安徽省安庆市怀宁县第二中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学（理）试题 Word版含答案

高二数学理科- 1 - 2020—2021 学年度第一学期期中考试 高二数学试题（理科） 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的) 1．过点 A(3，－4)，B(－2，m)的直线 l 的斜率为－2，则 m 的值为 A．6 B．1 C．2 D．4 2．圆 x2＋y2＋2x－4y＝0 的圆心坐标和半径分别是 A．(1，－2)，5 B．(1，－2)， 5 C．(－1,2)，5 D．(－1,2)， 5 3．在空间直角坐标系 Oxyz 中，点 A 在 z 轴上，它到点(2 2，5，1)的距离是 13， 则点 A 的坐标是 A．(0,0，－1) B．(0,1,1) C．(0,0,1) D．(0,0,13) 4．过点(1,2)且与原点距离最大的直线方程是 A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0 C．x＋3y－7＝0 D．x－2y＋3＝0 5．若直线 l1 和 l2 是异面直线，l1 在平面α内，l2 在平面β内，l 是平面α与平面β的交 线，则下列命题正确的是 A．l 与 l1，l2 都不相交 B．l 与 l1，l2 都相交 C．l 至多与 l1，l2 中的一条相交 D．l 至少与 l1，l2 中的一条相交 6．若点 P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程是 A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0 C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0 7.圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是 16 2π，则圆锥的体积是 A．64π 3 B．128π 3 C．64π D．128 2π 高二数学理科- 2 - 8．直线 l：y＝kx－1 与曲线y－2 x－1 ＝1 2 不相交，则 k 的取值是 A.1 2 或 3 B.1 2 C．3 D. 1 2 ，3 9．在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，若 AB＝2，AA1＝1，则点 A 到平 面 A1BC 的距离为 A. 3 4 B. 3 2 C.3 3 4 D. 3 10．过点 P(－2,4)作圆(x－2)2＋(y－1)2＝25 的切线 l，直线 l1：ax＋3y＋2a＝0 与 l 平行，则 l1 与 l 间的距离是 A.28 5 B.12 5 C.8 5 D.2 5 11．若圆 C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0 关于直线 2ax＋by＋6＝0 对称，则由点(a，b) 所作的圆的切线长的最小值是 A．2 B．3 C．4 D．6 12．如图， 在△ABC 中， AB＝BC＝ 6， ∠ABC＝90°， 点 D 为 AC 的中点，将 △ABD 沿 BD 折起到△PBD 的位置， 使 PC＝PD，连接 PC, 得到三棱锥 PBCD, 若该 三棱锥的所有顶点都在同一球面上， 则该球的表面积是 A．π B．3π C．5π D．7π 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．若直线 l1：ax＋y＋2a＝0 与 l2：x＋ay＋3＝0 互相平行，则实数 a＝________. 14．直线 y＝x＋1 与圆 x2＋y2＋2y－3＝0 交于 A，B 两点，则|AB|＝________. 15．若直线 3x－4y＋5＝0 与圆 x2＋y2＝r2(r>0)相交于 A，B 两点，且∠AOB＝120°(O 为坐标原点)，则 r＝________. 16．将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 ABDC，有如下三个结论． ①AC⊥BD； ②△ACD 是等边三角形； ③AB 与平面 BCD 成 60°的角． 说法正确的命题序号是________． 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步 高二数学理科- 3 - 骤) 17．