安徽涡阳县育萃中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试卷 Word版含答案

高二年级上学期第一次月考数学试卷 第 I 卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求) 1.下列关于棱台的说法，不正确的是 (    )A. 所有的侧棱交于一点 B. 只有两个面互相平行 C. 上下两个底面全等 D. 所有的侧面不存在两个面互相平行 2. 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体由 (    )A. 一个圆台、两个圆锥构成 B. 两个圆台、一个圆锥构成 C. 两个圆柱、一个圆锥构成 D. 一个圆柱、两个圆锥构成 3.已知两条直线 l，m 和一个平面 α ，下列说法正确的是 ( )A. 若 l ⊥ m ， m//α ，则 l ⊥ α B. 若 l ⊥ m ， l ⊥ α ，则 m//αC. 若 l ⊥ α ， m//α ，则 l ⊥ m D. 若 l//α ， m//α ，则 l//m4.下列命题正确的是 (    )A. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C. 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 D. 棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形 5.若直线 2x + (a + 2)y + 4 = 0 与直线 (a − 1)x + 2y + 2 = 0 平行，则实数 a 的值为 (    )A.2 B. − 3 C. 2 或 − 3 D. − 2 3 6.已知直线 l 过点 A( − 1, 3) ， B(2,m) 两点，若直线 l 的倾斜角是 2π 3 ，则 m = (    )A.0 B. − 2 3 C. 2 3 D. 4 37.已知两点 P( − 4,0) ， Q(3,2) ，若直线 y = kx − 2 与线段 PQ 相交，则实数 k 的取值范围是 (    )A. [ − 1 2 , 4 3 ] B. [ − 4 3 , 1 2 ] C. ( − ∞, − 4 3 ] ∪ [ 1 2 , + ∞) D. ( − ∞, − 1 2 ] ∪ [ 4 3 , + ∞)8.已知圆锥的表面积为 3π ，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为 A. 3 3 π B. 3π C. 2 3 π D. 2π 9.一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A，B，C 是展开图上的三点，则 在正方体盒子中， ∠ABC 的度数是 (    ) ． A. 0° B. 30° C. 60° D. 90°10.正方形 ABCD 的中心为点 O( − 1,0) ，AB 边所在的直线方程是 x + 3y − 5 = 0 ，则 CD 边所在的直线的方程为 (    )A. x + 3y + 7 = 0 B. 3x − y − 3 = 0 C. 3x − y + 9 = 0 D. x + 3y − 27 = 0 11.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD − A1B1C1D1 中，点 P 在正方体表面上移动，且 满足 B1P ⊥ BD1 ，则点 B1 和动点 P 的轨迹形成的图形的周长是 (    )A. 4 2 B. 3 2 C. 3 3 D. 4 312.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为 (    )A. 8 + 4 2 B. 6 + 2 + 2 3C. 6 + 4 2 D. 6 + 2 2 + 2 3 第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.某几何体的三视图如图所示，已知其主视图是边长为 4 的正三角形，则该几何体的侧面积为____________. 14．已知水平放置的 ABC 的直观图 A B C   （斜二测画法）是边长为 2a 的正三角形，则原 ABC 的面 积为____________. 15．点 P 2,3 到直线 l:ax + y − 2a = 0 的距离为 d ，则 d 的最大值为_____________. 16.过点 A(3, − 1) 且在两坐标轴上截距相等的直线方程是_______________ .