中考数学总复习8一元二次方程及其应用优质

第一部分 夯实基础　提分多 第二单元 方程（组）与不等式（组） 第8课时　一元二次方程及其应用 基础点 1 一元二次方程及其解法 基础点巧练妙记 1．一般形式 2. 一元二次方程必须具备三个条件： (1)必须是①______方程； (2)必须只含有②________未知数； (3)所含未知数的最高次数是③________． 整式 1个 2 【温馨提示】一元二次方程的一般形式中要注意a≠0.当a ＝0时，不含有二次项，即不是一元二次方程． 3.一元二次方程的解法 (1)公式法：适用于所有一元二次方程． 需满足两个条件：a.先将方程化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 的形式；b.b2－4ac≥0，求根公式：x＝④____________． 2b b 4ac 2a    (2)直接开平方法：适用于x2－c＝0(c＞0)和(x＋a)2＝ b(b≥0)的形式． (3)因式分解法：适用于方程的右边化为0后，方程的左 边可以提出含有x的公因式． (4)配方法：适用于x2＋px＋q＝0的形式，其中x2＋px＋q 不能进行因式分解，配方后直接开平方进行求解． 步骤：将二次项系数化为1；移项，使方程左边只含有 二次项和一次项，右边为0；方程两边同时加上一次项系 数一半的平方；化为完全平方式的形式． 练提 分 必 1．方程(x＋3)2＝4的解是(　　) A．x1＝－1，x2＝5　　　　B．x1＝1，x2＝－5 C．x1＝－1，x2＝－5 D．x1＝1，x2＝5 C 练提 分 必 2．方程x2－4x－12＝0的两个根为(　　) A．x1＝－2，x2＝6 B．x1＝－6，x2＝2 C．x1＝－3，x2＝4 D．x1＝－4，x2＝3 3．解方程：5x2－3x＝x＋1. x1＝ ，x2＝11- 5 A 4失 分 点 解一元二次方程“丢根” 解方程：x(x－1)＝2(x－1)2. 【自主解答】           解：x(x－1)＝2(x－1)2， 去括号，得x2－x＝2x2－4x＋2， 移项、合并同类项，得x2－3x＋2＝0， 系数化为1，得(x－1)(x－2)＝0， 解得x1＝1，x2＝2. 【名师点拨】对于左右两边含有相同因式的一元二次方程， 应将方程化为一般式后再求解(或将方程变为等号一边为0， 另一边含未知数的式子，利用因式分解法求解)，切勿直 接约去公因式而丢根． 4失 分 点           基础点 2 1．根的判别式 (1)b2－4ac⑤______0⇔方程有两个不相等的实数根； (2)b2－4ac＝0⇔方程有⑥_________的实数根； (3)b2－4ac⑦______0⇔方程无实数根． > 两个相等 < 一元二次方程根的判别式及根与系数关系 4．一元二次方程x2－4x＋4＝0的根的情况是 __________________． 5．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有解，则a的取值范围是 __________． 练提 分 必 有两个相等的实数根 a≤1且a≠0 【温馨提示】根的判别式的两个作用： (1)不解方程，直接判断一元二次方程根的情况； (2)根据方程根的情况，确定某个未知系数的值(或范围)． 2．根与系数的关系 若x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根， 则x1＋x2＝ ，x1·x2＝ . 应用：常用根与系数关系解决以下问题： ①已知方程及方程一个根，求另一个根及未知数； ②不解方程，求关于根的式子的值，如求x1＋x2，x1·x2； ③由给出的两根满足的条件，确定字母的取值范围． a b  c a 【温馨提示】利用根与系数的关系解题的前提是方程的两 根存在，即注意根的判别式b2－4ac≥0. 6．已知x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两根，则 ________． 7．若关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－1，则另一 个根为________． 练提 分 必 1 2 1 1 x x   －2 －2 基础点 3 一元二次方程根的实际应用 增长率问题：设基数为a，平均增长率为x，则一次增长 后的值为⑧________，二次增长后的值为⑨________； 下降率问题：若基数为a，平均下降率为x，则一次降低 后的值为⑩________，二次降低后的值为⑪________． a(1＋x) a(1＋x)2 a(1-x) a(1-x)2 8. 政府近几年大力降低药品价格，希望使广大人民群众看 得起病吃得起药．某种针剂的单价由100元经过两次降价， 降至64元，设平均每次下降的百分率为x，则可列方程为 _______________． 9. 某商厦二月份的销售额为100万元，三月份的销售额下降 了20%，该商厦赶快改进经营措施，销售额开始稳步上升， 五月份销售额达到了135.2万元，设四、五月份的 练提 分 必 100(1－x)2＝64 重难点精讲优练 类型 1 一元二次方程根的判别式 例1 已知关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2mx＋m＋3＝ 0，当方程满足以下条件时，分别求出m的取值范围． (1)方程有两个相等的实数根； (2)方程有两个不相等的实数根； (3)方程无实数根． 