安徽省定远县育才学校2020-2021学年高二上学期第二次月考数学（文）试题 Word版含答案

育才学校 2020-2021 学年上学期第二次月考 高二文科数学 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.如图，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥平面 AC，且四边形 ABCD 是矩形，则该四棱锥的四个侧面 中是直角三角形的有( ) A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个 2.由下列各组命题构成“p∨q”“p∧q”“¬p”形式的复合命题中，“p∨q”为真，“p∧q”为假，“¬p”为真 的是( ) A．p：3 为偶数；q：4 是奇数 B．p：3＋2＝6；q：5＞3 C．p：a∈{a，b}；q：{a} {a，b} D．p：Q R；q：N＝N 3.已知圆 x2＋y2－2x－4y＋a＝0 上有且仅有一个点到直线 3x－4y－15＝0 的距离为 1，则实数 a 的 取值情况为( ) A． B． －4 C． －4 或－20 D． －11 4.已知某正三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为( ) A． 9 B． 9 ＋ C． 12 D． 12 5.已知命题 p：2 是偶数，命题 q：2 是 3 的约数，则下列命题为真的是( ) A．p∧q B．p∨q C． ¬p D． (¬p)∧(¬q) 6.直线 x＋2ay－1＝0 与(a－1)x－ay＋1＝0 平行，则 a 的值为( ) A． B． 或 0 C． 0 D． －2 或 0 7.直线 2x＋3y＋6＝0 关于直线 y＝x 对称的直线方程是( ) A． 3x＋2y＋6＝0 B． 2x－3y＋6＝0 C． 3x＋2y－6＝0 D． 3x－2y－6＝0 8.如图所示，PO⊥平面 ABC，BO⊥AC，在图中与 AC 垂直的线段有( ) A． 1 条 B． 2 条 C． 3 条 D． 4 条 9.若直线 3x－4y＋12＝0 与两坐标轴的交点为 A、B，则以 AB 为直径的圆的方程是( ) A．x2＋y2＋4x－3y＝0 B．x2＋y2－4x－3y＝0 C．x2＋y2＋4x－3y－4＝0 D．x2＋y2－4x－3y＋8＝0 10.用平面去截一个正方体，截面的形状可以是( ) A． 三角形、正方形、长方形、梯形 B． 三角形、四边形、五边形 C． 三角形、四边形、五边形、六边形 D． 三角形、四边形、五边形、六边形、七边形 11.要在边长为 16 米的正方形草坪上安装喷水龙头，使整个草坪都能喷洒到水．假设每个喷水龙头 的喷洒范围都是半径为 6 米的圆面，则需安装这种喷水龙头的个数最少是( ) A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 12.如图，四棱锥 S－ABCD 的底面为正方形，SD⊥底面 ABCD，则下列结论中不正确的是( ) A．AC⊥SB B．AB∥平面 SCD C．SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D．AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.正方体中，连接相邻两个面的中心可以构成一个美丽的几何体．若正方体的边长为 1，则这个 美丽的几何体的体积为________． 14.在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 x＝ 与直线 x＝m 有且只有一个公共点，则实数 m＝ ______. 15.已知直线 y＝ x＋b 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B，如果 △ AOB 的面积(O 为坐标原点)不大于 1，那么 b 的取值范围是________． 16.如图，圆锥的底面圆直径 AB 为 2，母线长 SA 为 4，若小虫 P 从点 A 开始绕着圆锥表面爬行一 圈到 SA 的中点 C，则小虫爬行的最短距离为________． 三、解答题(本大题共 6 小题分,共 70 分) 17.（10 分）已知 p：实数 x 满足(x＋1)(x－1)≤0；q：实数 x 满足(x＋1)[x－(3m－1)]≤0(m＞0)．若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围． 18.（12 分）一个空间几何的三视图及部分数据如图(1)所示，直观图如图(2)所示. (1)求它的体积； (2)证明：A1C⊥平面 AB1C1； (3)若 D 是棱 CC1 的中点，在棱 AB 上取中点 E，判断 DE 是否平行于平面 AB1C1，并证明你的结论. 