三、解答题(共 70 分.解答时应写出必要的文字说明) 17.（本题 10 分） 已知直线 l1 ： 2x + y − 2 = 0 ； l2 ： mx + 4y + n = 0(m, n 为常数 ) ． (1) 若 l1 ⊥ 12 ，求 m 的值； (2) 若 l1//12 ，且它们的距离为 5 ，求 m，n 的值． 18.（本题 12 分） 已知 △ ABC 的三个顶点分别为 A(2,4) ， B(1,1) ， C(7,3) ． (1) 求 BC 边上的中线所在直线的方程； (2) 求 BC 边上的高所在直线的方程． 19.（本题 12 分） 已知 △ ABC 的顶点 A(3, − 1) ， ∠B ， ∠C 平分线所在的直线方程分别是 x = 0 ， y = x ，求边 BC 所在的直线方 程以及 B，C 的坐标． 20.（本题 12 分） 如图，三棱锥 A − BCD 中， AB ⊥ 平面 BCD， CD ⊥ BD ． ( Ⅰ ) 求证： CD ⊥ 平面 ABD； ( Ⅱ ) 若 AB = BD = CD = 1 ，M 为 AD 中点，求三棱锥 A − MBC 的体积． 21. （本题 12 分） 如图，在正三棱柱 ABC − A1B1C1 中， AA1 = AB ，F、 F1 分别是 AC、 A1C1 的中点． (1) 求证：平面 AB1F1// 平面 C1BF ； (2) 求证：平面 AB1F1 ⊥ 平面 ACC1A1 ． 22.（本题 12 分） 如图所示，直三棱柱 ABC − A1B1C1 ， ∠CAB = ∠CBA = 45°. 点 M，N 分别是 A1B1 ，BC 的中点． (1) 求证： BM // 平面 A1C1N ； (2) 若 CC1 = BC ，探究：在线段 CC1 上是否存在一点 P，使得平面 B1MP ⊥ 平面 A1C1N ， 高二年级上学期第一次月考数学答案 1.下列关于棱台的说法，不正确的是 (    )B. 所有的侧棱交于一点 B. 只有两个面互相平行 C. 上下两个底面全等 D. 所有的侧面不存在两个面互相平行 【解答】由棱台的定义可知： A.所有的侧棱交于一点，正确； B.只有两个面互相平行，就是上、下底面平行，正确； C.棱台的上下两个底面不全等，故 C 不正确； D.所有的侧面不存在两个面互相平行，正确； 故选：C． 2. 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体由 (    )B. 一个圆台、两个圆锥构成 B. 两个圆台、一个圆锥构成 C. 两个圆柱、一个圆锥构成 D. 一个圆柱、两个圆锥构成 【解答】根据题意，由圆柱，圆锥的定义可得， 将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周， 所得的几何体由一个圆柱、两个圆锥构成． 故选 D． 3.已知两条直线 l，m 和一个平面 α ，下列说法正确的是 ( )A. 若 l ⊥ m ， m//α ，则 l ⊥ α B. 若 l ⊥ m ， l ⊥ α ，则 m//αC. 若 l ⊥ α ， m//α ，则 l ⊥ m D. 若 l//α ， m//α ，则 l//m【解答】对于 A 选项，若 l ⊥ m ， m//α ，则 l 在平面 α 内，l 与 α 平行或者相交，故 A 错误； 对于 B 选项，若 l ⊥ m ， l ⊥ α ，则 m//α 或者 m 在平面 α 内，故 B 错误； 对于 C 选项，若 l ⊥ α ， m//α ，则 l ⊥ m ，故 C 正确； 对于 D 选项，若 l//α ， m//α ，则 l 与 m 相交、平行或异面，故 D 错误； 故选 C． 4.下列命题正确的是 (    ) A. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 B. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C. 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直 D. 棱台的侧棱延长后交于一点，侧面是等腰梯形 【解答】对于 A，棱柱的侧面不一定全等，故错误； 对于 B，由棱台的定义可知只有当平面与底面平行时，所截部分才是棱台，故错误； 对于 C，由侧棱两两垂直得到侧棱与面垂直，进而得到侧面也互相垂直，故正确； 对于 D，棱台的侧棱延长后交于一点，侧面不一定是等腰梯形，故错误； 故选：C． 5.