(本小题满分 10 分)已知两条直线 l1：mx＋8y＋n＝0 和 l2：2x＋my－1＝0，试 确定 m、n 的值，使 (1)l1 与 l2 相交于点(m，－1)； (2)l1∥l2； (3)l1⊥l2，且 l1 在 y 轴上的截距为－1. 18．(本小题满分 12 分)如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB＝16，BC＝10，AA1 ＝8，点 E，F 分别在 A1B1，D1C1 上，A1E＝D1F＝4.过点 E，F 的平面α与此长方体 的面相交，交线围成一个正方形． (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值． 19．(本小题 12 分)如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，已知 AC⊥BC，BC＝CC1. 设 AB1 的中点为 D，B1C∩BC1＝E.求证： (1)DE∥平面 AA1C1C； (2)BC1⊥AB1. 20．(本小题满分 12 分)已知直线 x－y＋1＝0 与圆 C：x2＋y2－4x－2y＋m＝0 交于 高二数学理科- 4 - A，B 两点． (1)求线段 AB 的垂直平分线的方程； (2)若|AB|＝2 2，求 m 的值； (3)在(2)的条件下，求过点 P(4,4)的圆 C 的切线方程． 21．(本小题满分 12 分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如 图所示． (1)请将字母 F，G，H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)； (2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系，并证明你的结论； (3)证明：直线 DF⊥平面 BEG. 22．(本小题满分 12 分)已知以点 C t，3 t (t∈R，t≠0)为圆心的圆过原点 O. (1)设直线 3x＋y－4＝0 与圆 C 交于点 M，N，若|OM|＝|ON|，求圆 C 的方程； (2)在(1)的条件下，设 B(0,2)，且 P，Q 分别是直线 l：x＋y＋2＝0 和圆 C 上的 动点，求|PQ|－|PB|的最大值及此时点 P 的坐标． 高二数学理科- 5 - 2020—2021 学年度第一学期期中考试 高二数学试题（理科）答案 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的) 1. 解析：选 A 由题意知 kAB＝ m＋4 －2－3 ＝－2，∴m＝6. 2．解析：选 D 圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，其圆心是(－1,2)， 半径为 5. 3．解析：选 C 由点 A 在 z 轴上，可设 A(0,0，z)，∵点 A 到点(2 2， 5，1)的距 离是 13，∴(2 2－0)2＋( 5－0)2＋(z－1)2＝13，解得 z＝1，故 A 的坐标为(0,0,1)， 故选 C. 4．解析：选 A 结合图形可知，所求直线为过点(1,2)且与原点和点(1,2)连线垂直 的直线，其斜率为－1 2 ，直线方程为 y－2＝－1 2(x－1)，即 x＋2y－5＝0. 5．解析：选 D 由直线 l1 和 l2 是异面直线可知 l1 与 l2 不平行，故 l1，l2 中至少有 一条与 l 相交． 6．解析：选 A 设圆心为 C(1,0)，则 AB⊥CP，∵kCP＝－1，∴kAB＝1，∴直线 AB 的方程是 y＋1＝x－2，即 x－y－3＝0. 7.解析：选 A [(1)设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l， ∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，∴2r＝ l2＋l2，即 l＝ 2r， 由题意得，侧面积 S 侧＝πr·l＝ 2πr2＝16 2π，∴r＝4.∴l＝4 2，高 h ＝ l2－r2＝4. ∴圆锥的体积 V＝1 3 Sh＝1 3 π×42×4＝64 3 π，故选 A. 8．解析：选 A 曲线y－2 x－1 ＝1 2 表示直线 x－2y＋3＝0(去掉点(1,2))，则直线 l：y＝ kx－1 与曲线y－2 x－1 ＝1 2 不相交，即直线 l 与 x－2y＋3＝0 平行或直线 l 过点(1,2)，所 以 k 的取值为1 2 或 3. 