安徽省蚌埠田家炳中学、蚌埠五中2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含答案

第 1 页，共 8 页 2020---2021 学年度第一学期期中考试试卷 高二数学 考试时间：120 分钟 试卷分值：150 分 一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分，将答案填在题后的表格中） 1. 如果一个几何体的正视图是矩形，则这个几何体不可能是( ) A. 棱柱 B. 棱台 C. 圆锥 D. 圆柱 2. 若空间两个角 与 的两边对应平行，当 ㌳䁠 时，则 等于( ) A. 䁠 B. 䁠 或 12䁠 C. ㌳䁠 D. ㌳䁠 或 12䁠 . 已知一个正三棱锥的高为 3，如图是其底面用斜二测画法所画出的水 平放置的直观图，其中 ̵̵ ̵ൌ̵ 1 ，则此三棱锥的体积为( ) A. B. C. D. . 已知三角形的三个顶点 i2k. ， ik ㌳. ， ൌik2. ，则过 A 点的中线长为( ) A. 1䁠 B. 2 1䁠 C. 11 2 D. 1䁠 . 已知某几何体的三视图如图所示，其正视图与侧视图都是边长为 1 的正三 角形，俯视图为正方形，则该几何体的表面积是( ) A. 1 B. 2 C. 1 D. 3 ㌳. 设 l，m 是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是( ) A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则 ᦙᦙC. 若 ᦙᦙ ， ，则 ᦙᦙ D. 若 ᦙᦙ ， ᦙᦙ ，则 ᦙᦙ 7. 已知点 iܽk2.iܽ 䁠. 到直线 䁠 的距离为 1，则 a 的值为( ) A. 2 B. 2 2 C. 2 1 D. 2 1 第 2 页，共 8 页 8. 下列命题是公理的是( ) A. 平行于同一个平面的两个平面互相平行 B. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 D. 空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 9. 如果两个球的体积之比为 8 27 ，那么两个球的表面积之比为( ) A. 8 27 B. 2 C. 9 D. 2 9 1䁠. 已知直线 l 过点 i 1k . ， i2k. 两点，若直线 l 的倾斜角是 2 ，则 ( ) A. 2 B. 0 C. 2 D. 11. 如图所示，在正方体 ൌܥ 11ൌ1ܥ1 中，E，F 分别是 1 ， ൌ1 的中点， 则异面直线 EF 与 ൌ1ܥ 所成的角为( ) A. 䁠 B. C. ㌳䁠 D. 9䁠 12. 若圆心坐标为 i2k 1. 的圆被直线 1 䁠 截得的弦长为 2 2 ，则圆的方 程为( ) A. i 2. 2 i 1. 2 B. i 2. 2 i 1. 2 2C. i 2. 2 i 1. 2 8 D. i 2. 2 i 1. 2 1㌳ 题号 1 2 ㌳ 7 8 9 1䁠 11 12 答案 二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分） 1. 直线 − 1 䁠 的倾斜角为______． 1. 用一个平面去截半径为 5cm 的球，截面面积是 9 2 . 则球心到截面的距离为_______cm． 1. 已知直线 1 ： ܽ ܽ 䁠 ， 2 ： i2ܽ . ܽ ܽ 䁠 ，互相平行，则 a 的值是______． 第 页，共 8 页 1㌳. 如图所示，在三棱锥 ൌܥ 中，E，F，G，H 分别是棱 AB，BC，CD，DA 的中点，则当 AC，BD 满足条件______时，四边形 EFGH 是正方形． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分） 17. （10 分）如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO 底面 ABCD，E 是 PC 的中点。求证： i1.ሻᦙᦙ 平面 BDE i2. 平面 PAC 平面 BDE 18.（10 分）已知直线 l 的方程为 䁠 . i1. 求过点 i 2k2. 且与直线 l 垂直的直线方程； i2. 求与直线 l 平行且距离为 2 的直线方程． 第 页，共 8 页 19.（12 分）如图，在正三棱柱 ൌ 11ൌ1 中，点 D 在边 BC 上， ܥ ൌ1ܥ ． i1. 求证： ܥ 平面 ൌൌ11 i2. 若点 E 为 1ൌ1 的中点，求证：平面 1ᦙᦙ 平面 ܥൌ1 . 20.（12 分）已知圆 C 经过 ik2. 、 i1k㌳. ，且圆心在直线 2 上． (1) 求圆 C 的方程． i2. 