根据导数的几何意义求出函数在 处的导数,从而得
到切线的斜率,再利用点斜式方程写出切线方程即可；
(2)先确定积分区间,再确定被积函数,从而可求由两条曲线曲线 ： 与 ： 所围
图形的面积.
【详解】解：(1)由题可知,曲线 与 在第一象限内的交点为 .
的导函数 ,则 ,又切点的坐标为 ，
所以曲线 在点 P 处的切线方程为 ，即 .
（2）由曲线 与 ，可得两曲线的交点坐标为 , ，
所以两条曲线所围图形的面积 .
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【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程,定积分在求面积中的应用,考查
运算求解能力,属于基础题.
19.已知椭圆 ，在椭圆上求一点 ，使 到直线 的距离最短，并求出
最短距离.
【答案】 ，最短距离为 .
【解析】
【分析】
设与直线 平行且与椭圆相切的直线的方程为 ，将直线 的
方程与椭圆的方程联立，由 求得 的值，进而求得切点坐标，即为所求的点 的坐标，
并求出两平行直线间的距离，进而得解.
【详解】设与直线 平行且与椭圆相切的直线为 ，
联立方程 ，消去 得 ，①
令 ，解得 .
与直线 距离最近的切线方程为 ，最小距离为 .
将 代入方程①得 ，解得 ，则 ，
所以，点 的坐标为 .
【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，属基础题目，由直线与椭圆相离，设椭圆的切线
然后求切线方程，直线 与切线间的距离即为最短距离.
20.某工厂生产一种产品，已知该产品的月产量 x 吨与每吨产品的价格 （元）之间的关系为
，且生产 吨的成本为 （元）.问该厂每月生产多少吨产品
才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润＝收入－成本）
【答案】315 万元
【解析】
【详解】解： 每月生产 x 吨时的利润为
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答：每月生产 200 吨产品时利润达到最大，最大利润为 315 万元.
21.已知函数 f(x)＝x2＋2aln x.
(1)当 a＝1 时，求函数 f′(x)的最小值；
(2)求函数 f(x)的单调区间和极值．
【答案】(1)4.
(2) 函数 f(x)的单调递减区间是(0， )，单调递增区间是( ，＋∞)．函数 f(x)有极
小值 f( )＝－a＋2aln .
【解析】
分析：首先求出函数的定义域，先保证函数的生存权，对于第一问，对函数求导，之后应用
基本不等式求出 的最小值，注意等号成立的条件；对于第二问求导，之后对参数的取值
进行讨论，利用导数大于零，函数单调增，导数小于零，函数单调减，从而确定出函数的单
调区间以及函数的极值.
详解：函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)．
(1)当 a＝1 时，f′(x)＝2x＋ ≥2 ＝4，当且仅当 2x＝ ，
即 x＝1 时等号成立，故函数 f′(x)的最小值为 4.
(2)f′(x)＝2x＋ ＝2(x＋ )．
①当 a≥0 时，f′(x)＞0，因此 f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，这时函数无极值；
②当 a＜0 时，f′(x)＝ .当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下：
x (0， ) ( ，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) 减 极小值 增
因此函数 f(x)的单调递减区间是(0， )，单调递增区间是( ，＋∞)．且当 x＝
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时，函数 f(x)有极小值 f( )＝－a＋2aln .
点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，对于第一问，注意应用基本不等式求最
值，当然也可以借助于导数来求解，对于第二问，要注意对 的取值范围进行正确的讨论.
22.已知动点 到点 与点 的斜率之积为 ，点 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）若点 为曲线 上的一点，直线 与直线 分别交于 两点，求线段 长度的最
小值．
【答案】（1) ；（2) .
【解析】
【详解】试题分析：（1）设 ，根据条件，表示直线 AP 和 BP 的斜率，代入 ,
得到点 P 的轨迹方程；（2）根据（1）设直线 AQ 和直线 BQ 的方程，并且得到点 M 和点 N 的坐
标，用坐标表示线段 的长度，根据基本不等式求线段长度的最值
试题解析：（1）设 ，由题意知 ，∴ ，
化简得曲线 方程为 ．
（2）满足题意的直线 的斜率显然存在且不为零，设其方程为 ，
由（1）知 ，∴可设直线 方程为 ，
当 时，得 点坐标为 ，易求 点坐标为 ，
∴ ，
当且仅当 时，等号成立，∴线段 长度的最小值 ．
考点：1.轨迹法；2.直线与椭圆的位置关系.
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