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蚌埠三中高二理科数学试卷
一、单选题(每题 5 分,共 60 分)
1.复数 3 2iz i
的虚部为( )
A.2 B.-2 C.-3 D. 3i
2.已知一个射手每次击中目标的概率为 3
5p ,他在四次射击中命中两次的概率为( )
A. 36
625 B. 216
625 C. 96
625 D. 24
625
3.甲,乙,丙三名学生,仅有一人通过了全国英语六级等级考试.当它们被问到谁通过了全国
英语六级等级考试时,甲说:“丙通过了”;乙说:“我通过了”;丙说:“甲和乙都没有通过”.
假设这三名学生中有且只有一人说的是对的,那么通过了全国英语六级等级考试的学生是
( )
A.甲 B.乙
C.丙 D.仅靠以上条件还不能推出是谁
4.函数 2 1lnf x x x x
的图象大致是( )
A. B. C.
D.
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5.将 4 个文件放入到 3 个盒子中,随机变量 X 表示盒子中恰有文件的盒子个数,则 EX 等于( )
A. 62
27 B. 7
3 C. 64
27 D. 65
27
6.如图,一环形花坛分成 A B C D, , , 四块,现有 4 种不同的花供选种,要求在每块里种 1
种花,且相邻的 2 块种不同的花,则不同的种法总数为( )
A.96 B.84 C.60 D.48
7.设函数 21 2 1 ln2f x f x x f x
,曲线 f x 在 1, 1f 处的切线方程是( )
A.5 4 0x y B.3 2 0x y C. 0x y D. 1x
8.袋中有 3 红 5 黑 8 个大小形状相同的小球,从中依次摸出两个小球,则在第一次摸得红球
的条件下,第二次仍是红球的概率为( )
A. 3
8 B. 2
7 C. 2
8 D. 3
7
9.在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点,则落入阴影部分(曲线 C 为正态分布 ( 2,4)N
的密度曲线)的点的个数的估计值为( )
(附: 2~ ,X N 则 ( ) 0.6827P X ,
( 2 2 ) 0.9545P X .)
A.906 B.340 C.2718 D.3413
10.在二项式
71
2 1
2x x
的展开式中有理项的项数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
11.利用数学归纳法证明“ *1 2 2 1 3 2 1 ,nn n n n n n N ”时,
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从“ n k ”变到“ 1n k ”时,左边应増乘的因式是 ( )
A. 2 1k B. 2 1
1
k
k
C. 2 1 2 2k k D. 2 2 1k
12.三中髙一年级和髙二年级进行篮球比赛,赛制为 3 局 2 胜制,若比赛没有平局,且高二
队每局获胜的概率都是 10 2p p
,记比赛的最终局数为随机变量 X ,则( )
A. 5( ) 2E X B. 21( ) 8E X C. 1( ) 4D X D. 1 1( ) ,4 2D X
第 II 卷(非选择题)
二、填空题(每题 5 分,共 20 分)
13.已知复数 (1 )(2 ),z i i 则|z|= .
14.将 , , , , ,A B C D E F 六个字母排成一排,若 , ,A B C 均互不相邻且 ,A B 在 C 的同一侧,则
不同的排法有________种.(用数字作答)
15. 2 2
2
sin 4x x dx
______.
16.关于函数 2 lnf x xx
(1) 2x 是 f x 的极小值点;
(2)函数 y f x x 有且只有 1 个零点;
(3) 1
2f x x 恒成立;
(4)设函数 2 4g x xf x x ,若存在区间 1, ,2a b
,使 g x 在 ,a b 上的
值域是 2 , 2k a k b ,则 9 2ln 21, 10k
.
上述说法正确的序号为_______.
三、解答题(第 17 题 10 分,其它每题 12 分,共 70 分)
17.已知 z 为虚数,z+ 9
z 2
为实数.
(1)若 z-2 为纯虚数,求虚数 z.
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(2)求|z-4|的取值范围.
18.(1)设 0a b ,证明: 3 3 2 24 3 4 3a b a b ab ;
(2)已知 0a ,证明: 5 3 6 4a a a a .
19.(1)设 4 2 3 4
0 1 2 3 4(3 1)x a a x a x a x a x .
①求 0 1 2 3 4a a a a a ;
②求 0 2 4a a a ;
③求 1 2 3 4a a a a ;
(2)求 1 2 27
27 27 27S C C C 除以 9 的余数.
20.已知数列 na ,首项 1 1a ,前 n 项和 nS 足 2 *n
n
S n n Na
.
(1)求出 1 2 3 4, , ,S S S S ,并猜想 nS 的表达式;
(2)用数学归纳法证明你的猜想.
21.由于《中国诗词大会》节目在社会上反响良好,某地也模仿并举办民间诗词大会,进入
正赛的条件为:电脑随机抽取 10 首古诗,参赛者能够正确背诵 6 首及以上的进入正赛.若诗
词爱好者甲、乙参赛,他们背诵每一首古诗正确的概率均为 1
2
.
(1)求甲进入正赛的概率.
(2)若参赛者甲、乙都进入了正赛,现有两种赛制可供甲、乙进行 PK,淘汰其中一人.
赛制一:积分淘汰制,电脑随机抽取 4 首古诗,每首古诗背诵正确加 2 分,错误减 1 分.由
于难度增加,甲背诵每首古诗正确的概率为 2
5
,乙背诵每首古诗正确的概率为 1
3
,设甲的得
分为 1x ,乙的得分为 2x .
赛制二:对诗淘汰制,甲、乙轮流互出诗名,由对方背诵且互不影响,乙出题,甲回答正确
的概率为 0.3,甲出题,乙回答正确的概率为 0.4,谁先背诵错误谁先出局.
(i)赛制一中,求甲、乙得分的均值,并预测谁会被淘汰;
(ii)赛制二中,谁先出题甲获胜的概率大?
22.已知函数 ln 1xf x x ae a R .
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(1)当 1a 时,讨论 f x 极值点的个数;
(2)若函数 f x 有两个零点,求 a 的取值范围.
参考答案
1.C 2.B 3.B 4.C 5.D 6.B
7.A 8.B 9.B 10.D 11.D 12.C
13. 10
14.96
15. 2
16.(1)(2)(4)
17.(1)z=2+3i 或 z=2-3i;(2)(1,5).
18.(1)详见解析;(2)详见解析.
19.(1)16,256,15;(2)7
20.(1) 1 1S , 2
4
3S , 3
3
2S , 4
8
5S ; 2
1n
nS n
(2)证明见解析
21.(1) 193
512
;(2)(i) 4
5
,0,乙可能被淘汰;(ii)甲先出题甲获胜的概率大.
22.(1)极大值点 0x ,且是唯一极值点;(2) 10, e