安徽省马鞍山市二中2020-2021学年高二上学期10月阶段考试文科数学试题 Word版含答案

2020-2021 学年度 第一学期高二年级 10 月月考 高二文科数学 满分：150 分 考试时间：120 分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共 12 题，每题 5 分，共 60 分） 1．若集合  2 3 0M x x x   ，  2 log 2N x x  ，则 M N  （ ） A． 2 B． 0,4 C． ,4 D． 0,4 2．已知直线 l 过圆 2 2: 2 4 1 0C x y x y     的圆心 C，且倾斜角为90 ，则 l 方程为（ ） A． 2y x B． 1x  C． 2y  D． 1y x  3．设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ） A． 23 a B． 26 a C． 212 a D． 224 a 4．若直线 2 3 0x y   与 y 轴交点 P，则点 P 将圆 2 2( 1) 25x y   的直径分为两段的长度之比是（ ） A． 7 3 or 3 7 B． 7 4 or 4 7 C． 7 5 or 5 7 D． 7 6 or 6 7 5．若实数 x、y 满足 3 0 2 2 0 x y x x y          ，则 2 4z x y  的最小值为（ ） A． 12 B． 3 C．3 D．24 6．圆锥的侧面展开图是半径为 3，圆心角为120 的扇形，则圆锥的表面积为（ ） A． 2 B．3 C． 4 D．16 3  7．已知向量 ( ,1)a m ， (2, 3)b   ，若 (2 )a b b   ，则 m  （ ） A． 19 4  B．19 4 C． 2 3  D． 2 3 8．已知 :(2 ) (1 2 ) 4 3 0( )l m x m y m m      R 过定点 A，则点 A 到直线 : 1m x y  的距离是（ ） A．4 B． 2 2 C．2 D． 2 9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A． 7 3  B． 8 3  C．3 D．10 3  10．若过点  1,2P 可作圆 2 2 23: ( 1) 162 4 kC x y k        的切线有两条，则有（ ） A． 3 2k   B． 3k   or 2k  C． 8 8 3 3 k   D．上述均不对 11．从正方体的 6 个面中任取 2 个面，则取到的 2 个面平行的概率为（ ） A． 1 5 B． 1 4 C． 1 3 D． 1 2 12．若 p 为直线 3 0x y   上一个动点，从点 P 引圆 2 2 2 0x y x   的两条切线 PM，PN（切点为 M， N），则线段 MN 的长度的取值范围是（ ） A． 7,2 B． 7,2   C． 14 ,22      D． 14 ,22       第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13、若点  3, 1P  是圆 2 2( 2) 9x y   的弦 AB 中点，则直线 AB 方程是__________． 14．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图为直角梯形O A B C    ，且 2O A   ， 1O C   ， A B  平行于 y轴，则这个平面图形的面积为__________． 15．圆心在直线 4y x  ，且与直线 1 0x y   相切于点  3 2P  的圆的标准方程为__________． 16．已知正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 的底面边长为 3cm，侧面的对角线长是3 5cm ，P 是 1CC 的中点， 则三棱锥的体积 1A ABPV   __________． 三、解答题（本大题共 6 题，其中 17 题 10 分，18 题至 22 题均为 12 分，共 70 分．解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤．） 17．（本题满分 10 分） 已知两点  2,1A  ，  4,3B ，两直线 1 : 2 3 1 0l x y   ， 2 : 1 0l x y   ．求： （1）过点 A 且与直线 1l 平行的直线 m 方程； （2）过线段 AB 的中点以及直线 1l 与 2l 的交点的直线 n 方程． 18．（本题满分 12 分） 已知 ABC 的三个顶点  1,0A  ，  1,0B ，  3,2C ，其外接圆为圆 H． （1）求圆 H 的方程； （2）若直线 l 过点 C，且被圆 H 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程． 19．（本题满分 12 分） 如图，在 ABC 中，已知 5 6AB  ，D 是 BC 边上的一点， 120ADC   ， 14AC  ， 6DC  ． （1）求角 B 的大小； （2）求 ABD 的面积． 20．（本题满分 12 分） 设数列 na 的前 n 项和为 22nS n ， nb 为等比数列，且 1 1a b ，  2 2 1 1b a a b  ． （1）求数列 na 和 nb 的通项公式； （2）设 n n n ac b  ，求数列 nc 的前 n 项和 nT ． 21．（本题满分 12 分） 已知圆锥的顶点为 P，母线 PA，PB 所成角的余弦值为 1 4 ，轴截面等腰三角形的顶角为90 ，若 PAB 的面积为 2 15 ． （1）求该圆锥的侧面积； （2）求圆锥的内接正四棱柱的侧面面积的最大值． 22．（本题满分 12 分） 已知点  0 0,E x y 在圆 2 2( 2) 40x y   上运动，  2,6F  ，点  ,G x y 为线段 EF 的中点． （1）求点  ,G x y 的轨迹方程； （2）记  ,G x y 的轨迹图形中心为 H，若点  1,0B ，  3,2C ，对于线段 BH 上的任意一点 p，若在 以 C 为圆心的圆上都存在不同的两点 M，N，使得点 M 是线段 PN 的中点，求圆 C 的半径 r 的取 值范围． 