若直线 l 经过点 ሻi 1k. 与圆 C 相切，求直线 l 的方程． 21.（12 分）已知曲线 C： 2 2 2 䁠 表示圆，圆心为 C． i1. 求实数 m 的取值范围； i2. 若曲线 C 与直线 2 䁠 交于 M、N 两点，且 ൌ ൌ ，求实数 m 的值． 第 页，共 8 页 22.（14 分）如图所示，正方形 ABCD 与直角梯形 ADEF 所在平面互相垂直， ܥ 9䁠 ∘， aᦙᦙܥ ， ܥ ܥ 2a 2 ． i1. 求证： ൌ 平面 BDE； i2. 求证： ൌᦙᦙ 平面 BEF； i. 若 AC 与 BD 相交于点 O，，求四面体 BOEF 的体积． 第 ㌳ 页，共 8 页 高二数学答案 1. C 2. D 3. A 4. B 5. D 6. B 7. C 8. C 9. C 10. A 11. C 12. A 13. 14. 4cm 15. 16. ൌ ܥ 且 ൌ ܥ17. 证明： i1. 连接 OE， 是 AC 的中点，E 是 PC 的中点， ᦙᦙሻ ， 又 平面 BDE， ሻ 平面 BDE， ሻᦙᦙ 平面 BDE； i2. ሻ 底面 ABCD， ሻ ܥ ， 又 ൌ ܥ ，且 ൌ ሻ ， ܥ 平面 PAC， ܥ 平面 BDE， 平面 ሻൌ 平面 BDE． 18. 解： i1. 设与直线 l： 䁠 垂直的直线方程为 䁠 ， 把点 i 2k2. 代入，得： 8 ㌳ 䁠 ，解得 2 ， 过点 i 2k2. 且与直线 l 垂直的直线方程为： 2 䁠 ． i2. 设与直线 l 平行且距离为 2 的直线方程为 䁠 ， 则 91㌳ 2 ， 解得 1 或 2 ． 与直线 l 平行且距离为 2 的直线方程为 2 䁠 或 1 䁠 ． 19. i1. 因为正三棱柱 ൌ 11ൌ1 所以 ൌ1ൌ 平面 ABC ， 因为 ܥ 平面 ABC 所以 ൌ1ൌ ܥ ， 因为 ܥ ൌ1ܥ ， ൌ1ൌ ൌ1ܥ ൌ1 ， ൌ1ൌ 平面 ൌൌ11 ， ൌ1ܥ 平面 ൌൌ11 ， 所以 ܥ 平面 ൌൌ11 ， i2. 由 i1. 知 ܥ 平面 ൌൌ11 ， ൌ 平面 ൌൌ11 ， 所以 ܥ ൌ ， 因为正三棱柱 ൌ 11ൌ1 ， 所以 ൌ 为正三角形 ， 第 7 页，共 8 页 所以 ൌ 所以 ܥ ൌܥ ， 因为正三棱柱 ൌ 11ൌ1 ， 所以 ൌ 1ൌ1 ， ൌᦙᦙ1ൌ1 ， 因为 1 ൌ1 ， 所以 ܥ ൌ1 ， ܥᦙᦙൌ1 ， 所以四边形 ൌൌ1ൌ 是平行四边形， 所以 ᦙᦙܥൌ1 ， 因为 ܥൌ1 平面 ܥൌ1 ， 平面 ܥൌ1 ， 所以 ᦙᦙ 平面 ܥൌ1 ， 因为正三棱柱， 所以 1ᦙᦙ1 ， 1 1 ． ൌൌ1ᦙᦙ1 ， ൌൌ1 1. ， 因为 ܥ ൌܥk1 ൌ1 ， 所以 ܥᦙᦙ1kܥ 1 ， 所以 ܥᦙᦙ1kܥ 1 ， 所以四边形 1ܥ 是平行四边形 ， 所以 1ᦙᦙܥ ， 因为 1 平面 ܥൌ1 ， ܥ 平面 ܥൌ1 所以 1ᦙᦙ 平面 ܥൌ1 ， 因为 1 ， 所以平面 1ᦙᦙ 平面 ܥൌ1 ． 20. 解： i1. 圆心在直线 2 上， 故可设圆心 ൌiܽk2ܽ. ，半径为 r， 则圆 C 的标准方程为 i ܽ. 2 i 2ܽ. 2 2 ， 圆 C 经过 ik2. 、 i1k㌳. ， i ܽ. 2 i2 2ܽ. 2 2 i1 ܽ. 2 i㌳ 2ܽ. 2 2 ， 解得 ܽ 2 ， ， 圆 C 的标准方程为 i 2. 2 i . 2 i2. 由 i Ⅰ . 知，圆 C 的圆心为 ൌi2k. ，半径 ， 直线 l 经过点 ሻi 1k. ， 若直线斜率不存在， 则直线 l： 1 ． 圆心 ൌi2k. 到直线 l 的距离为： ሻ ，故直线与圆相交，不符合题意， 若直线斜率存在，设斜率为 k， 则直线 l： i 1. ， 即 䁠 ， 圆心 ൌi2k. 到直线 l 的距离为： 2 12 1 12 ， 直线与圆相切， ，即 1 12 ， i 1. 2 2 ， 解得 2 或 1 2 ， 直线 l 的方程为 2 䁠 或 2 䁠 ． 第 8 页，共 8 页 21. 解： i1. 由 ܥ 2 2 a 1㌳ 2䁠 䁠 ，得 ሻ ． i2. 由题可知 ൌ 的圆心为 ൌi1k2. ，半径 C 到直线 2 䁠 的距离 ൌ ൌ 2即 1䁠 ，解得 2 ，满足 ሻ ， 故 2 ． 22. 解： i1. 面 ൌܥ 面 ܥa ܥ 面 ൌܥ ܥ ൌ ， ൌ ܥ ൌ ܥ ൌ 面 BDE i2. 取 EB 中点 G ，连 FG ， ൌᦙᦙa쳌 ൌᦙᦙ 面 EFB． i. 平面 ൌܥ 平面 ADEF， ܥ ， 平面 ܥa. 因为 aᦙᦙܥ ， ܥ 9䁠 ， ܥ ܥ 2a 2 ， ܥa 的面积为 ܥa 1 2 ܥ ܥ 2 ， 四面体 BDEF 的体积 1 ܥa 又因为 O 是 BD 中点，所以 a 1 2 a 2 a 2 .