安徽省和县第二中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学（理）试卷 Word版含答案

- 1 - 数 学 试 卷（理） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求。 1．若 ,a b R ， ( )a i i b i   ， i 为虚数单位，则（ ） .A 1,1  ba .B 1,1  ba .C 1,1  ba .D 1,1  ba 2．下列求导运算正确的是（ ） .A 2 ' 11)1( xxx  .B 2ln 1)(log ' 2 xx  .C exx 3 ' log3)3(  .D xxxx sin2)cos( '2  3．  6 0 )cos1(  dxx 的值为（ ） .A 2 1 6  .B 2 3 6  .C 2 1 6  .D 2 3 6  4．由等式 15 64 15 44,8 27 8 33,3 8 3 22  ，归纳推测关于自然数的一般结论 是（ ） .A 1 4 1  n n n nn .B 11 22     n nn n nn .C 2222 3  n n n nn .D 1414 3  n n n nn 5．如图是导函数 )(' xfy  的图象，那么函数 ( )y f x 在 下面哪个区间是减函数（ ） .A 1 3( , )x x .B 2 4( , )x x .C 4 6( , )x x .D 5 6( , )x x 6．用数学归纳法证明 )1,(12 1 3 1 2 11 *  nNnnn 时，第一步应验证不等式 （ ） .A 22 11  .B 23 1 2 11  .C 33 1 2 11  .D 34 1 3 1 2 11  - 2 - 7．曲线 3( ) 2f x x x= + - 在 P 处的切线平行于直线 4 1y x= - ，则 P 点的坐标为（ ） .A (1,0) .B (2,8) .C (1,0) 和 ( 1, 4)  .D (2,8) 和 ( 1, 4)  8．5 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法 共有（ ） .A 10 种 .B 20 种 .C 25 种 .D 32 种 9．设 p : 12)( 23  mxxxxf 在 ),(  内单调递增， q : 3 4m ，则 p 是 q 的（ ） .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 10．函数 xxy ln 的单调递减区间是（ ） .A （ 1e ，+∞） .B （－∞， 1e ） .C （0， 1e ） .D ),( e 11．函数 223)( abxaxxxf  在 1x 处有极值 10, 则点 ),( ba 为（ ） .A )3,3(  .B )11,4( .C )3,3(  或 )11,4( .D 不存在 12．已知函数 y )(xf 是定义在 R 上的奇函数，且当 )0,(x 时不等式 0)()( '  xxfxf 成立,若 )3(3 3.03.0 fa  , )3(log)3(log  fb  ， )9 1(log)9 1(log 33 fc  ，则 cba ,, 的大 小关系是（ ） .A cba  .B abc  .C c a b  .D bca  二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．若 iz 21 ，其中i 是虚数单位，则 z . 14．在 10( 3)x  的展开式中， 6x 的系数是 .（用数字作答） 15．若三角形内切圆半径为 r ，三边长为 cba ,, 则三角形的面积 1 2S r a b c  （ ）； 利用类比思想：若四面体内切球半径为 R ，四个面的面积为 1 2 4S S S3， ，S ， ； 则四面体的体积 V . 16． n 为正整数，设曲线 )1( xxy n  在 2x 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 na ，则数列 }1{ n an 的前 n 项和是 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 17．（本小题满分 10 分） 一袋中有 11 个球，其中 5 个红球，6 个白球，从袋中任取 4 个球． （1）求取出的球中有 2 个红球的取法有多少种？ - 3 - （2）求取出的球中至少有 2 个红球的取法有多少种？ （注：本题的两小题解答时需要用文字叙述清楚解决方法，只列式计算不得分） 18．（本小题满分 12 分） （1）在 nx）（ 1 的展开式中，若第 3 项与第 6 项系数相等，则 n 等于多少？ （2） n x xx )1( 3  的展开式奇数项的二项式系数之和为 128,求展开式中二项式系数最大 项． 19．（本小题满分 12 分） 已知函数 3( ) 3f x x x  . （1）求函数 ( )f x 在 3[ 3, ]2  上的最大值和最小值. （2）过点 (2, 6)P  作曲线 ( )y f x 的切线，求此切线的方程. 20．（本小题满分 12 分） 用数学归纳法证明： 12 1×3 ＋ 22 3×5 ＋…＋ n2 2n－12n＋1 ＝ nn＋1 22n＋1(n∈N*)． - 4 - 21．（本小题满分 12 分） 设函数 xbaxxxf ln)( 2  ，曲线 )(xfy  过 )0,1(P ，且在点 P 处的切线斜率为2 . （1）求 ba, 的值； （2）证明： 22)(  xxf 22．（本小题满分12分） 已知函数 xxxmmxf  1ln)1()( （1）当 2m 时，求 )(xf 的极大值； （2）当 0m  时，讨论 ( )f x 在区间(0, 1) 上的单调性. 