图(1) 图(2) 19.（12 分）如图，在直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB∥CD，且 AB＝ 2CD，在棱 AB 上是否存在一点 F，使平面 C1CF∥ADD1A1？若存在，求点 F 的位置，若不存在， 请说明理由. 20.（12 分）如图所示，在四棱锥 P—ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝ 60°，PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中点． 证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面 ABE. 如图，在四棱锥 C－ABED 中，四边形 ABED 是正方形，G，F 分别是线段 EC，BD 的中点. (1)求证：GF∥平面 ABC； (2)若点 P 为线段 CD 的中点，平面 GFP 与平面 ABC 有怎样的位置关系？并证明. 22.（12 分）已知以点 C(t， )(t∈R，t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O，A，与 y 轴交于点 O，B，其 中 O 为原点. (1)求证： △ OAB 的面积为定值； (2)设直线 y＝－2x＋4 与圆 C 交于点 M，N，若|OM|＝|ON|，求圆 C 的方程. 答案解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B B D B B A D A C B D 1.D 【解析】∵PA⊥平面 AC， ∴PA⊥AD，PA⊥AB， ∴△PAD， △ PAB 为直角三角形． 又∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB⊥BC，结合 PA⊥BC，PA∩AB＝A， ∴BC⊥平面 PAB， 又∵PB ⊂ 平面 PAB， ∴BC⊥PB， ∴△PBC 为直角三角形， 同理， △ PCD 也为直角三角形．故选 D. 2.B 【解析】可用排除法，因为“¬p”为真，故 C，D 错；因为“p∨q”为真，故 A 错． 3.B 【解析】化圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5－a，由题易知直线与圆相离，则有 － ＝1，解得 a＝－4，故选 B. 4.D 【解析】由侧视图可知三棱锥的高为 2 ， 底面三角形的高为 3，设底面正三角形的边长为 a， 由 a＝3，解得 a＝2 . 所以侧棱长为 ＝2 ， 所以正三棱锥是正四面体， 所以该三棱锥的表面积为 4× ×(2 )2＝12 . 5.B 【解析】∵p 真 q 假，∴p∨q 真. 6.B 【解析】当 a＝0 时，两直线平行； 当 a≠0 时，由 ， 得 a＝ ，综合可得，a＝ 或 0， 故选 B. 7.A 【解析】把直线方程 2x＋3y＋6＝0 中的 x 换成 y，同时把直线方程 2x＋3y＋6＝0 中的 y 换成 x，即 可得到直线 2x＋3y＋6＝0 关于直线 y＝x 对称的直线方程． 故直线 2x＋3y＋6＝0 关于直线 y＝x 对称的直线方程为 3x＋2y＋6＝0.故选 A. 8.D 【解析】∵PO⊥平面 ABC，AC ⊂ 平面 ABC， ∴PO⊥AC， 又∵AC⊥BO，PO∩BO＝O， ∴AC⊥平面 PBD， 因此，平面 PBD 中的 4 条线段 PB、PD、PO、BD 都与 AC 垂直．故选 D. 9.A 【解析】由 x＝0，得 y＝3，由 y＝0，得 x＝－4， ∴A(－4,0)，B(0,3)， ∴以 AB 为直径的圆的圆心是(－2， )，半径是 r＝ ＝ ， ∴以 AB 为直径的圆的方程是(x＋2)2＋(y－ )2＝ ， 即 x2＋y2＋4x－3y＝0，故选 A. 10.C 【解析】用一个平面去截一正方体，截面可能为三角形、四边形(梯形，矩形，正方形)、五边形、 六边形，只有 C 选项，符合题意．故选 C. 11.B 【解析】因为龙头的喷洒面积为 36π≈113， 正方形面积为 256，故至少三个龙头．由于 2R＜16， 故三个龙头肯定不能保证整个草坪能喷洒到水． 当用四个龙头时，可将正方形均分四个小正方形，同时将四个龙头分别放在它们的中心， 由于 2R＝12＞8 ，故可以保证整个草坪能喷洒到水．故选 B. 12.D 【解析】∵SD⊥底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形， ∴连接 BD，则 BD⊥AC， 根据线面垂直的定义，可得 AC⊥SB，故 A 正确； ∵AB∥CD，AB ⊄ 平面 SCD，CD ⊂ 平面 SCD， ∴AB∥平面 SCD，故 B 正确； 设 AC 与 BD 的交点为 O，则 AC⊥平面 BSD. 