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高二上学期数学第三周周测试卷
考试范围：数列、等差数列、等差数列的前 n 项和、等比数列
考试时间：60 分钟
一、单选题（每小题 10 分，5 小题，共 50 分）
1．已知 a，b，c 成等差数列，那么二次函数 y＝ax2＋2bx＋c 的图像与 x 轴交点的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．1 或 2
2．若数列 na 是公差为 1 的等差数列，则数列 2 1 22n na a 是（ ）
A．公差为 3 的等差数列 B．公差为 4 的等差数列
C．公差为 6 的等差数列 D．公差为 9 的等差数列
3．已知等差数列前 n 项的和为 Sn，若 S13＜0，S12＞0，则在数列中绝对值最小的项为( )
A．第 5 项 B．第 6 项
C．第 7 项 D．第 8 项
4．等比数列{an}中，a1•a2•a3＝﹣26，a17•a18•a19＝﹣254，则 a9•a10•a11 的值为（ ）
A．﹣210 B．±210 C．﹣230 D．±230
5．等比数列{an}，a1＝33，q＝
1
2 ，设前 n 项的积 Tn＝ 1 2 3 na a a a ，则当 n＝_____
时，Tn 取得最大值. （ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
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二、填空题（每小题 10 分，3 小题，共 30 分）
6．等差数列{ }na （公差不为 0），其中 1a ， 2a ， 6a 成等比数列，则这个等比数列的公比为
_____.
7．在正项等比数列 na 中， 1010
1
10a ，则 1 2 3 2019lg lg lg lga a a a _______.
8．已知数列 na 的首项 1 1a ， 12 3 2n na a n ，那么 na ___________.
三、解答题（每小题 35 分，2 小题，共 70 分）
9．设数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)设 bn＝an＋1－2an，证明数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
10．设 na 是公比大于 1 的等比数列，已知 1 2 3 7a a a ，且 1 3a ， 23a ， 3 4a 构成
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等差数列.
（1）求数列 na 的通项；
（2）令 2 3 1logn nb a ， 1,2,3, ,n 求数列 nb 的前 n 项和 nT .
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参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据等差数列中项得 2b=a+c，代入二次函数对应的判别式进行整理，判断出△的符号，再
得到函数图象与 x 轴交点的个数．
【详解】
∵a，b，c 成等差数列，∴2b=a+c，
∴△=4b2﹣4ac=（a+c）2﹣4ac=（a﹣c）2≥0，
∴二次函数 y=ax2+2bx+c 的图象与 x 轴的交点的个数为 1 或 2 个，
故选：D．
【点睛】
本题利用等差中项的性质得到的结论，对二次函数对应的判别式进行整理并判断符号．
2．C
【解析】
【分析】
构造新数列 2 1 22n n nc a a ，求出相邻两项的差，利用等差数列的定义，即可得到结论．
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【详解】
设{ }na 的公差为 d ，则 1d ，
设 2 1 22n n nc a a ，则 1 2 1 2 22n n nc a a ，
1 2 1 2 2 2 1 22 2 6 6n n n n n nc c a a a a d ，
故选：C ．
【点睛】
本题重点考查等差关系的确定，考查等差数列的定义，直接利用等差数列的定义判断是关键．
3．C
【解析】 S13＜0，
S12＞0
⇒ a1＋a13＜0，
a1＋a12＞0
⇒ a7＋a7＜0，
a6＋a7＞0
⇒ a7＜0，
a6＞0，
∴绝对值最小的项为第 7 项．
【答案】 C
4．C
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质，即可直接得到结果.
【详解】
因为数列 na 是等比数列，
故可得 a1•a2•a3，a9•a10•a11，a17•a18•a19 也构成等比数列，
故 2 6 54 60
9 10 11 2 2 2a a a ，
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故可得 a9•a10•a11 302 ，
又，a1•a2•a3＝﹣26，即可得 3
2 0a ，故可得 2 0a ，同理 18 0a ，
则 10 0a ，也即 a9•a10•a11 3
10 0a ，
故可得 a9•a10•a11 302
故选：C .
【点睛】
本题考查等比数列的性质，属基础题；注意等比中项正负的选择即可.
5．A
【解析】
【分析】
利用等比数列的通项公式代入即可求解.
