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数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选
项中，
只有一项符合题目要求。
1．已知 i 为虚数单位，复数 1 2
1
iz i
，则复数 z 在复平面上的对应点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四
象限
2．“一切金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”。此推理方法是( )
A．类比推理 B．演绎推理 C．归纳推理 D．以上
都不对
3．若 877
1 nnn CCC ，则 n 等于（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
4．用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ ）
A．假设至少有一个钝角 B．假设没有一个钝角或至少有两个钝
角
C．假设没有一个钝角 D．假设至少有两个钝角
5．在平面直角坐标系 xOy 中，满足 2 2 1, 0, 0x y x y 的点 ( , )P x y 的集合对应的
平面图形的面积为
4
；类似的，在空间直角坐标系O xyz 中，满足
2 2 2 1x y z ， 0, 0, 0x y z 的点 ( , , )P x y z 的集合对应的空间几何体的体积
为（ ）
A．
8
B．
6
C．
4
D．
3
6．弹簧所受的压缩力 F（单位：牛）与缩短的距离 L（单位：米）按胡克定律 F KL
计算，如果100N 的力能使弹簧压缩 0.1 米，那么把弹簧从平衡位置压缩到 0.2
米（在弹性限度内），所做的功为（ ） J .
A．5 B．10 C． 20 D． 200
7．由曲线 1y x
，直线 y x ， 3x 所围成的封闭平面图形的面积为（ ）
A． 3ln2 B． 3ln4 C． 3ln4 D．
9
32
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8．设函数 )(xf 的定义域为 R ， )0( 00 xx 是 )(xf 的极大值点，以下结论一定正确
的是
（ ）
A． 0x 是 )( xf 的极小值点 B． 0x 是 )( xf 的极小值点
C． 0x 是 )(xf 的极小值点 D． 0,x R f x f x
9．观察下图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组成，记第 n 个
图案中正六边形的个数是 ( )f n .
由 (1) 1f ， (2) 7f ， (3) 19f ，…，可推出 (10)f （ ）
A．271 B．272 C．273 D．274
10．已知 10 2 10
0 1 2 10(1 ) (1 ) (1 ) (1 )x a a x a x a x ，则 8a （ ）
A． 45 B． 48 C． 180 D．180
11．若函数 33 f x x x 在区间 2 4,a a 上有最小值，则实数 a 的取值范围是
（ ）
A． 1,2 B． 1,4 C． 1,2 D． 1, 3
12．已知函数 16)( 23 xaxxf ，若 )(xf 存在唯一的零点 0x ，且 00 x ，则 a 的
取值范围是（ ）
A． )24,( B． )4,( C． ),24( D． ),4(
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．若复数 1 2i a i 是纯虚数，则实数 a 的值为 .
14．已知函数 y f x x R 的图象如图所示，则不等式 ' 0xf x 的解集
为 .
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15．从 5 人（包含甲，乙）中选出 3 人，分别担任班级学习委员，文娱委员与体
育委员，其中甲，乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有______种（用
数字作答）。
16．现有一倒放圆锥形容器，该容器深 24m ，底面直径为6m ，水以5 3 /m s 的速
度流入，则当水流入时间为1s 时，水面上升的速度为 .
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答题应写出必要的文字说明、证明过
程及
演算步骤。
17．（本小题满分 10 分）
（Ⅰ）现有 5 架战机依次着辽宁舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、
丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有多少种？（列简式，算出结果）
（Ⅱ）若甲乙两人从6 门课程中各选修3门，则甲乙所选的课程中恰有 2 门相
同的选法有多少种？（列简式，算出结果）
18．（本小题满分 12 分）
已知函数 2( ) ( )xf x e x a ， 1x 是函数 ( )f x 的一个极值点.
（Ⅰ）求 a 的值；
（Ⅱ）求 ( )f x 的单调区间.
19．（本小题满分 12 分）
观察下列等式
11 第一个式子
9432 第二个式子
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E
F
第 20 题
P
O(A) B
CD
x
y
2576543 第三个式子
4910987654 第四个式子
照此规律下去
（Ⅰ）写出第五个等式；
（Ⅱ）你能做出什么一般性的猜想？请用数学归纳法证明猜想．
20．（本小题满分 12 分）
如图，有一个长方形地块 ABCD，边 AB 为 2km，该地块的一角是湿地(图中
阴影部分)，其边缘线 AC 是抛物线 2y x 的一部分.现要铺设一条过边缘线 AC 上
一点 P 的直线型隔离带 EF，E、F 分别在边 AB，BC 上(隔离带不能穿越湿地，且
占地面积忽略不计)。设点 P 到边 AD 的距离为 t(单位:km)，△BEF 的面积为 S（单
位： 2km ）
（Ⅰ）求 S 关于 t 的函数解析式，并指出该函数的定义域;
（Ⅱ）求按上述要求隔离出的△BEF 面积 S 的最大值.
21．（本小题满分 12 分）
已知函数 2 2lnf x a x x ax .
（Ⅰ）若 1a 时，求 f x 的极值；
（Ⅱ）若 0f x 在(0, ) 上恒成立，求实数a 的取值范围.
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22．（本小题满分 12 分）
设 ( )ln( ) 1
x a xf x x
，曲线 ( )y f x 在点 (1, (1))f 处的切线与直线 2 1 0x y 垂直．
（Ⅰ）求 a 的值；
（Ⅱ）若 1,x ，不等式 ( 1) 1. ( ) ( )x f x m xx x
恒成立，求 m 的取值范围.
数学（理科）答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选
项中，
只有一项符合题目要求。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B C D B C B A A D D A
二、填空题：每小题 5 分
13． 2- 14. 10 22
， ， 15.36 16.