9．解析：选 B 因为 ABCA1B1C1 是正三棱柱，AB＝2，所以底面三角形 ABC 的 高二数学理科- 6 - 面积为 3，所以 VA1ABC＝1 3 × 3×1＝ 3 3 .如图，在△A1BC 中，A1B＝A1C＝ 12＋22 ＝ 5，所以 BC 边上的高为  52－1＝2，所以 S△A1BC＝1 2 ×2×2＝2.设点 A 到 平面 A1BC 的距离为 h，所以1 3·S△A1BC·h＝VA1ABC，解得 h＝ 3 2 . 10．解析：选 B 直线 l1 的斜率 k＝－a 3 ，l1∥l， 又 l 过 P(－2,4)，∴l 的直线方程为 y－4＝－a 3(x＋2)，即 ax＋3y＋2a－12＝0. 又直线 l 与圆相切，∴|2a＋3×1＋2a－12| a2＋9 ＝5，∴a＝－4，∴l1 与 l 的距离为 d＝12 5 . 11．解析：选 C 将圆 C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0 化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2 ＝2，∴圆心 C(－1,2)，半径 r＝ 2.∵圆 C 关于直线 2ax＋by＋6＝0 对称，∴直线 2ax＋by＋6＝0 过圆心，将 x＝－1，y＝2 代入直线方程得－2a＋2b＋6＝0，即 a ＝b＋3.∵点(a，b)与圆心的距离 d＝ a＋12＋b－22，∴由点(a，b)向圆 C 所作 切 线 长 l ＝ d2－r2 ＝ a＋12＋b－22－2 ＝ b＋42＋b－22－2 ＝ 2b＋12＋16≥4，当且仅当 b＝－1 时切线长最小，最小值为 4. 12．D [由题意得该三棱锥的面 PCD 是边长为 3的正三角形，且 BD⊥平面 PCD, 设 三棱锥 PBDC 外接球的球心为 O, △PCD 外接圆的圆心为 O1，则 OO1⊥平面 PCD， 所以四边形 OO1DB 为直角梯形， 由 BD＝ 3，O1D＝1，及 OB＝OD，得 OB＝ 7 2 ， 所 以外接球半径为 R＝ 7 2 ，所以该球的表面积 S＝4πR2＝4π×7 4 ＝7π.] 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．解析：由两直线平行的条件 A1B2－A2B1＝0 且 A1C2－A2C1≠0 得 a2－1＝0， 3a－2a≠0， 得 a＝±1. 答案：±1 高二数学理科- 7 - 14．解析：由 x2＋y2＋2y－3＝0，得 x2＋(y＋1)2＝4. ∴圆心 C(0，－1)，半径 r＝2.圆心 C(0，－1)到直线 x－y＋1＝0 的距离 d＝|1＋1| 2 ＝ 2， ∴|AB|＝2 r2－d2＝2 4－2＝2 2. 答案：2 2 15．解析：由直线与圆的位置及圆的性质，可求得圆心(0,0)到直线 3x－4y＋5＝0 的距离为r 2 ，∴ |5| 32＋42 ＝r 2 ，∴r＝2. 答案：2 16．解析：如图所示，①取 BD 中点 E，连接 AE，CE，则 BD ⊥AE，BD⊥CE，而 AE∩CE＝E，∴BD⊥平面 AEC，AC⊂平面 AEC，故 AC⊥BD，故①正确． ②设正方形的边长为 a，则 AE＝CE＝ 2 2 a.由①知∠AEC 是 直二面角 ABDC 的平面角，∴∠AEC＝90°，∴AC＝a，∴△ACD 是等边三角形， 故②正确．③由题意及①知，AE⊥平面 BCD，故∠ABE 是 AB 与平面 BCD 所成的 角，而∠ABE＝45°，所以③不正确． 答案：①② 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤) 17．解：(1)因为 l1 与 l2 相交于点(m，－1)， 所以点(m，－1)在 l1、l2 上，将点(m，－1)代入 l2，得 2m－m－1＝0，解得 m ＝1. 又因为 m＝1，把(1，－1)代入 l1，所以 n＝7. 故 m＝1，n＝7. (2)要使 l1∥l2，则有 m2－16＝0， m×－1－2n≠0， 解得 m＝4， n≠－2 或 m＝－4， n≠2. (3)要使 l1⊥l2，则有 m·2＋8·m＝0，得 m＝0. 则 l1 为 y＝－n 8 ，由于 l1 在 y 轴上的截距为－1， 所以－n 8 ＝－1，即 n＝8. 故 m＝0，n＝8. 18．解：(1)交线围成的正方形 EHGF 如图所示． 高二数学理科- 8 - (2)作 EM⊥AB，垂足为 M，则 AM＝A1E＝4，EB1＝12，EM＝AA1＝8. 