中考数学总复习15二次函数的综合性问题优质

第一部分 夯实基础　提分多 第三单元 函数 第15课时 二次函数的综合性问题 例1　如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与 直线AB相交于A(－3，0)，B(0，3)两点，与 x轴的另一个交点为C.抛物线对称轴为直线l， 顶点为D，对称轴与x轴的交点为E. (1)求直线AB的解析式及点D、点C的坐标； 重难点精讲优练 例1题图① 【思维教练】要求直线AB的解析式，可先设其一般式， 将A、B点坐标代入即可求得；再分别代入y＝－x2＋bx＋ c求出待定系数，将解析式转化为顶点式即可求得点D坐 标，令y＝0，解关于x的方程即可求出函数图象与x轴交 点的横坐标． 解：(1)设直线AB的解析式为y＝kx＋d(k≠0)， 将A(－3，0)、B(0，3)两点分别代入直线解析式，得 -3k+d=0 k=1 d=3 ， d=3 ， ∴直线AB的解析式为y＝x＋3， 将A(－3，0)，B(0，3)两点分别代入抛物线的解析式，得 解得 -9-3b+c=0 b=-2 c=3 ， c=3 ， ∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3， 化为顶点式得y＝－(x＋1)2＋4 ， ∴抛物线顶点D的坐标为(－1，4)， 令y＝0，得－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1， ∴点C的坐标为(1，0)； 解得 (2)已知M是y轴上一点，连接AM、DM，若 AM＝DM，且AM⊥DM，求点M的坐标； 例1题图② 【思维教练】由于点M是y轴上的坐标，则yM＝ OM，又由于AM⊥DM，可过D作y轴垂线DE， △AOM和△MED构成“一线三等角”的全等三 角形，即可得到OM长度，从而得到点M的坐 标． 解：如解图①，过点D作DE⊥y轴交于点E， ∵AM⊥DM，∴∠AMO＋∠DME＝90°， ∵∠MAO＋∠AMO＝90°，∴∠MAO＝∠DME， ∵AM＝MD，∠AOM＝∠DEM＝90°， ∴Rt△AMO≌ Rt△MDE(AAS)， ∴MO＝DE＝1， ∴点M的坐标为(0，1)； 例1题解图① (3)求△ABC的面积及四边形AOBD的面积； 【思维教练】要求△ABC的面积，可以以 AC为底，BO为高来计算；对于求不规则图 形的面积，常将所求图形分割成几个可以直 接利用面积公式计算的规则图形，通过规则 图形的面积和或差计算求解．如本题中求四 边形AOBD的面积，因其形状不规则 例1题图③ 故可将其分割为Rt△ADE与直角梯形OBDE，分别求出其 面积再相加，即可得到四边形AOBD的面积． 解：∵点A(－3，0)，点B(0，3)，点C(1，0)， ∴AO＝3，OC＝1，OB＝3，∴AC＝4， ∵BO⊥AC， ∴S△ABC＝ AC·BO＝ ×4×3＝6； 连接AD、DB，如解图②，∵点D(－1， 4)，DE⊥x轴 1 2 1 2 于点E， ∴点E(－1，0)，AE＝2，OE＝1，DE＝4， ∴S四边形AOBD＝S△ADE＋S梯形OBDE＝ AE·DE＋ (BO＋DE)·OE＝ ×2×4＋ ×(3＋4)×1＝ ； 例1题解图②1 2 1 2 1 2 1 2 15 2 例1题图④ (4)在x轴上方的抛物线上是否存在一点G，使得 S△ACG＝2，若存在，求点G的坐标；若不存在， 说明理由； 【思维教练】观察图形可知△ACG的面积为 AC·yG，过点G作GG′⊥x轴交于点G′，设点G的 横坐标为g，以AC为底，GG′为高即可得到 S△ACG关于g的函数解析式，再令用g表示的 S△ACG为2，求解即可． 解：假设存在点G，使得S△ACG＝2. 连接AG，GC，如解图③， ∵点G在x轴上 方的抛物线上，过点G作GG′⊥x轴交于点 G′，设点G的坐标为(g，－g2－2g＋3)， 则－g2－2g＋3>0， 例1题解图③ ∵S△ACG＝ AC·GG＝ ×4×(－g2－2g＋3)， ∴ ×4×(－g2－2g＋3)＝2，解得g1＝－1 ＋ ，g2 ＝－1－ ，满足题意的点G有两个，坐标为( －1＋ ，1)，(－1－ ，1)； 1 2 1 2 1 2 3 3 33 例1题图⑤ (5)在x轴上是否存在一点P，使得PB＋PD的值 最小，若存在，求出点P的坐标；若不存在， 请说明理由； 【思维教练】作D关于x轴的对称点D′，连接 BD′，则BD′与x轴交点即为P点． 解：(5)存在．理由如下：如解图④，作点D 关于x轴的对称点D′，∴D′(－1，－4)，连接 BD′交x轴于点P，此时PB＋PD的值最小，为 BD′的长． 例1题解图④ 设直线BD′解析式为y＝kx＋b(k≠0)，则 ， 解得 ∴直线BD′解析式为y＝7x＋3， 当y＝0时，x＝－ ， ∴点P的坐标为(－ ，0)； -k b -4＋＝ b 3＝ b 3＝ k＝7 3 7 3 7 例1题图⑥ (6)已知点P是第二象限内抛物线上一动点，设 点P的横坐标为p，△ABP的面积为S，求S关 于p的函数解析式；当p为何值时，S有最大值， 最大值是多少？ 【思维教练】要求△ABP的面积，可构造平行 于y轴的边，即过点P作PP′∥y轴交直线AB于 点P′，则PP′将△ABP分成△APP′ 和△BPP′两部分，据此求出△ABP的面积， 结合二次函数性质求出其最大值即可． 解：(6)如解图⑤，∵点P在抛物线上，∴点 P的坐标为(p，－p 2 －2p＋3)，过点P作 PP′∥y轴交直线AB于点P′， 则P′(p，p＋3)，则PP′＝(－p2－2p＋3)－(p ＋3)＝－p2－3p， 例1题解图⑤ ∴S△ABP＝ OA·PP′＝ ×3×(－p2－3p)＝－ p2－ p， 即S＝－ p2－ p＝－ (p＋ )2＋ ， ∵点P在第二象限的抛物线上， ∴－3< p