平均增长率为x，则可列方程为 ________________________． 10. 某超市1月份的营业额为200万元，第一季度营业额为 1000万元，若平均每月增长率相同，求该平均增长率． 练提 分 必 100(1－20%)(1＋x)2＝135.2 平均增长率为56%. 且m－2≠0， 解得m＝6； (2)∵方程有两个不相等的实数根， ∴b2－4ac＝(2m)2－4(m－2)(m＋3)＝－4m＋24＞0， 且m－2≠0， 解得m＜6且m≠2； (3)∵方程无实数根，∴b2－4ac＝(2m)2－4(m－2)(m＋3) ＝－4m＋24＜0，且m－2≠0，解得m＞6. 练习1 已知关于x的方程kx2＋(2k＋1)x＋(k－1)＝0有实 数根，则k的取值范围为(　　) A. k≥－ B. k＞－ C. k≥－ 且k≠0 D. k＜－ 1 8 1 8 1 8 1 8 【解析】当k≠0时，方程为一元二次方程，∵方程有实数 根，∴b2－4ac＝(2k＋1)2－4k(k－1)＝8k＋1≥0，且k≠0 ，解得k≥－ 且k≠0，当k＝0时，方程为x－1＝0， 解得x＝1，满足题意，综上，k≥－ . 1 8 1 8 类型 2 一元二次方程根与系数的关系 例2 已知一元二次方程2x2－x－2＝0的两根是x1，x2， 求下列代数式的值． (1) ；(2) ；(3)(x1－x2)2； (4)(x1＋1)(x2＋1)；(5)|x1－x2|；(6)x2＋ ； (7) ；(8) . 2 2 1 2x x 1 2 1 1 x x  1 1 x 2 1 1 1 x x  2 1 1 2 x x x x  解：(1)∵方程有两个实数根x1，x2， ∴x1＋x2＝ ，x1x2＝－1，1 2 ∴原式＝(x1＋x2)2－2x1x2＝ ＋2＝ ； (2)原式＝ ＝ ； (3)原式＝ －2x1x2＋ ＝(x1＋x2)2－4x1x2＝ ； (4)原式＝x1＋x2＋x1x2＋1＝ ＋(－1)＋1＝ ； (5)原式 1 4 9 4 1 2 1 2 x +x x x 1 2  2 1x 2 2x 17 41 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 2= x x = x x 4x x 17= ;2   （ ） （ ） (6)原式 (7)原式 (8)原式 1 2 1 1 x x 1 1 1= = =0;x x    2 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 x -x x +x 4x xx -x= = =x x x x x x 17= ;2     （ ） （ ） 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x x +x 2x x 9= + = =-x x x x x x 4 （ ） 练习2　设x1、x2是方程x2－4x＋m＝0的两个根，且x1＋ x2－x1x2＝1，则x1＋x2＝________，m＝________．4 3 变式拓展　已知关于x的两个方程①ax2＋bx＋c＝0与 ②ax2＋(b－a)x＋c－b＝0，其系数都满足a＞b＞c，方程 ①有两个异号实数根． (1)证明：方程②一定有两个不相等的实数根； (2)若1是方程①的一个根，方程②的两个根分别为x1、 x2，令k＝ ，问：是否存在实数k，使 ＝9？ 如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由． c a 2 2 1 2 1 2x x x x （1）证明：方程②中，Δ＝(b－a)2－4a(c－b)＝(a＋b)2 －4ac ∵方程①有两个异号实数根， ∴a≠0，且 ＜0， ∴ac＜0， c a ∴Δ＝(a＋b)2－4ac＞0， ∴方程②一定有两个不相等的实数根； (2)解：∵x1、x2是方程②的两个根，∴x1＋x2 ＝ ，x1x2＝ ， ∵1是方程①的一个根， ∴a＋b＋c＝0， ∴－b＝a＋c， b-a a-b=a a  c-b a ∴a≠0，k＝ ＜0， ∴k＝ . ∴ ＝(1＋2k)(2＋k)＝2k2＋5k＋2＝9， 化简得 2k2＋5k－7＝0，解得k1＝ ，k2＝1， ∵方程①有两个异号实数根， b-a a-b=a a  c-b a 2 2 1 2 1 2x x x x 2 c-b a-b c+a a+c=a a a  （2 ）（2 ） c a7 2  一元二次方程中利用根与系数的关系求代数式的值常用到 以下几个关系式： 导方 法 指 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 x x = x x 2x x x x1 1 =x x x x    （1） （ + ） +（2） 导方 法 指 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 x x 2 x x1 1 =x x x x x x x x 2 x x=x x x x |x x |= x x 4 x x     （ + ） （ ） （ + ） （ + ） （ 3 ） （ 4 ） （ 5 ）