若直线 2x + (a + 2)y + 4 = 0 与直线 (a − 1)x + 2y + 2 = 0 平行，则实数 a 的值为 (    )A. 2 B. − 3 C. 2 或 − 3 D. − 2 3【解答】由 (a − 1)(a + 2) − 2 × 2 = 0 ，化为： a 2 + a − 6 = 0 ， 解得 a =− 3 或 2，经过验证 a = 2 时，两条直线方程都为 x + 2y + 2 = 0 ，可知重合． ∴ a =− 3 ． 故选：B． 6.已知直线 l 过点 A( − 1, 3) ， B(2,m) 两点，若直线 l 的倾斜角是 2π 3 ，则 m = (    )A. 0 B. − 2 3 C. 2 3 D. 4 3【解答】设直线 l 的斜率为 k，则 k = m− 3 2+1 = tan 2π 3 =− 3 ， 故 m =− 2 3 ． 故选：B． 7.已知两点 P( − 4,0) ， Q(3,2) ，若直线 y = kx − 2 与线段 PQ 相交，则实数 k 的取值范围是 (    )A. [ − 1 2 , 4 3 ] B. [ − 4 3 , 1 2 ] C. ( − ∞, − 4 3 ] ∪ [ 1 2 , + ∞) D. ( − ∞, − 1 2 ] ∪ [ 4 3 , + ∞)【解答】根据题意，直线 y = kx − 2 与线段 PQ 相交，则点 P、Q 在直线 y = kx − 2 的两侧或直线上， 则 ( − 4k − 2)(3k − 4) ≤ 0 ，即 (4k + 2)(3k − 4) ≥ 0 ， 解可得： k ≤− 1 2 或 k ≥ 4 3 ，即实数 k 的取值范围为 ( − ∞, − 1 2 ] ∪ [ 4 3 , + ∞) ； 故选：D． 8.已知圆锥的表面积为 3π ，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的体积为 A. 3 3 π B. 3π C. 2 3 π D. 2π【解答】设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l； 则圆锥的表面积为 S = πr 2 + πrl = 3π ， …①又圆锥的侧面展开图是一个半圆， 即 2πr = πl ， …②由 ①② 解得 r = 1 ， l = 2 ． 所以圆锥的高为为 l² − r² = 3 ， 所以则该圆锥的体积为 ． 故选 A． 9.一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A，B，C 是展开图上的三点，则 在正方体盒子中， ∠ABC 的度数是 (    ) ． A. 0° B. 30° C. 60° D. 90°【解答】将正方体还原之后如图所示，由于 △ ABC 的三条边均为正方体的面对角线， 故 AB = AC = BC ，即 △ ABC 是等边三角形， 所以 ∠ABC 的度数是 60° ． 故选 C． 10.正方形 ABCD 的中心为点 O( − 1,0) ，AB 边所在的直线方程是 x + 3y − 5 = 0 ，则 CD 边所在的直线的方 程为 (    )A. x + 3y + 7 = 0 B. 3x − y − 3 = 0 C. 3x − y + 9 = 0 D. x + 3y − 27 = 0【解答】点 O( − 1,0) 到直线 x + 3y − 5 = 0 的距离 d = |−1−5| 1+9 = 3 10 5设与边 AB 平行的边 CD 所在直线的方程是 x + 3y + m = 0(m ≠− 5) ， 则点 O( − 1,0) 到直线 x + 3y + m = 0 的距离 d = |−1+m| 1+9 = 3 10 5 ， 解得 m =− 5( 舍去 ) 或 m = 7 ， 所以 CD 边所在直线的方程是 x + 3y + 7 = 0 ． 故选 A． 11.如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD − A1B1C1D1 中，点 P 在正方体表面上移动， 且满足 B1P ⊥ BD1 ，则点 B1 和动点 P 的轨迹形成的图形的周长是 (    )A. 4 2 B. 3 2 C. 3 3 D. 4 3【解答】在棱长为 1 的正方体 ABCD − A1B1C1D1 中，点 P 在正方体表面上移动， 且满足 B1P ⊥ BD1 ， 可知平面 ACB1 与直线 BD1 垂直，所以动点 P 的轨迹形成的图形是正三角形 ACB1 ， 所以动点 P 的轨迹形成的图形的周长是： 3 2 ． 故选：B． 12.