【详解】
由{an}是等比数列，a1＝33，q＝ 1
2
，
所以
1
1
1
133 2
n
n
na a q
，且数列为递减数列，
由 6
33 132a ， 7
33 164a ，
所以前 n 项的积 Tn＝ 1 2 3 na a a a ，
当 6n 时，Tn 取得最大值.
故选：A.
【点睛】
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本题考查了等比数列的通项公式，考查了基本运算，需熟记公式，属于基础题.
6．4
【解析】
【分析】
根据等差数列关系，用首项和公差表示出 2
2 1 6a a a ，解出首项和公差的关系，即可得解.
【详解】
设等差数列{ }na 的公差为 d ，
由题意得: 2
2 1 6a a a ，则 2
1 1 1( + ) ( 5 )a d a a d 整理得 13d a ， 2 1 14a a d a ，所以
2
1
=4a
a
故答案为：4
【点睛】
此题考查等差数列基本量的计算，涉及等比中项，考查基本计算能力.
7． 2019
【解析】
【分析】
由正项等比数列的 na 的性质以及等比中项公式可得:
2
1 2019 2 2018 1009 1011 1010a a a a a a a ,再利用对数的运算性质及可得出答案.
【详解】
由正项等比数列的 na 的性质以及等比中项公式可得:
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2
1 2019 2 2018 3 2017 1009 1011 1010
1
100a a a a a a a a a ,
则: 2019
1 2 3 2019 1 2 3 2018 2019 1010lg lg lg lg lg lga a a a a a a a a a
2019lg10 2019 .
故答案为:-2019.
【点睛】
本题考查了等比数列的性质以及等比中项的应用,考查了对数的运算性质,考查了学生的运算
能力,属于基础题.
8．3 2n
【解析】
【分析】
由递推式变形为 13 2( 3)n na a ，同时计算 1 3 0a ，构造一个新的的等比数列，利
用等比数列通项公式求得 na ．
【详解】
∵ 12 3 2n na a n ，∴ 13 2( 3)n na a ，又 1 3 2 0a ，所以
1
3 23
n
n
a
a
，
即{ 3}na 是等比数列，公比为 2，
∴ 13 2 2 2n n
na ，∴ 3 2n
na ，
故答案为：3 2n ．
【点睛】
本题考查由递推式求数列的通项公式，解题关键是构造出一个等比数列．
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9．an＝(3n－1)·2n－2；
【解析】
(1)由 a1＝1，及 Sn＋1＝4an＋2，
有 a1＋a2＝4a1＋2，a2＝3a1＋2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3，
由 Sn＋1＝4an＋2，①
则当 n≥2 时，有 Sn＝4an－1＋2，②
由①－②得 an＋1＝4an－4an－1，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)．
又∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1，∴{bn}是首项 b1＝3，公比为 2 的等比数列．
(2)由(1)可得 bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，∴an＋1
2n＋1
－an
2n
＝3
4
，
∴数列{an
2n}是首项为1
2
，公差为3
4
的等差数列．
∴an
2n
＝1
2
＋3
4(n－1)＝3
4n－1
4
，故 an＝(3n－1)·2n－2.
10．（1） 12n
na -= （2） 3 (1 )
2n
n nT
【解析】
【分析】
（1）根据题意，列出两个基本方程，解出 1,a q 即可求解；
（2）由（1）知 3
2log 2 3n
nb n ，再根据通项公式求和即可
【详解】
解：（1）由已知得
1 2 3
1 3
2
7
3 4 32
a a a
a a a
，解得 2 2a
设数列 na 的公比为 q，
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由 2 2a 可得 1
2a q
， 3 2a q ， 3 7S ，可知 2 2 2 7qq
即 22 5 2 0q q
解得 1 2q ， 2
1
2q ，由题意得 1q ，∴ 2q = ，∴ 1 1a
故数列 na 的通项为 12n
na -=
（2）由于 2 3 1logn nb a ，由（1）得 3
3 1 2 n
na ，
∴ 3
2log 2 3n
nb n
∵ 1 3n nb b ，∴ nb 是等差数列
∴ 1
1 2
3 (1 )
2 2
n
n n
b b n n nT b b b
【点睛】
本题考查等比数列与等差数列的综合应用，等比通项的求解，等差数列前 n 项和公式的求解，
属于基础题型
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