安徽省亳州市第三十二中学2020-2021学年高二上学期第九周周测数学试题 Word版含答案

试卷第 1页，总 2页 数学第九次周测试卷 内容：一元二次不等式、基本不等式 一、单选题（50 分） 1．不等式  1 0x x   的解集是（ ） A．   ,0 1,   B． 0,1 C． ,0 D．  1, 2．关于 x 的不等式 2 1 0x mx   的解集为 R ，则实数 m 的取值范围是（ ） A． 0,4 B．   , 2 2,   C． 2 2 , D． 2,2 3．已知 , 0a b  ，下列不等式一定成立的是( ) A． 2 2 2 2 a b a bab   B． 2 2 2 2 a b a b ab   C． 2 2 2 2 a b a bab    D． 2 2 2 2 a b a bab    4．已知 0x  ，则 16y x x   的最小值为（ ） A．4 B．16 C．8 D．10 5．已知关于 x 的不等式 2 0x ax b   的解集是 ( 2,3) ，则 a b的值是（ ） A． 7 B． 7 C．11 D． 11 二、填空题（30 分） 6．已知 㤵 㘠 ，则 香㘠 的最小值为______． 7．不等式 2 1 01 x x   的解集为__________. 8．若 1 20, 0 2 1x y x y x y 且 ，则     的最小值为_______________； 试卷第 2页，总 2页 三、解答题（40 分） 9．当  13x ， 时，一元二次不等式 2 2 8 0x x a    恒成立，求实数 a 的取值范围. 10．已知 a，b，c 是全不相等的正实数，求证 （选做题）11．已知 a 、b 、 c R ， （1）求证：  1 1 4a b a b       ； （2）求证：  1 1 1 9a b c a b c         ； （3）由（1）、（2），将命题推广到一般情形（不作证明）． 参考答案 1．A 【解析】 【分析】 利用二次不等式的解法解原不等式即可. 【详解】 解二次不等式  1 0x x   ，得 0x  或 1x  ， 因此，不等式  1 0x x   的解集   ,0 1,   . 故选：A. 【点睛】 本题考查一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题. 2．D 【解析】 【分析】 根据题意可得出    ，由此可解得实数 m 的取值范围. 【详解】 不等式 2 1 0x mx   的解集为 R ，所以    ，即 2 4 0m   ，解得 2 2m   . 因此，实数 m 的取值范围是  2,2 . 故选：D. 【点睛】 本题考查利用一元二次不等式恒成立求参数，考查计算能力，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】 由基本不等式得 2 a b ab  ，由 2 2 2 2 2 a b a b      即可判断三个数的大小关系。 【详解】  2 a b ab  ，又 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 4 4 2 a b a ab b a a b b a b             ，  2 2 2 2 a b a bab    故选：D 【点睛】 本题主要考查了基本不等式及等价转化思想，属于基础题。 4．C 【解析】 【分析】 利用基本不等式直接求得结果. 【详解】 16 162 8y x xx x      （当且仅当 16x x  ，即 4x  时取等号） 本题正确选项：C 【点睛】 本题考查基本不等式求解和的最小值，属于基础题. 5．A 【解析】 【分析】 先利用韦达定理得到关于 a,b 的方程组，解方程组即得 a,b 的值，即得解. 【详解】 由题得 2 3 , 1, 6( 2) 3 a a bb           ， 所以 a+b=7. 故选 A 【点睛】 本题主要考查一元二次不等式的解集，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能 力. 6．7 【解析】 【分析】 根据题意，原不等式变形可得 香㘠 ㈍ 香㘠 ሺ 香 㘠െ 㘠 ，结合基本不等式的性质分析可得 答案． 【详解】 根据题意，当 㤵 㘠 时， 香㘠 ㈍ 香㘠 ሺ 香 㘠െ 㘠 香㘠 ሺ 香 㘠െ 㘠 ㈍ ൭ ， 当且仅当 ㈍ 仅 时等号成立， 即 香㘠 的最小值为 7； 故答案为：7． 【点睛】 本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式的形式，属于基础题． 7． 1| 12x x      【解析】 【分析】 把分式不等式等价转化为二次不等式，然后根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】 不等式 2 1 01 x x   等价于   2 1 1 0x x   ， 解得 1 12 x   ， 故答案为： 1| 12x x      . 【点睛】 本题主要考查了分式不等式的求解，考查了一元二次不等式的求解，考查转化思想的应用， 属于基础试题. 8．9 【解析】 因为 2 1x y  ，所以  1 2 2 2 2 22 1 4 5 2 9y x y xx yx y x y x y              . 当且仅当 2 2y x x y  时，即 1  3x y  时， 1 2 x y  的最小值为 9. 点睛：本题主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三 相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须 有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值. 9． 5a  【解析】 【分析】 结合二次函数的图象列式 1 2 8 0 9 6 8 0 a a          解得结果即可. 【详解】 对于二次函数 2 2 8y x x a    ，抛物线开口向上，当  13x ， 时，一元二次不等式 2 2 8 0x x a    恒成立，则当 1x  时函数值 0y  ，且当 3x  时函数值 0y  . 得 1 2 8 0 9 6 8 0 a a          ，解得 5a  . 所以 a 的取值范围是 5a  . 【点睛】 本题考查了一元二次不等式恒成立问题，属于基础题. 10．利用均值不等式b a + a b > 2£¬ c a + a c > 2£¬ c b + b c > 2 来分析证明即可。 【解析】 证明：（综合法） ∵a，b，c 全不相等 ∴ 与 ， 与 ， 与 全不相等． ∴b a + a b > 2£¬ c a + a c > 2£¬ c b + b c > 2 三式相加得b a + c a + c b + a b + a c + b c > 6 11．（1）详见解析； （2）详见解析； （3）   2 1 2 1 2 1 1 1 *n n a a a n na a a            N . 【解析】 【分析】 （1）对不等式  1 1,a b a b      分别使用基本不等式即可证明出  1 1 4a b a b       ； （2）对不等式  1 1 1,a b c a b c        分别使用基本不等式即可证明出   1 1 1 9a b c a b c         ； （3）根据（1）（2）不等式的结构特征直接写出一般推广结论. 【详解】 （1）  1 1 12 2 4a b aba b ab         （当且仅当 a b =1 时取等号）； （2）  3 3 1 1 1 13 3 9a b c abca b c abc            （当且仅当 1a b c   时取等号）； （3）推广：已知 1a ， 2a ，…， na R 则    2 1 2 1 2 1 1 1 *n n a a a n na a a            N （当且仅当 1 2 1na a a    时取 等号）； 【点睛】 本题考查了基本不等式的应用与推广，考查了类比推理的能力.