34 15
3
16 题 解 析 ： 设 注 入 水 后 水 面 高 度 为 h , 水 面 所 在 圆 的 半 径 为 r ，
)lim.(153
4)1(1.3
1.154)(
.154.5..3
1:
.8,324
0
3'3
2
3'
32
t
hhttth
thttvhr
hrrh
t
注：瞬时速度时，当
。即：水的体积为
即：
水流
三、解答题
17.解：（1） 种）(242
3
2
2
2
2 AAA ……5 分
（2） 种）(1802
4
2
6 AC ……10 分
- 6 -
18．解：（Ⅰ） 2 2' ( ) 2 ( 2 )x x xf x e x a e x e x x a ………2 分
依题意得， ( 1) (1 2 ) 0f e a ，即 3a ，
经检验 3a 符合题意. ……5 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得 2( ) ( 3)xf x e x
2' ( 2 3) ( 3)( 1)x xf x e x x e x x
令 ' 0f x 得， 1 21, 3x x . ……7 分
列表：
.31-31--( ），），增区间为（，）和（，）的单调减区间为（ xf … …
12 分
18．解： （1）第 5 个等式 5 6 7 13 81 ……
1 分
（2）猜测第n个等式为 2( 1) ( 2) (3 2) (2 1)n n n n n ……
4 分
证明：①当 1n 时显然成立； ……
5 分
②假设 ),1( Nkkkn 时也成立，
即 2( 1) ( 2) (3 2) (2 1)k k k k k ……
6 分
那么当 1 kn 时左边 ( 1) ( 2) (3 2) (3 1) (3 ) (3 1)k k k k k k
222
2
]1)1(2[)12(8144
)13()3()12()12(
133)12()23()2()1(
kkkkk
kkkk
kkkkkkk
x ( , 1) 1 ( 1,3) 3 (3, )
( )f x - 0 + 0 -
( )f x 2e 3
6
e
- 7 -
而右边 2]1)1(2[ k ， 这就是说 1 kn 时等式也成立． … … 11
分
根据①②知，等式对任何 Nn 都成立．
……12 分
20. 解: （Ⅰ）依题意的 2( , )P t t
∵又 2y x ， 2EFk t
∴在点 P 处的切线 EF 的方程为 2 2 ( )y t t x t ，即 22y tx t ． ……
3 分
令 0y ，得 ( ,0)2
tE ；令 2x = ，得 2(2,4 )F t t ，
∴ 2 3 21 1(2 )(4 ) ( 8 16 )2 2 4
tS t t t t t ，
20，定义域为 ． ……6 分
（Ⅱ） 21 3 4(3 16 16) ( 4)( )4 4 3S t t t t ……8 分
当 40 3t 时， 0S ；当 4 23 t 时， 0S ；
∴ S 在 4(0, )3
单调递增， S 在 4( ,2]3
单调递增 … … 11
分
∴当 4
3t 时， max
64
27S ． … … 12
分
21.解：（1）当 1a 时，则
21 2 12 1 x xf x xx x
.
令 0f x ，即
22 1 0x x
x
，解得 1
2x .
当 10 2x 时， 0f x ，当 1
2x 时， 0f x .
所以，函数 y f x 有极大值 1 1 3ln2 2 4f
，无极小值； ……4 分
（2）因为 0f x 恒成立，所以 max 0f x ，
2 2 2 222 x a x aa x ax af x x ax x x
. ……5 分
①当 0a 时，令 0f x ，则 x a ，
- 8 -
当0 x a 时， 0f x ，此时，函数 y f x 单调递增；
当 x a 时， 0f x ，此时，函数 y f x 单调递减.
2 2 2 2
max ln ln 0f x f a a a a a a a ， 0 1a ； ……7 分
②当 0a 时， 2 0f x x ，成立； ……8 分
③当 0a 时，令 0f x ，则
2
ax ，
当0 2
ax 时， 0f x ，此时，函数 y f x 单调递增；
当
2
ax 时， 0f x ，此时，函数 y f x 单调递减.
2 2
2 2 2
max
3ln ln 02 2 4 2 2 4
a a a a af x f a a a
，即 3ln 2 4
a
，
得
3
40 2
a e ，解得 3
42 0e a . ……11
分
综上所述，实数 a 的取值范围为
3
42 ,1e
. ……12 分
22.解：（Ⅰ）因为 2
( ln )( 1) ( )ln
( ) ( 1)
x a x x x a xxf x x
，
由题设 1(1) 2f ，所以 2( 1) 1
4 2
a ，所以 0a ．
……3 分
（Ⅱ） ln( ) 1
x xf x x
化简得：即 1ln ( )≤x m x x
上恒成立，在 1x .
设 1( ) ln ( )g x x m x x
，即 [1, ), ( ) 0≤x g x ，
而
2
2 2
1 1( ) (1 ) mx x mg x mx x x
，
……4 分
1 若 0≤m ， ( ) 0g x ， ( ) (1) 0≥g x g ，这与题设矛盾，舍去。
……6 分
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②若 0m ，方程 2 0mx x m 根的判别式 21 4m ，
当 0≤ ，即 1
2m 时，
所以 ( ) (1) 0≤g x g ，即不等式成
立． ……9 分
当 ,0 即 10 2m 时，方程有两根,分别记为 21, xx ,由韦达定理得：
01.,01
2121 xxmxx ，所以： 21 10 xx ；
当 2(1, )x x 时， ( ) 0g x ， ( )g x 单调递增，则 ( ) (1) 0g x g ，与题设矛盾，舍去。
……
11 分
综上得： 1
2
≥m
……12 分
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