数学（理）答案 一、选择题 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B A B B B C D C C B C 二、填空题 - 5 - 13. 3 14. 1890 15. RSSSS )(3 1 4321  16. 22 1 n 三、解答题 17. （本小题满分 10 分） 解：(1)取出的 4 个球中的 2 个红球是袋中 5 个红球中的某 2 个，有 C 25种情况，另 2 个白球是 袋中 6 个白球中的某 2 个，有 C 26种情况，故取出的 4 个球中有 2 个红球的取法有 C25·C26＝10×15 ＝150 种． (2)至少有 2 个红球，包括三类情况：第一类，2 个红球，2 个白球；第二类，3 个红球，1 个白球；第三类，4 个红球．根据分类加法计数原理，取出的 4 个球中至少有 2 个红球的取法 有 C25·C26＋C35·C16＋C45＝150＋60＋5＝215 种． 18. （本小题满分 12 分） 解：(1)由已知得 C2n＝C5n ⇒ n＝7. (2)由已知得 2n－1＝128，n＝8， 而展开式中二项式系数最大项是 T4＋1＝C48(x x)4· 1 3 x 4＝ 3 14 70x . 19. （本小题满分 12 分） 解：（1） '( ) 3( 1)( 1)f x x x   ， 当 [ 3, 1)x   或 3(1, ]2x 时， '( ) 0f x  ， 3[ 3, 1],[1, ]2    为函数 ( )f x 的单调增区间 当 ( 1,1)x  时， '( ) 0f x  ， [ 1,1]  为函数 ( )f x 的单调减区间 又因为 3 9( 3) 18, ( 1) 2, (1) 2, ( )2 8f f f f         ， 所以当 3x   时， min( ) 18f x   当 1x   时， max( ) 2f x  （2）设切点为 3( , 3 )Q x x x   ，则所求切线方程为 3 2( 3 ) 3( 1)( )y x x x x x        由于切线过点 (2, 6)P  ， 3 26 ( 3 ) 3( 1)(2 )x x x x         ， 解得 0x  或 3x  所以切线方程为 3 6 24( 2)y x y x    或 即 3 0x y  或 24 54 0x y   20. （本小题满分 12 分） - 6 - 证明 ①当 n＝1 时，左边＝ 12 1×3 ＝1 3 ， 右边＝ 1×1＋1 2×2×1＋1 ＝1 3 ， 左边＝右边，等式成立． ②假设当 n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立． 即 12 1×3 ＋ 22 3×5 ＋…＋ k2 2k－12k＋1 ＝ kk＋1 22k＋1 ， 当 n＝k＋1 时， 左边＝ 12 1×3 ＋ 22 3×5 ＋…＋ k2 2k－12k＋1 ＋ k＋12 2k＋12k＋3 ＝ kk＋1 22k＋1 ＋ k＋12 2k＋12k＋3 ＝kk＋12k＋3＋2k＋12 22k＋12k＋3 ＝k＋12k2＋5k＋2 22k＋12k＋3 ＝k＋1k＋2 22k＋3 ， 右边＝k＋1k＋1＋1 2[2k＋1＋1] ＝k＋1k＋2 22k＋3 ， 左边＝右边，等式成立． 即对所有 n∈N*，原式都成立． 21. （本小题满分 12 分） 解： x baxxf  21)(' 由已 知条件得      2)1( 0)1( 'f f 即      221 01 ba a 解得      3 1 b a （2）证明：因为 )(xf 的定义域为 ),0(  . 由（1）知 xxxxf ln3)( 2  . 设 xxxxxfxg ln32)22()()( 2  ， 则 x xx xxxg )32)(1(321)('  . 当 )1,0(x 时， 0)(' xg ；当 ),1( x 时， 0)(' xg . 所以 )(xg 在 )1,0( 内单调递增，在 ),1(  内单调递减. - 7 - 而 0)1( g ，故当 0x 时， 0)( xg ，即 22)(  xxf . 22. （本小题满分 12 分） 解：（1）当 2m  时， 5 1( ) ln2f x x xx    2 2 5 1 ( 2)(2 1)( ) 12 2 x xf x x x x        ( 0)x  当 10 2x  或 2x  时， ( ) 0f x  ；当 1 22 x  时， ( ) 0f x  ； ∴ ( )f x 在 1(0, )2 和 (2, )  上单调递减，在 1( , 2)2 上单调递增； 故 5 3( ) = (2) ln 22 2f x f  极大 . （2） 2 2 2 1 1( ) 11( ) 1 m x m xm mf x x x x           2 1( )( ) ( 0, 0) x m x m x mx       1 当 0 1m  时， 1 1m  ， 故 (0, )x m 时， ( ) 0f x  ； ( , 1)x m 时， ( ) 0f x  。 此时 ( )f x 在 (0, )m 上单调递减，在 ( , 1)m 上单调递增； 2 当 1m  时， 1 1m  ， 故 (0, 1)x 时， 2 2 ( 1)( ) 0xf x x     ， 此时 ( )f x 在 (0, 1) 上单调递减； 3 当 1m  时， 10 1m   ， 故 1(0, )x m  时， ( ) 0f x  ； 1( , 1)x m  时， ( ) 0f x  ， 此时 ( )f x 在 1(0, )m 上单调递减，在 1( , 1)m 上单调递增. - 8 -