则∠ASO 是 SA 与平面 SBD 所成的角， ∠CSO 是 SC 与平面 SBD 所成的角， 而 △ SAD≌△SCD， ∴SA＝SC， ∴SO 为∠ASC 的角平分线， 即 SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角，故 C 正确； ∵AB∥CD，∴AB 与 SC 所成的角是∠SCD，DC 与 SA 所成的角是∠SAB， 而这两个角显然不相等，故 D 不正确．故选 D. 13. 【解析】∵正方体的棱长是 1， 构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成， 以上面一个正四棱锥为例， 它的高等于正方体棱长的 ， 正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是 ， ∴这个正四棱锥的体积是 × × × ＝ ， ∴构成的八面体的体积是 2× ＝ ，故答案为 . 14.2 【解析】由题意，曲线 x＝ 为以原点 O(0,0)为圆心，2 为半径的半圆(y 轴右侧)与直线 L：x ＝m(L∥y 轴)有且只有一个公共点，∴m＝2. 15.[－1,0)∪(0,1] 【解析】令 x＝0，得 y＝b， 令 y＝0，得 x＝－2b， ∵△AOB 的面积(O 为坐标原点)不大于 1， ∴△AOB 的面积 S＝ |b|×|－2b|＝|b|2≤1， ∵b＝0 时，A、O、B 三点重合，构不成三角形， ∴b≠0， ∴－1≤b＜0 或 0＜b≤1. 16.2 【解析】由题意知底面圆的直径 AB＝2， 故底面周长等于 2π. 设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为 n°， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得 2π＝ ， 解得 n＝90， 所以展开图中∠PSC＝90°， 根据勾股定理求得 PC＝2 ， 所以小虫爬行的最短距离为 2 . 17.由(x＋1)(x－1)≤0，得－1≤x≤1， 即 p：－1≤x≤1， 由(x＋1)[x－(3m－1)]≤0(m＞0)， 得－1≤x≤3m－1(m＞0)， 即 q：－1≤x≤3m－1(m＞0)， 由 p 是 q 的充分不必要条件， 得 即 m> ， 所以实数 m 的取值范围为 . 20.证明 (1)在四棱锥 P—ABCD 中， ∵PA⊥底面 ABCD，CD ⊂ 平面 ABCD，∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，PA，AC ⊂ 平面 PAC， ∴CD⊥平面 PAC. 而 AE ⊂ 平面 PAC，∴CD⊥AE. (2)由 PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得 AC＝PA. ∵E 是 PC 的中点，∴AE⊥PC. 由(1)知 AE⊥CD，且 PC∩CD＝C，PC，CD ⊂ 平面 PCD， ∴AE⊥平面 PCD. 而 PD ⊂ 平面 PCD，∴AE⊥PD. ∵PA⊥底面 ABCD，∴PA⊥AB. 又∵AB⊥AD 且 PA∩AD＝A，PA，AD ⊂ 平面 PAD， ∴AB⊥平面 PAD，而 PD ⊂ 平面 PAD， ∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，AB，AE ⊂ 平面 ABE， ∴PD⊥平面 ABE. 22.(1)证明 ∵圆 C 过原点 O，且|OC|2＝t2＋ . ∴圆 C 的方程是(x－t)2＋(y－ )2＝t2＋ ， 令 x＝0，得 y1＝0，y2＝ ； 令 y＝0，得 x1＝0，x2＝2t， ∴S △ OAB＝ |OA|·|OB|＝ ×| |×|2t|＝4， 即 △ OAB 的面积为定值. (2)解 ∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|， ∴OC 垂直平分线段 MN. ∵kMN＝－2，∴kOC＝ . ∴ ＝ t，解得 t＝2 或 t＝－2. 当 t＝2 时，圆心 C 的坐标为(2,1)，|OC|＝ ， 此时 C 到直线 y＝－2x＋4 的距离 d＝ < ， 圆 C 与直线 y＝－2x＋4 相交于两点. 当 t＝－2 时，圆心 C 的坐标为(－2，－1)，|OC|＝ ， 此时 C 到直线 y＝－2x＋4 的距离 d＝ > . 圆 C 与直线 y＝－2x＋4 不相交， ∴t＝－2 不符合题意，舍去. ∴圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.