中考数学总复习23矩形、菱形、正方形优质

第一部分 夯实基础　提分多 第五单元 四边形 第23课时　矩形、菱形、正方形 1．性质 基础点 1 矩形的性质与判定 性质 字母表示 边 两组对边分别 平行 AB//CD AD//①_______BC 基础点巧练妙记 性质 字母表示 两组对边分别 相等 AB=CD ; AD=BC 性质 字母表示 角 四个角都是直角 ∠ABC=∠BCD= ∠ABC=∠BCD=90° 对角线 对角线 ②__________ AC=BD; OA=OB=OC=OD互相平分且相等 性质 字母表示 对称性 既是中心对称图形又是轴对称图形，有 两条对称轴 面积 S=③______ab 2.判定 (1)有一个角是直角的平行四边形是矩形； (2)有三个角都是直角的四边形是矩形； (3)对角线相等的平行四边形是矩形． 练提 分 必 1．下列关于矩形的说法，正确的是(　　) A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分 D 练提 分 必 2．如图，AB∥CD，∠A＝ ∠B＝90°，AB＝3cm，BC ＝2cm，则AB与CD之间的 距离为________cm. 第2题图2 1．性质 基础点 2 菱形的性质与判定 性质 字母表示 边 四边形④_______ AB=BC=CD=DA 对边平行 AB//CD;AD//BC 相等 性质 字母表示 角 对角相等 ∠DAB=∠BCD; ∠ABC=∠ADC 对角线 对角线互相垂 直且⑤______ AC⊥⑥_____； AO=OC,DO=OB 对角线平分一 组对角 AC平分∠DAB与∠BCD;BD 平分∠ABC与∠ADC 平分 BD 性质 字母表示 对称性 既是中心对称图形又是轴对称图形，有 两条对称轴 面积 S=⑦______（m、n分别表示两条对角线 的长） 2.判定 (1)有一组邻边相等的平行四边形是菱形； (2)四条边都相等的平行四边形是菱形； (3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 练提 分 必 3．下列四边形中不一定为菱形的是(　　) A. 对角线相等的平行四边形 B. 每条对角线平分一组对角的四边形 C. 对角线互相垂直的平行四边形 D. 用两个全等的等边三角形拼成的四边形 A 练提 分 必 4．如图，在菱形ABCD中， AB＝3，∠ACB＝60°，则 对角线AC的长为(　　) A．12　　　　B．9 C．6　　 　 　D．3 第4题图 D 练提 分 必 5．如图，矩形ABCD的对角 线AC，BD相交于点O， CE∥BD，DE∥AC，若AC ＝4，则四边形CODE的周长 是________． 第5题图8 练提 分 必 6．一个平行四边形的一条边长为5，两条对角线的长 分别为6和8，则它的面积为________．24 1．性质 基础点 3 正方形的性质与判定 性质 字母表示 边 四边形都⑧_____ AB=BC=CD=AD 对边平行 AB//CD;AD//BC 相等 性质 字母表示 角 四个角都是直角 ∠ABC=∠ADC= ∠BCD=∠BAD=90° 对角线 互相⑨_______ 且相等 AC⊥BD,OA=OB=OC=OD 平分一组对角 AC平分∠DAB与 ∠BCD;BD平分∠ABC与 ∠ADC 垂直平分 性质 字母表示 对称性 既是中心对称图形又是轴对称图形，有4 条对称轴 面积 S=a²（a表示正方形边长） 2.判定 (1)有一个角是直角的菱形是正方形； (2)有一组邻边相等的矩形是正方形； (3)对角线相等且互相垂直平分的平行四边形是正方形； (4)四条边都相等且四个角都是直角的四边形是正方形． 练提 分 必 7．如图，正方形ABCD的边长为8，在 各边上依次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5， 则四边形EFGH的面积是(　　) A．30　　　　　B．34 C．36　　　　　D．40 第7题图 B 基础点 4 特殊四边形的关系(掌握) 直角 相等 相等 直角 基础点 5 命题 命题：判断一件事情的语句，叫做命题．命题分为题设和 结论两部分． 真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题 叫做真命题． 假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样 的命题叫做假命题． 互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是另一 个命题的结论，而第一个命题的结论是另一个命题的题设， 那么这两个命题叫做互逆命题． 例1　如图，在▱ ABCD中，∠BAD的平 分线交CD于点E，交BC的延长线于点F， 连接BE，∠F＝45°. (1)求证：四边形ABCD是矩形； 重难点精讲优练 类型 1 矩形的相关证明与计算 例1题图 【思维教练】要证四边形ABCD是矩形， 根据已知条件▱ ABCD的性质推出∠F ＝∠DAE，由AF是∠BAD的平分线易 得∠DAB＝90°，结合矩形的判定方法， 从而得证； 例1题图 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠DAE＝∠F， ∵∠F＝45°，∴∠DAE＝45°， ∵AF是∠BAD的平分线， ∴∠EAB＝∠DAE＝45°，∴∠DAB＝90°， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形； 例1题图 (2)若AB＝14，DE＝8，求sin∠AEB的值． 