因为 EHGF 为正方形，所以 EH＝EF＝BC＝10. 于是 MH＝ EH2－EM2＝6，AH＝10，HB＝6. 故 S 四边形 A1EHA＝1 2 ×(4＋10)×8＝56， S 四边形 EB1BH＝1 2 ×(12＋6)×8＝72. 因为长方体被平面α分成两个高为 10 的直棱柱， 所以其体积的比值为9 7 7 9 也正确 . 19．证明：(1)∵B1C1CB 为正方形，∴E 为 B1C 的中点，又 D 为 AB1 中点，∴DE 为△B1AC 的中位线，∴DE∥AC，又 DE⊄平面 A1C1CA，AC⊂平面 A1C1CA，∴DE ∥平面 AA1C1C. (2)在直三棱柱中，平面 ACB⊥平面 B1C1CB，又平面 ACB∩平面 B1C1CB＝BC， AC⊂平面 ABC，且 AC⊥BC， ∴AC⊥平面 B1C1CB， ∴AC⊥BC1， 又 B1C1CB 为正方形， ∴B1C⊥BC1，AC∩B1C＝C， ∴BC1⊥平面 ACB1，又 AB1⊂平面 ACB1，∴BC1⊥AB1. 20．解：(1)由题意，线段 AB 的垂直平分线经过圆心(2,1)，斜率为－1， ∴该直线方程为 y－1＝－(x－2)，即 x＋y－3＝0. (2)圆 x2＋y2－4x－2y＋m＝0 可化为(x－2)2＋(y－1)2＝－m＋5. ∵|AB|＝2 2， ∴圆心到直线的距离为 －m＋5－2＝ 3－m. ∵圆心(2,1)到直线的距离为 d＝|2－1＋1| 2 ＝ 2， ∴ 3－m＝ 2， ∴m＝1. (3)由题意，知圆 C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝4.则点 P(4,4) 高二数学理科- 9 - 在圆外，过点 P 的圆 C 的切线有两条． ①当所求切线的斜率存在时，设切线方程为 y－4＝k(x－4)，即 kx－y－4k＋4 ＝0. 由圆心到切线的距离等于半径，得|2k－1－4k＋4| k2＋1 ＝2， 解得 k＝ 5 12 ，所以所求切线的方程为 5x－12y＋28＝0. ②当所求切线的斜率不存在时，切线方程为 x＝4. 综上，所求切线的方程为 x＝4 或 5x－12y＋28＝0. 21．解：(1)点 F，G，H 的位置如图所示． (2)平面 BEG∥平面 ACH.证明如下： 因为 ABCDEFGH 为正方体，所以 BC∥FG，BC＝FG. 又 FG∥EH，FG＝EH，所以 BC∥EH，BC＝EH， 于是四边形 BCHE 为平行四边形， 所以 BE∥CH. 又 CH⊂平面 ACH，BE⊄平面 ACH， 所以 BE∥平面 ACH. 同理 BG∥平面 ACH. 又 BE∩BG＝B， 所以平面 BEG∥平面 ACH. (3)证明：连接 FH，与 EG 交于点 O，连接 BD. 因为 ABCDEFGH 为正方体， 所以 DH⊥平面 EFGH. 因为 EG⊂平面 EFGH，所以 DH⊥EG. 又 EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以 EG⊥平面 BFHD. 又 DF⊂平面 BFHD，所以 DF⊥EG. 同理 DF⊥BG. 又 EG∩BG＝G， 高二数学理科- 10 - 所以 DF⊥平面 BEG. 22．解：(1)∵|OM|＝|ON|， ∴原点 O 在线段 MN 的垂直平分线上． 设 MN 的中点为 H，则 CH⊥MN，∴C，H，O 三点共线． ∵直线 MN 的方程是 3x＋y－4＝0， ∴直线 OC 的斜率 k＝ 3 t t ＝3 t2 ＝1 3 ，解得 t＝3 或 t＝－3， ∴圆心为 C(3,1)或 C(－3，－1)． ∴圆 C 的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10 或(x＋3)2＋(y＋1)2＝10. 由于当圆的方程为(x＋3)2＋(y＋1)2＝10 时，圆心到直线 3x＋y－4＝0 的距离 d ＞r，此时不满足直线与圆相交，故舍去． ∴圆 C 的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10. (2)由题意可知|PQ|－|PB|≤|BQ|，当 B，P，Q 三点共线时，等号成立． 又 B，C，Q 三点共线且|BQ|＝|BC|＋|CQ|时|BQ|最大， 此时|BQ|＝|BC|＋ 10＝2 10. ∵B(0,2)，C(3,1)，∴直线 BC 的方程为 y＝－1 3x＋2， ∴直线 BC 与直线 x＋y＋2＝0 的交点的坐标为(－6,4)． 故|PQ|－|PB|的最大值为 2 10，此时点 P 的坐标为(－6,4)．