2020-2021 学年度 第一学期高二年级 10 月月考参考答案 一、单选题（共 12 题，每题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D B B A A C B B B D A C 二、填空题（共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13、 4 0x y   14、5 2 15、 2 2( 1) ( 4) 8x y    16、 39cm 三、解答题 17．（本题满分 10 分） 分析：（1）设直线 m 的方程为： 2 3 0x y c   ， 将  2,1A  代入，得 7c  ， 故所求直线 m 方程是： 2 3 7 0x y   ． （2）∵  2,1A  ，  4,3B ， ∴线段 AB 的中点是  1,2M ， 设两直线 1l 与 2l 的交点为  2,1N ，则 2 1 11 2MNk    ， 故所求直线 n 的方程为： 3 0x y   ． 18．（本题满分 12 分） 分析：（1）线段 AB 的垂直平分线为 0x  ，线段 BC 的垂直平分线为 3 0x y   ， ∴圆心  0,3H ，半径 2 2| | 1 3 10r HA   ， 圆 H 的方程为 2 2( 3) 10x y   ； （2）设圆心 H 到直线 l 的距离为 d， ∵直线 l 被圆 H 截得的弦长为 2， ∴  2 10 1 3d    ， 当 l 垂直于 x 轴时， : 3l x  ， 经检验符合题意，即 3x  为所求； 当直线 l 不垂直于 x 轴时，设直线方程为  2 3y k x   ， 则 2 | 3 1| 3 1 kd k    ，解得 4 3k  ， 综上，直线 l 的方程为 3x  或 4 3 6 0x y   ． 19．（本题满分 12 分） 分析：（1）在 ACD 中， 120ADC   ， 14AC  ， 6DC  ， 由余弦定理 2 2 2 2 cosAC AD DC AD DC ADC     ， 得 2 2 26 2 6cos120 14AD AD    ， 整理得 2 6 160 0AD AD   ， ∴ 10AD  ，或 16AD   （舍去）． 在 ABD 中， 5 6AB  ， 180 120 60ADB      ， 由正弦定理 sin sin AB AD ADB B  ，得 5 6 10 sin 60 sin B  ， ∴ 10sin 60 2sin 25 6 B   ， 由 0 120B   ，∴ 45B  ； （2）在 ABD 中， 60ADB   ， 45B  ， ∴ 180 75BAD ADB ABD       ， 又 5 6AB  ， 10AD  ， ∴ ABD 的面积 1 1 6 2sin75 5 6 102 2 4ABDS AB AD        75 25 3 2  ． 20．（本题满分 12 分） 分析：（1）当 2n  时， 2 2 1 2 2( 1) 4 2n n na S S n n n       ， 当 1n  时， 1 1 2a S  满足上式， 故 na 的通项式为 4 2na n  ． 设 nb 的公比为 q，则 1 2b  ， 由  2 2 1 1b a a b  得， 1 2 2 1 1 2 bb a a   ， ∴ 1 4q  ， ∴ nb 的通项公式是 1 2 4n nb  ． （2）由（1）知， 1(2 1) 4nn n n ac nb     ， 1 2 11 3 4 5 4 (2 1)4n nT n           ， 错项相减得： 1 (6 5)4 59 n nT n     ． 21．（本题满分 12 分） 分析：（1）令圆锥母线长、底面半径分别为 l、r， 由条件知， 22 2l r r l   ， 又 1 15cos sin4 4APB APB     ， ∴ 21 15 2 15 42 4l l    ， ∴侧面积为 22 8 22rl l    ． （2）由（1）知，圆锥的高 2 2 22h r l   ， 令正四棱柱的底面边长为 a，高为 H， 则 1 1 2AC a ， 1PO h H  ， 由 1 1 1 2 PO C A PO r  得， 2 2 2 22 2 H a r   ， ∴ 2(2 2 )a H  ，     2 2 2 4 4 2 2 2 4 2 8 22 H H S aH H H           侧 ， 等号成立 2 2 2H H H     ． 22．（本题满分 12 分） 分析：（1）由条件知， 2 2 0 02 40x y   ， 0 2 2x x  ， 0 2 6y y  ， ∴ 2 2 2 2(2 ) (2 6) 40 ( 3) 10x y x y       ， ∴轨迹 D 的方程为 2 2( 3) 10x y   ； （2）由（2）知，中心  0,3H ，直线 BH 的方程为3 3 0x y   ， 设 ( , )(0 1)P m n m  ， ( , )N x y ， ∴ ,2 2 m x n yM       ， 又 M，N 都在半径为 r 的圆 C 上， ∴ 2 2 2 2 2 2 ( 3) ( 2) 3 22 2 x y r m x n y r                     ， 即         2 2 2 2 2 2 3 2 6 4 4 x y r x m y n r            ， ∴关于 x，y 的方程组有解，即以 3,2 为圆心，r 为半径的圆与以 6 ,4m n  为圆心，2r 为半径的圆有公共点， ∴ 2 2 2 2(2 ) (3 6 ) (2 4 ) ( 2 )r r m n r r         ， 又3 3 0m n   ， ∴ 2 2 210 12 10 9r m m r    对 [0,1]m  成立， 而 2( ) 10 12 10f m m m   在 0,1 上的值域为 32 ,105      ， ∴ 2 32 5r  且 210 9r ， ∴又线段 BH 与圆 C 无公共点， ∴ 2 2 2( 3) (3 3 2)m m r     对 [0,1]m  成立，即 2 32 5r  ， 故圆 C 的半径 r 的取值范围为 10 4 10,3 5      ．