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为 (    )A. 8 + 4 2 B. 6 + 2 + 2 3C. 6 + 4 2 D. 6 + 2 2 + 2 3【解答】该三视图还原成直观图后的几何体是如图的四棱锥， 红色 线四棱锥 A − BCDE 为三视图还原后的几何体， CBA 和 ACD 是两个全等的直角三角形： AC = CD = BC = 2 ∴ 两个全等的直角三角形面积为：4． 底面 DCBE 是正方形，边长为 2， ∴ 底面的正方形面积为：4． ABE 是直角三角形， AB = 2 2 ， BE = 2 ， ∴ 面积为： 2 2 ． AED 是直角三角形， DE = 2 ， AD = 2 2 ， ∴ 面积为： 2 2 ． 该四棱锥的表面积为 4 + 4 + 2 2 + 2 2 = 8 + 4 2 ． 故选：A． 13.某几何体的三视图如图所示，已知其主视图是边长为 4 的正三角形，则该几何体的侧面积为____________. 【解答】根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面半径为 2，母线长为 4 的圆锥， 如图所示： 故 S = π × 4 × 2 = 8π ． 14. 已知水平放置的 ABC 的直观图 A B C   （斜二测画法）是边长为 2a 的正三角形，则原 ABC 的面 积为____________. 【解答】正三角形 A B C   还原回原三角形如下图， 过C 作C D 垂直于 x 轴于 D ，因为 A B C   是边长为 2a 的正三角形， 所以 6 2 aC D  ，过C 作C E 平行于 x 轴交 y 轴于 E ，则 2 3A E C D a   ， 所以，C 对应的原图形中的点C 在平面直角坐标系 xOy 下的纵坐标为 2 3a ， 即原三角形 ABC 底边 AB 上的高为 2 3a ， 所以，原三角形 ABC 面积 21 2 2 3 62S a a a    15. 点 P 2,3 到直线 l:ax + y − 2a = 0 的距离为 d ，则 d 的最大值为_____________. 【解答】直线方程即 y =− a x − 2 ，据此可知直线恒过定点 M 2,0 ， 当直线 l ⊥ PM 时， d 有最大值， 结合两点之间距离公式可得 d 的最大值为 2 − 2 2 + 3 − 0 2 = 3 . 16. 若直线l 经过点 3,4 ，且在 x 轴， y 轴上的截距互为相反数，则直线l 的方程为 【解答】①当在坐标轴上截距为 0 时，所求直线斜率为 4 3  ，直线方程为 4 3y x  ,即 4 3 0x y  ；②当在 坐标轴上截距不为 0 时， 在坐标轴上截距互为相反数， x y a   ，将  3,4A  代入得 7a   ，此时所求的直线方程为 7 0x y   ，故答案为 4 3 0x y  或 7 0x y   . 17. 已知直线 l1 ： 2x + y − 2 = 0 ； l2 ： mx + 4y + n = 0(m, n 为常数 ) ． (1) 若 l1 ⊥ 12 ，求 m 的值； (2) 若 l1//12 ，且它们的距离为 5 ，求 m，n 的值． 【解答】 (1) ∵ 直线 l1 ： 2x + y − 2 = 0 ； l2 ： mx + 4y + n = 0 ，若 l1 ⊥ 12 ， 则 − 2 ( − m 4 ) =− 1 ，求得 m =− 2 ． (2) 若 l1//12 ，则 m 2 = 4 1 ≠ n −2 ，求得 m = 8 ， n ≠− 8 ， 故直线 l1 ： 8x + 4y − 8 = 0 ； l2 ： 8x + 4y + n = 0 ． 再根据它们的距离为 |n+8| 64+16 = 5 ， ∴ n = 12 ，或 n =− 28 ． 综上可得， m = 8 ， n = 12 或 − 28 ． 18.已知 △ ABC 的三个顶点分别为 A(2,4) ， B(1,1) ， C(7,3) ． (1) 求 BC 边上的中线所在直线的方程； (2) 求 BC 边上的高所在直线的方程． 【解答】 (1) 因为 B(1,1) ， C(7,3) ，所以 BC 的中点为  2,4M 因为 A(2,4) 在 BC 边上的中线上，所以所求直线方程为 x−2 4−2 = y−4 2−4 ， 即 BC 边上的中线所在直线的方程为 06  yx (2) 因为 B(1,1) ， C(7,3) ，所以直线 BC 的斜率为 3 1 17 13   因为 BC 边上的高所在直线与直线 BC 垂直，所以 BC 边上的高所在直线的斜率为 3 因为 A(2,4) 在 BC 边上的高上，所以所求直线方程为 y − 4 =− 3(x − 2) ， 即 BC 边上的高所在直线的方程为 0103  yx 19. 