例1题图 解：如解图，过点B作BH⊥AE于点H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC，∠DCB＝∠D＝90°， ∵AB＝14，DE＝8，∴CE＝6， 在Rt△ADE中，∠DAE＝45°， ∴∠DEA＝∠DAE＝45°， ∴AD＝DE＝8，∴BC＝8， 例1题解图 例1题解图 练习1　(2017咸宁)如图，点O是矩形纸 片ABCD的对称中心，E是BC上一点， 将纸片沿AE折叠后，点B恰好与点O重 合，若BE＝3，则折痕AE的长为 ________． 练习1题图 6 【解析】由折叠可知，∠BAE＝∠OAE，∠EOA ＝∠B＝90°，∵O是矩形ABCD的对称中心， ∴OA＝OC，∴EO是AC的垂直平分线，易证 ∠ECO＝∠EAO，在三角形ABC中，可利用三角 形内角和为180°，求得∠BAE＝30°， 练习1题图 在直角三角形ABE中，∠B＝90°，∠BAE＝30°，由30° 所对的直角边是斜边的一半，可得到AE＝6. 导方 法 指 1．矩形判定的一般思路： （1）一个内角为90° （2）对角线相等 四边形+有三个内角是直角 平行四边形+ 练提 分 必 2．应用矩形性质计算的一般思路：(1)根据矩形的四 个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个直角三角 形，可用勾股定理或解直角三角形求线段的长； (2)又根据矩形对角形相等且互相平分，故可借助对角 线的关系得到全等三角形； 练提 分 必 (3)矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，在 矩形性质相关的计算和证明中要注意这个结论的运用， 建立能够得到线段或角度的等量关系． 类型 2 菱形的相关证明与计算 例2　如图，在平行四边形ABCD中， 边AB的垂直平分线交AD于点E，交 CB的延长线于点F，连接AF，BE. (1)求证：△AGE≌ △BGF； 【思维教练】要证△AGE≌ △BGF，根据平行四边形ABCD 的性质，结合全等三角形的判定方法AAS即可求证； 例2题图 证明：在平行四边形ABCD中， AD∥CF， ∴∠AEG＝∠BFG， ∵AB的垂直平分线交AD于点E， ∴AG＝BG， 又∵∠AGE＝∠BGF， ∴△AGE≌ △BGF(AAS)； 例2题图 (2)试判断四边形AFBE的形状，并说 明理由． 【思维教练】要判断四边形AFBE的形 状，由(1)易得AE＝BF，AE∥BF，可 推出四边形AFBE为平行四边形，结合 EF垂直平分AB推出AE＝BE，从而得 证． 例2题图 解：四边形AFBE为菱形． 理由：由(1)得AE＝BF，AE∥BF, 则四边形AFBE为平行四边形， 又∵EF垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∴四边形AFBE为菱形． 例2题图 练习2　(2017孝感)如图，四边形ABCD 是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB 于点H，则线段BH的长为________． 练习2题图 导方 法 指 1. 菱形判定的一般思路： (1)一组邻边相等 (2)对角线互相垂直 四边形+四边相等 平行四边形+ 菱形 导方 法 指 2．菱形的计算： (1)求角度时，应注意菱形的四条边相等和对角相等、 邻角互补等，可利用等腰三角形的性质和平行线的 相交性质，转化要求的角，直到找到与已知的角存 在的关系； 导方 法 指 (2)求长度(线段或者周长)时，应注意使用等腰三角形的 性质．若菱形中有一个角为60°，则连接另外两点的 对角线所分割的两个三角形为等边三角形，故在计算 时，可借助等边三角形的性质求线段长； (3)求面积时，可利用菱形的两条对角线互相垂直，面 积等于对角线之积的一半求解． 类型 3 正方形的相关证明与计算 例2　如图，四边形ABCD是正方形， △EBC是等边三角形． (1)求证：△ABE≌ △DCE； 【思维教练】要证△ABE≌ △DCE，根据正方形ABCD和等 边△EBC的性质推出AB＝CD，∠ABE＝∠DCE，结合全等 三角形的判定方法SAS即可求证； 例2题图 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°， ∵△EBC是等边三角形， ∴EB＝EC，∠EBC＝∠ECB＝60°， ∴∠ABC－∠EBC＝∠DCB－∠ECB＝ 30°，即∠ABE＝∠DCE＝30°， 在△ABE和△DCE中， AB=BC ∠ABE=∠DCE=30° EB=EC ∴△ABE≌ DCE(SAS). (2)求∠AED的度数． 【思维教练】由已知条件推出△ABE、△CDE、 △ADE都是等腰三角形，求得∠EAB＝∠CDE＝75°， 根据三角形内角和即可求解∠AED的度数． 解：∵四边形ABCD是正方形，△EBC是等 边三角形， ∴△ABE、△CDE、△ADE都是等腰三角形， ∵∠ABE＝∠DCE＝30°， ∴∠EAB＝(180°－30°)÷2＝75°， 同理∠CDE＝75°， ∴∠EAD＝∠EDA＝90°－75°＝15°， ∴∠AED＝180°－2×15°＝150°. 练习3题图 A 练习3题解图 练习3题解图 练习3题解图