已知 △ ABC 的顶点 A(3, − 1) ， ∠B ， ∠C 平分线所在的直线方程分别是 x = 0 ， y = x ，求边 BC 所在的直 线方程以及 B，C 的坐标． 【解答】由角平分线性质，点 A(3, − 1) 关于直线 x = 0 的对称点 ( − 3, − 1) 在直线 BC 上， 点 A 关于直线 y = x 的对称点 ( − 1,3) 也在直线 BC 上， 故直线 BC 的方程为 y+1 3+1 = x+3 −1+3 ， 即直线 BC 的方程为 y = 2x + 5 ， 联立 y = 2x + 5 x = 0 可得 B(0,5) ， 联立 y = 2x + 5 y = x 可得 C( − 5, − 5) ． 20.如图，三棱锥 A − BCD 中， AB ⊥ 平面 BCD， CD ⊥ BD ． ( Ⅰ ) 求证： CD ⊥ 平面 ABD； ( Ⅱ ) 若 AB = BD = CD = 1 ，M 为 AD 中点，求三棱锥 A − MBC 的体积． 【解答】 ( Ⅰ ) 证明： ∵ AB ⊥ 平面 BCD， CD ⊂ 平面 BCD， ∴ AB ⊥ CD ， ∵ CD ⊥ BD ， AB ∩ BD = B ， ， ∴ CD ⊥ 平面 ABD． ( Ⅱ ) 解： ∵ AB ⊥ 平面 BCD， BD ⊂ 平面 BCD， ∴ AB ⊥ BD ． ∵ AB = BD = 1 ， ∴ S△ABD = 1 2 ， ∵ M 为 AD 的中点， ∴ S△ABM = 1 2 S△ABD = 1 4 ， ∵ CD ⊥ 平面 ABD， ∴ VA−MBC = VC−ABM = 1 3 S△ABM CD = 1 12 ． 21.如图，在正三棱柱 ABC − A1B1C1 中， AA1 = AB ，F、 F1 分别是 AC、 A1C1 的中点． (1) 求证：平面 AB1F1// 平面 C1BF ； (2) 求证：平面 AB1F1 ⊥ 平面 ACC1A1 ． 【解答】 (1) 证明：在正三棱柱 ABC − A1B1C1 中， ∵ F 、 F1 分别是 AC、 A1C1 的中点， ∴ B1F1//BF ， AF1//C1F ， 又 ∵ B1F1 ∩ AF1 = F1 ， BF ∩ C1F = F ∴ 平面 AB1F1// 平面 C1BF ； (2) ∵ F1 是 A1C1 的中点． △ A1B1C1 是等边三角形， ∴ B1F1 ⊥ A1C1又 AA1 ⊥ 平面 A1B1C1 ，又 B1F1 ⊂ 平面 A1B1C1 ∴ AA1 ⊥ B1F1 ，又 AA1 ∩ A1C1 = A1 ∴ B1F1 ⊥ 平面 ACC1A1. 又 B1F1 ⊂ 平面 AB1F1 ∴ 平面 AB1F1 ⊥ 平面 ACC1A1 ． 22. 如图所示，直三棱柱 ABC − A1B1C1 ， ∠CAB = ∠CBA = 45°. 点 M，N 分别是 A1B1 ，BC 的中点． (1) 求证： BM // 平面 A1C1N ； (2) 若 CC1 = BC ，探究：在线段 CC1 上是否存在一点 P，使得平面 B1MP ⊥ 平面 A1C1N ，若存在，请指出 点 P 的位置；若不存在，请说明理由． 【解答】 (1) 证明：取 A1C1 的中点 H，连接 MH，NH， 则 MH // B1C1 ，且 MH = 1 2 B1C1 ； 又因为 BN // B1C1 ，且 BN = 1 2 B1C1 ， 所以 MH // BN ，且 MH = BN ， 故四边形 BMHN 为平行四边形， 所以 BM // NH ； 又 BM ⊄ 平面 A1C1N ， NH ⊂ 平面 A1C1N ， 故 B M // 平面 A1C1N ； (2) 解：当 P 为 CC1 的中点时，平面 B1MP ⊥ 平面 A1C1N. 连接 MP， PB1 ，因为 CC1 = BC ，故在正方形 BB1C1C 中， △ B1C1P≌ △ C1CN ， 故 ∠CC1N + ∠B1PC1 = 90° ，故 B  1P ⊥ C1N ； 因为直三棱柱 ABC − A1B1C1 ，所以 C1C ⊥ 面 ABC， ∵ AC ⊂ 面 ABC， ∴ C1C ⊥ AC ， 又 ∵ ∠CAB = ∠CBA = 45° ， ∴ ∠ACB = 90° ， ∴ AC ⊥ BC ， 又 BC ∩ C1C = C ，BC、 C1C ⊂ 平面 BB1C1C ，所以 AC ⊥ 平面 BB1C1C ； 因为 AC // A1C1 ，故 A  1C1 ⊥ 平面 BB1C1C ； 因为 B1P ⊂ 平面 BB1C1C ，所以 A1C1 ⊥ B1P ； 因为 A1C1 ∩ C1N = C1 ， A1C1 、 C1N ⊂ 平面 A1C1N ， 所以 B1P ⊥ 平面 A1C1N ； 因为 B1P ⊂ 平面 B1MP ，故平面 B1MP ⊥ 平面 A1C1N.